专题检测卷六专题二第三讲.docx

1、专题检测卷六 专题二 第三讲温馨提示： 此套题为Word版，请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，答案解析附后。关闭Word文档返回原板块。专题检测卷(六)导数的简单应用(40分钟)一、填空题1.设a为实数,函数f(x)=x3+ax2+(a-3)x的导函数为f(x),且f(x)是偶函数,则曲线y=f(x)在原点处的切线方程为.2.曲线y=x3+x在点处的切线与坐标轴围成的三角形面积为.3.方程x3-6x2+9x-10=0的实根个数是.4.(2013福建高考改编)设函数f(x)的定义域为R,x0是f(x)的极大值点,以下结论一定正确的是.xR,f(x)f(x0)-x0是f(-x)的极

2、小值点-x0是-f(x)的极小值点-x0是-f(-x)的极小值点5.已知存在实数a,满足对任意的实数b,有直线y=-x+b都不是曲线y=x3-3ax的切线,则实数a的取值范围是.6.(2013江西高考)设函数f(x)在(0,+)内可导,且f(ex)=x+ex,则f(1)=.7.(2013启东模拟)已知曲线C:y=2x2,点A(0,-2)及点B(3,a),从点A观察点B,要使视线不被C挡住,则实数a的取值范围是.8.若函数f(x)=x2-lnx+1在其定义域内的一个子区间(k-1,k+1)内不是单调函数,则实数k的取值范围是.9.(2013阳泉模拟)已知函数f(x)=给出如下命题:f(x)在,+

3、)上是减函数;f(x)的最大值是2;函数y=f(x)有两个零点;f(x)在R上恒成立.其中正确的命题有.(把正确的命题序号都填上)10.(2013徐州模拟)设曲线y=(ax-1)ex在点A(x0,y1)处的切线为l1,曲线y=(1-x)e-x在点B(x0,y2)处的切线为l2,若存在x0,使得l1l2,则实数a的取值范围是.11.(2013浙江高考改编)已知e为自然对数的底数,设函数f(x)=(ex-1)(x-1)k(k=1,2),下列结论当k=1时,f(x)在x=1处取到极小值;当k=1时,f(x)在x=1处取到极大值;当k=2时,f(x)在x=1处取到极小值;当k=2时,f(x)在x=1处

4、取到极大值.其中正确的是.12.(2013苏州模拟)等比数列an中,a1=1,a2012=9,函数f(x)=x(x-a1)(x-a2)(x-a2012)+2,则曲线y=f(x)在点(0,f(0)处的切线方程为.二、解答题13.已知函数f(x)=x3-3ax(aR).(1)当a=1时,求f(x)的极小值.(2)若直线x+y+m=0对任意的mR都不是曲线y=f(x)的切线,求a的取值范围.14.(2013湛江模拟)已知函数f(x)=-x3+3x2+9x+a.(1)求f(x)的单调减区间.(2)若f(x)在区间-2,2上的最大值为20,求它在该区间上的最小值.15.(2013常州模拟)已知常数a为正

5、实数,在曲线Cn:y=上一点P(xn,yn)处的切线Ln总经过定点(-a,0),(nN*).求证:点列:P1,P2,Pn在同一直线上.16.(2013广东高考)设函数f(x)=(x-1)ex-kx2(kR).(1)当k=1时,求函数f(x)的单调区间.(2)当k时,求函数f(x)在0,k上的最大值M.答案解析1.【解析】因为f(x)=x3+ax2+(a-3)x,所以f(x)=3x2+2ax+(a-3).又因为f(x)为偶函数,所以a=0.即f(x)=x3-3x.函数f(x)在原点处切线的斜率k=f(0)=-3,所以切线方程为y=-3x.答案:y=-3x2.【解析】y=f(x)=x2+1,在点处

6、的切线斜率为k=f(1)=2.所以切线方程为y-=2(x-1),即y=2x-,其与坐标轴的交点坐标为,所以所求三角形的面积为|-|=.答案:3.【解题提示】求实根个数可转化为求函数图象与x轴的交点个数,求导后,求出极大值和极小值,判断极值的符号来求解.【解析】设f(x)=x3-6x2+9x-10,f(x)=3x2-12x+9=3(x-1)(x-3),由此可知函数的极大值为f(1)=-60,极小值为f(3)=-100,所以方程x3-6x2+9x-10=0的实根个数为1.答案:14.【解析】因为函数-f(-x)与f(x)的图象关于原点对称,(x0,f(x0)是极大值点,那么(-x0,-f(-x0)

7、就是极小值点.答案:5.【解析】设y=f(x)=x3-3ax,则f(x)=3x2-3a,又因为y=-x+b都不是曲线y=x3-3ax的切线,所以3x2-3a=-1无解,即3x2=3a-10,所以a.答案:a6.【解析】设t=ex,则x=lnt,故f(t)=lnt+t,f(t)=+1,所以f(1)=1+1=2.答案:27.【解析】设切点(x0,y0),则切线为y-y0=4x0(x-x0),过点A(0,-2),则有得切点为(1,2),切线为y-2=4(x-1),切线与直线x=3的交点为(3,10),故a10.答案:a0得x,由f(x)0得0x,要使函数在定义域内的一个子区间(k-1,k+1)内不是

8、单调函数,则有0k-1k+1,解得1k,即k的取值范围是.答案:9.【解析】对于,当x时,f(x)=-x3+2x,f(x)=-x2+2=-(x+)(x-)0,所以,f(x)在,+)上是减函数,因此正确;对于,因为当x0时,f(x)=ex+x-1为增函数,因此,f(x)f(0)=e0+0-1=0;当x0时,f(x)在0,)上为增函数,在,+)上为减函数,所以f(x)max=f()=-+2=,因此错误;对于,因为f(0)=0,所以x=0是f(x)的一个零点,又因f()f(3)=(-3)0,所以在(,3)上f(x)有一个零点,因此正确;由知正确.答案:10.【解析】设y=f(x)=(ax-1)ex,

9、则f(x)=aex+(ax-1)ex,所以=(ax0+a-1),设y=g(x)=(1-x)e-x=,则g(x)=,所以=,又因为l1l2,所以=-1,即(ax0+a-1)=-1,所以(ax0+a-1)(x0-2)=-1,a(1+x0)-1=,a=,设3-x0=t,则x0=3-t,所以a=,又因为y=-t-+5在取值为,所以1a.答案:1a11.【解析】当k=1时,f(x)=ex(x-1)+ex-1,此时f(1)0,所以错误;当k=2时,f(x)=ex(x-1)2+(ex-1)(2x-2),此时f(1)=0,在x=1附近左侧,f(x)0,所以x=1是f(x)的极小值点,所以正确,错误.答案:12

10、.【解析】因为等比数列an中,a1=1,a2012=9,所以a1a2012=a2a2011=a1006a1007=9=32,且f(x)=x(x-a1)(x-a2)(x-a2012)+2,所以f(0)=(-a1)(-a2)(-a2012)=a1a2a2012=(a1a2012)(a2a2011)(a1006a1007)=323232(1006个32相乘)=310062=32012,所以函数f(x)在点(0,f(0)处的切线方程为:y-f(0)=32012(x-0),即y=32012x+2.答案:y=32012x+213.【解析】(1)当a=1时,f(x)=3x2-3,令f(x)=0,得x=-1或

11、x=1.当x(-1,1)时,f(x)0,所以f(x)在(-1,1)上单调递减,在(-,-1,1,+)上单调递增,所以f(x)的极小值是f(1)=-2.(2)方法一:f(x)=3x2-3a,直线x+y+m=0,即y=-x-m.依题意,切线斜率k=f(x)=3x2-3a-1,即3x2-3a+1=0无解.所以=0-43(-3a+1)0,所以a.方法二:f(x)=3x2-3a-3a,要使直线x+y+m=0对任意的mR都不是曲线y=f(x)的切线,当且仅当-1-3a时成立,所以a0时,f(x)=.令f(x)=0,得x1=,x2=-.列表:x(-,-)-(-,)(,+)f(x)-0+0-f(x)故f(x)

12、的单调减区间为(-,-),(,+);单调增区间为(-,).当b0时,f(x)的定义域为D=xR|x.因为f(x)=0在D上恒成立,故f(x)的单调减区间为(-,-),(-,),(,+);无单调增区间.14.【解析】(1)f(x)=-3x2+6x+9.令f(x)0,解得x3,所以函数f(x)的单调减区间为(-,-1)和(3,+).(2)因为f(-2)=8+12-18+a=2+a,f(2)=-8+12+18+a=22+a,所以f(2)f(-2).因为在x(-1,3)上f(x)0,所以f(x)在-1,2上单调递增.又由于f(x)在-2,-1上单调递减,因此f(2)和f(-1)分别是f(x)在区间-2

13、,2上的最大值和最小值,于是有22+a=20,解得a=-2.故f(x)=-x3+3x2+9x-2,因此f(-1)=1+3-9-2=-7,即函数f(x)在区间-2,2上的最小值为-7.【方法总结】利用导数研究函数单调性的步骤(1)确定函数f(x)的定义域.(2)求f(x).(3)解方程f(x)=0在定义域内的所有实数根.(4)将函数f(x)的间断点(即f(x)的无定义点)的横坐标和各实数根按从小到大的顺序排列起来,分成若干个小区间.(5)确定f(x)在各小区间内的符号,由此确定每个区间的单调性.15.【解题提示】Pi在同一直线上有三种情况:xi相同;yi相同;(ij)为常数.【证明】方法一:设y=f(x)=,所以f(x)=(nx)=,所以Cn:y=上一点P(xn,yn)处的切线Ln的斜率kn=f(xn)=,Ln的方程为y-yn=(x-xn).因为Ln经过点(-a,0),所以yn=-(-a-xn)=(a+xn),又因为Pn在曲线Cn上,所以yn=(a+xn),所以xn=a,所以yn=,所以Pn(a,)总在直线x=a上,即P1,P2,Pn