分式中的整式的除法 分式及其基本性质 分式的运算 华东师大版.docx

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分式中的整式的除法分式及其基本性质分式的运算

一.本周教学内容：

第21章分式中的整式的除法，分式及其基本性质，分式的运算

［知识与技能］

1.知道同底数幂的除法法则，并能运用它进行计算；

2.能用单项式除以单项式性质进行计算；

3.能进行多项式除以单项式的计算；

4.掌握分式的基本概念，会在代数式中辨别分式；

5.会运用分式的基本性质进行约分和通分；

6.熟练进行分式的加减乘除运算；

7.掌握分式的乘方；

8.会根据运算顺序和法则，进行简单的四则混合运算。

［教学过程］

（一）知识点回顾

1.同底数幂的除法法则：

即同底数幂相除，底数不变，指数相减，用式子表示为（m，n为正整数，）

2.单项式除以单项式：

是将系数及同底数幂分别相除，如果某个字母只在被除式里出现，则将该字母及其指数直接写到商里面。

3.多项式除以单项式：

先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加。

（注意：

①不要漏项，即所得的结果项数应与被除式中多项式的项数相同；②要注意商的符号，弄清多项式中每一项的符号是什么，相除时要带着符号与单项式相除。

）

4.①分式的概念：

形如（A、B是整式，且B中含有字母，B≠0）的式子叫做分式，其中A叫分式的分子，B叫分式的分母（注意：

分式的典型特征是分式的分母中含有字母）

②分式有意义的条件：

分式的分母必须不等于零。

③分式的值是零的条件：

分母不等于零，分子等于零。

④分式的基本性质：

即分式的分子与分母都乘以（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变。

用式子表示为。

（这里要求B≠0，M≠0）

⑤约分：

根据分式的基本性质，将分子分母中的公因式约去，使分式变得简单。

（注意：

如果分式的分子，分母都是单项式，就直接约去分子，分母的公因式，即分子、分母系数的最大公约数，相同字母的最低次幂；如果分子、分母都是多项式，就先分解因式，找出公因式再进行约分；约分时一定要彻底。

）

⑥通分：

即把几个异分母的分式分别化为与原来的分式相等的同分母的分式，为进行分式的加减奠定基础。

（注意：

通分的关键是准确求出各个分式中分母的最简公分母，即各分母所有因式的最高次幂的积。

求最简公分母的一般方法是：

a.如果各分母都是单项式，那么最简公分母就是各系数的最小公倍数，相同字母的最高次幂，所有不同字母都写在积里；b.如果各分母都是多项式，就要先把它们分解因式，然后把各个因式当作一个字母，再按照单项式的方法从系数、相同因式、不同因式三个方面确定）。

5.分式的运算：

①分式的乘除法：

分式的乘除归根结底是乘法运算，实质就是分式的约分，其运算结果要化为最简分式，分式乘分式，用分子的积作积的分子，用分母的积做积的分母；分式除以分式，把除式分子，分母颠倒位置后，与被除式相除。

②分式的乘方：

把分子、分母各自乘方，用式子表示为（n为正整数），乘方时一定要把分式加上括号。

③分式的加减法，同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减，即；异分母的分式相加减，先通分，变成同分母的分式再加减，计算结果要化成最简分式。

④分式的混合运算：

混合运算的顺序与实数的运算顺序相同，先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号先算括号，计算结果化为最简分式。

【典型例题】

例1.计算：

①

②

分析：

①先应用幂的乘方把两个底数都化为同底数再进行相除。

②把看成一个整体，把转化为，也可把，通常为方便起见，常改变偶数次幂的项；

解：

①

②

例2.已知的值。

分析：

运用幂的有关性质，将转化为含有已知条件的代数式。

解法一：

解法二：

例3.下列运算正确的是（）

A.B.

C.D.

分析：

A中是错误的；B中，是错误的；C中被除式里的c在商中丢掉3，这是错误的。

答案：

D。

例4.计算：

①

②

分析：

①中有括号，应先按积的乘方运算出，然后再按单项式除以单项式法则相除，注意符号。

②中三个单项式相除可以一起相除。

解：

①

②

例5.计算：

分析：

此题就是考查多项式除以单项式，易错点在于相除时各项的符号容易出现错误。

解：

例6.已知一个多项式与单项式的积是，试求该多项式。

分析：

已知两个因式的积和一个因式，求另一个因式就是用积去除以已知因式，注意符号。

解：

∴该多项式为

例7.在下列式子中，哪些是整式，哪些是分式

。

分析：

看一个式子是否为分式，关键是看其分母中有无字母。

解：

整式有：

。

分式有：

。

例8.当x取何值时，下列分式有意义？

（1）

（2）

（3）（4）

分析：

只有当分式的分母不等于零时，分式才有意义。

解：

（1）由有意义。

（2）有意义。

（3）由有意义。

（4）由∴当x≠0且x≠－2时，有意义。

例9.下列分式中x为何值时，分式的值为零？

①②

分析：

只有当分式的分母不等于零时，分式才有意义？

解：

①当，即时，分式的值为零。

②当的值为零。

例10.不改变分式的值，将下列分式的分子、分母中的系数化为整数。

（1）

（2）

分析：

①式中的分子、分母要同乘以50；②中的分子分母要同乘以12，即分子、分母同乘各分母的最小公倍数。

解：

（1）

（2）

例11.将下列各式进行约分。

①②

③④

分析：

①式直接约分；②、④两式需先进行因式分解，让分子分母中产生公因式，再进行约分；③式需将看作整体，并统一成相同的因式。

解：

①

②

③

④

例12.通分

①②

分析：

①的最简公分母是；②的最简公分母是

解：

①，

∴，

②

∴

点评：

找准最简公分母是通分的关键。

例13.计算：

（考查分式的乘除法和乘方）

（1）

（2）

分析：

（1）式中分子、分母先进行因式分解；

（2）式需将中间一项先乘方。

解：

（1）

（2）

14.计算（考查分式的加减运算）

（1）

（2）

（3）

（4）

分析：

（1）中所有分式的分母相同；

（2）中运用符号法则易化成同分母，再运用同分母分式相加减的法则进行；（3）先通分将各分式分母化成同分母；（4）将a+2看作整体，两个代数式通分，公分母为。

解：

（1）

（2）

（3）

（4）

例5.计算：

（考查分式的混合运算）

（1）

（2）

（3）

分析：

（1）式先算乘法，再算加法；

（2）式先分解因式，除法变成乘法；（3）式则先算括号内的部分。

解：

（1）

（2）

（3）

点评：

对分式的混合运算，因式分解是关键，认真细心是保证。

例16.化简，求值。

（1），其中

（2），其中a满足

分析：

（1）式将分子分母能分解因式的因式分解，然后约分、通分，最后代入数值。

（2）式在化简之后，根据式子特征，应将看成一个整体来处理。

解：

（1）

当

（2）

（先去括号）

当时，

∴原式。

点评：

（2）式中注意到括号内与括号外的式子有公因式可约，因此考虑到了分配律，使运算简便。

例17.已知的值。

分析：

由于所给式中各项都有a、b、c，只是括号内的项不相同，可考虑将其变得相同，提取公因式后剩下，从而得解。

解：

点评：

考查分式化简时的灵活应用。

例18.计算：

分析：

若直接进行计算，数字较大且易出错，这里不妨设2002=a，然后转化为分式的求值运算，将会比较简便。

解：

设

则原式

例19.化简：

分析：

本题通过通分化简是不可能的，利用

的方法来解决本题较易，所查知识点是分式的拆项化简。

解：

原式

【模拟试题】

一.计算

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

11.

12.

13.

14.

15.

16.

17.

二.化简求值

1.，其中a满足

2.，其中

3.，其中

4.已知，求的值。

5.已知，求的值。

三.思考题

1.若的值是多少？

2.若的值。

【试题答案】

一、计算

1.2.3.4.

5.6.7.

8.9.10.

11.12.13.

14.15.16.

17.

二、化简求值

1.

2.

3.

4.

5.

三、思考题

1.2.1