北师大版高中数学必修二学案第二章 12 第2课时 直线方程的两点式和一般式.docx

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北师大版高中数学必修二学案第二章12第2课时直线方程的两点式和一般式

第2课时　直线方程的两点式和一般式

学习目标　1.掌握直线方程的两点式和一般式.2.了解平面直角坐标系中任意一条直线都可以用关于x，y的二元一次方程来表示.3.能将直线方程的几种形式进行互相转换，并弄清各种形式的应用范围．

知识点一　直线方程的两点式

思考1　已知两点P1（x1，y1），P2（x2，y2），其中x1≠x2，y1≠y2，求通过这两点的直线方程．

思考2　过点（1,3）和（1,5）的直线能用两点式表示吗？

为什么？

过点（2,3），（5,3）的直线呢？

梳理　两点式方程

名称

已知条件

示意图

方程

使用范围

两点式

P1（x1，y1），P2（x2，y2），其中x1≠x2，y1≠y2

＝

斜率存在且不为0

知识点二　直线方程的截距式

思考1　过点（5,0）和（0,7）的直线能用＋＝1表示吗？

思考2　已知两点P1（a,0），P2（0，b），其中a≠0，b≠0，求通过这两点的直线方程．

梳理　截距式方程

名称

已知条件

示意图

方程

使用范围

截距式

在x，y轴上的截距分别为a，b且a≠0，b≠0

＋＝1

斜率存在且不为0，直线不过原点

知识点三　直线的一般式方程

思考1　直线的点斜式、斜截式、两点式、截距式这四种形式都能用Ax＋By＋C＝0（A，B不同时为0）来表示吗？

思考2　关于x，y的二元一次方程Ax＋By＋C＝0（A，B不同时为0）一定表示直线吗？

梳理　

（1）一般式方程

形式

条件

A，B________________

（2）直线的一般式与点斜式、斜截式、两点式、截距式的关系

类型一　直线的两点式和截距式方程

例1　已知△ABC的顶点是A（－5,0），B（3，－3），C（0,2），若AB与y轴交于点E，BC与x轴交于点F，求直线EF的方程．

反思与感悟　

（1）当已知两点坐标，求过这两点的直线方程时，首先要判断是否满足两点式方程的适用条件：

两点的连线不平行于坐标轴，若满足，则考虑用两点式求方程．

（2）由于减法的顺序性，一般用两点式求直线方程时常会将字母或数字的顺序错位而导致错误，在记忆和使用两点式方程时，必须注意坐标的对应关系，即x2与y2是同一点坐标，而x1与y1是另一点坐标．

跟踪训练1　若点P（3，m）在过点A（2，－1），B（－3,4）的直线上，则m＝________.

例2　

（1）过点P（1,3），且与x轴、y轴的正半轴围成的三角形的面积等于6的直线方程是（　　）

A．3x＋y－6＝0B．x＋3y－10＝0

C．3x－y＝0D．x－3y＋8＝0

（2）过点P（2,3）且在两坐标轴上的截距相等的直线有（　　）

A．1条B．2条

C．3条D．无数条

反思与感悟　求解此类题需过双关：

一是待定系数法关，即根据题中条件设出直线方程，如在x轴、y轴上的截距分别为a，b（a≠0，b≠0）的直线方程常设为＋＝1；二是方程（组）思想关，即根据已知条件，寻找关于参数的方程（组），解方程（组），得参数的值．

跟踪训练2　过点A（3，－1）且在两坐标轴上截距的绝对值相等的直线有（　　）

A．2条B．3条C．4条D．无数多条

类型二　直线的一般式方程

例3　设直线l的方程为（m2－2m－3）x－（2m2＋m－1）y＋6－2m＝0.

（1）若直线l在x轴上的截距为－3，则m＝________；

（2）若直线l的斜率为1，则m＝________.

反思与感悟　直线方程的几种形式的转化

跟踪训练3　根据下列各条件写出直线的方程，并化成一般式．

（1）斜率是－，经过点A（8，－2）；

（2）经过点B（4,2），平行于x轴；

（3）在x轴和y轴上的截距分别是，－3；

（4）经过两点P1（3，－2），P2（5，－4）．

类型三　直线方程的综合应用

例4　已知直线l：

5ax－5y－a＋3＝0.

（1）求证：

不论a为何值，直线l总经过第一象限；

（2）为使直线l不经过第二象限，求a的取值范围．

反思与感悟　含有一个参数的直线方程，一般表示无穷多条直线，称为直线系．这无穷多条直线过同一个点．这里对一般式方程灵活变形后变成点斜式方程是解决问题的关键．

跟踪训练4　设直线l的方程为（a＋1）x＋y－a＋2＝0.

（1）若直线l在两坐标轴上的截距相等，求l的直线方程；

（2）若直线l不经过第二象限，求实数a的取值范围．

1．在x轴、y轴上截距分别是2，－3的直线的方程为（　　）

A．3x＋2y＋6＝0

B．3x＋2y＋1＝0

C．3x－2y－6＝0

D．3x－2y＋1＝0

2．已知ab<0，bc<0，则直线ax＋by＝c通过（　　）

A．第一、二、三象限B．第一、二、四象限

C．第一、三、四象限D．第二、三、四象限

3．在直角坐标系中，直线x＋y－3＝0的倾斜角是（　　）

A．30°B．60°

C．150°D．120°

4．直线＋＝1（ab<0）的图像可能是（　　）

5．直线l过点（1,2）和第一、二、四象限，若直线l的横截距与纵截距之和为6，求直线l的方程．

1．截距式方程应用的注意事项

（1）如果问题中涉及直线与坐标轴相交，则可考虑选用截距式直线方程，用待定系数法确定其系数即可．

（2）选用截距式直线方程时，必须首先考虑直线是否过原点以及是否与两坐标轴垂直．

（3）要注意截距式直线方程的逆向应用．

2．直线方程的其他形式都可以化成一般式，一般式也可以化为斜截式．一般式化斜截式的步骤：

（1）移项，By＝－Ax－C；

（2）当B≠0时，得y＝－x－.

3．在一般式Ax＋By＋C＝0（A2＋B2≠0）中，若A＝0，则y＝－，它表示一条与y轴垂直的直线；

若B＝0，则x＝－，它表示一条与x轴垂直的直线．

答案精析

问题导学

知识点一

思考1　y－y1＝（x－x1），

即＝.

思考2　不能，因为1－1＝0，而0不能做分母．过点（2,3），（5,3）的直线也不能用两点式表示．

知识点二

思考1　能．由直线方程的两点式，得＝，即＋＝1.

思考2　由直线方程的两点式，得＝，得＋＝1.

知识点三

思考1　能．

思考2　一定．

梳理　

（1）Ax＋By＋C＝0　不同时为0

题型探究

例1　解　直线AB过A（－5,0），B（3，－3）两点，

由两点式得＝，

整理得3x＋8y＋15＝0.

令x＝0，得y＝－，

∴E（0，－）．

直线BC过B（3，－3），C（0,2）两点，

由两点式得＝，

整理得5x＋3y－6＝0.

令y＝0，得x＝，

∴F（，0）．

由截距式方程得＋＝1，

整理得25x－16y－30＝0.

∴直线EF的方程为25x－16y－30＝0.

跟踪训练1　－2

例2　

（1）A　[设所求的直线方程为＋＝1（a>0，b>0），

由于过点P（1,3）且与两坐标轴的正半轴所围成的三角形面积等于6，

因此有解得a＝2，b＝6，

故所求直线的方程为3x＋y－6＝0，故选A.]

（2）B　[设直线的两截距都是a，则有

①当a＝0时，直线设为y＝kx，将P（2,3）代入，得k＝，

∴直线l的方程为3x－2y＝0；

②当a≠0时，直线设为＋＝1，

即x＋y＝a，

把P（2,3）代入，得a＝5，

∴直线l的方程为x＋y＝5.

综上，直线l的方程为3x－2y＝0或x＋y－5＝0.]

跟踪训练2　B

例3　

（1）－　

（2）－2

解析　

（1）令y＝0，则x＝，

∴＝－3，得m＝－或m＝3（舍去）．

∴m＝－.

（2）由直线l化为斜截式方程，得

y＝x＋，

则＝1，

得m＝－2或m＝－1（舍去）．

∴m＝－2.

跟踪训练3　解　

（1）由点斜式方程，

得y－（－2）＝－（x－8），

即x＋2y－4＝0.

（2）由斜截式方程，得y＝2，即y－2＝0.

（3）由截距式方程，得＋＝1，

即2x－y－3＝0.

（4）由两点式方程，得＝，

即x＋y－1＝0.

例4　

（1）证明　方法一　将直线方程变形为y＝ax＋，

当a>0时，直线一定经过第一象限；

当a＝0时，y＝，直线显然经过第一象限；

当a<0时，>0，因此直线经过第一象限．

综上可知，不论a为何值时，直线5ax－5y－a＋3＝0一定经过第一象限．

方法二　直线方程变形为y－＝a（x－），它表示经过点A（，），斜率为a的直线．

∵点A（，）在第一象限，

∴直线l必经过第一象限．

（2）解　如图，直线OA的斜率k＝＝3.

∵直线l不经过第二象限，

∴直线l的斜率k≥3，∴a≥3，

即a的取值范围为{a|a≥3}．

跟踪训练4　解　

（1）直线l的方程（a＋1）x＋y－a＋2＝0，

可化为y＝（－a－1）x＋a－2.

当直线过原点时，该直线在x轴和y轴上的截距均为0，

∴a－2＝0，∴a＝2，此时直线方程为

3x＋y＝0；

当直线不过原点时，a≠2，由＝a－2，得a＝0，

∴直线方程为x＋y＋2＝0.

故所求的直线方程为3x＋y＝0或x＋y＋2＝0.

（2）直线l的方程为y＝－（a＋1）x＋a－2，欲使直线l不经过第二象限，

则解得a≤－1.

故所求实数a的取值范围为（－∞，－1]．

当堂训练

1．C　2.C　3.C

4．C

5．解　设直线l的横截距为a，由题意可得纵截距为6－a，

所以直线l的方程为＋＝1，

因为点（1,2）在直线l上，所以＋＝1，

解得a＝2或a＝3.

当a＝2时，直线的方程为2x＋y－4＝0，直线经过第一、二、四象限；

当a＝3时，直线的方程为x＋y－3＝0，直线经过第一、二、四象限．

综上所述，所求直线方程为2x＋y－4＝0或x＋y－3＝0.