世纪金榜高考数学专题辅导与训练配套练习课时冲关练五31任意角的三角函数及三角恒等变换.docx

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世纪金榜高考数学专题辅导与训练配套练习课时冲关练五31任意角的三角函数及三角恒等变换

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课时冲关练（五）

任意角的三角函数及三角恒等变换

（45分钟　100分）

一、选择题（每小题5分,共40分）

1.（2014·温州模拟）已知角α的终边与单位圆交于点,则=　

（　　）

A.-　　　B.-　　　C.-　　　D.-

【解析】选D.==tanα,

根据三角函数定义,tanα===-.

2.（2014·宁波模拟）已知α∈R,cosα+3sinα=,则tan2α=　（　　）

A.B.C.-D.-

【解析】选A.由cosα+3sinα=,两边平方得

=5.

左边分子分母都除以cos2α得

=5.

整理得2tan2α+3tanα-2=0,

解得tanα=或tanα=-2,

tan2α==.

3.tan70°+tan50°-tan70°tan50°的值等于　（　　）

A.B.C.-D.-

【解析】选D.因为tan120°==-,

即tan70°+tan50°-tan70°·tan50°=-.

4.（2014·衢州模拟）若sinα=,α∈,则sin=　（　　）

A.B.C.D.

【解析】选D.因为sinα=,α∈,

所以cosα=-=-,

所以sin=sinαcos-cosαsin

=×-×

=.

5.已知α∈,点A在角α的终边上,且|OA|=4cosα,则点A的纵坐标y的取值范围是　（　　）

A.[1,2]B.

C.D.[1,]

【解析】选A.由正弦函数的定义可知=sinα,

即y=|OA|sinα=2sin2α.

因为α∈,所以sin2α∈,

所以y∈[1,2].

【方法技巧】巧用三角函数定义求值

（1）已知角α的终边在直线上求α的三角函数值时,常用的解题方法有以下两种:

①先利用直线与单位圆相交,求出交点坐标,然后利用三角函数的定义求出相应的三角函数值.

②注意到角的终边为射线,所以应分两种情况来处理,取射线上任一点坐标,然后利用定义求解.

（2）当角的终边上的点的坐标以参数的形式给出时,要根据问题的实际情况对参数进行分类讨论.

6.已知a=sin15°cos15°,b=cos2-sin2,c=,则a,b,c的大小关系是

　（　　）

A.ab>c

C.c>a>bD.a

【解析】选A.a=sin15°cos15°=sin30°=,

b=cos2-sin2=cos=,c==tan60°=,由<<,可知a

7.已知cosα+sin=,则sin的值是　（　　）

A.-B.C.-D.

【解析】选C.由已知可得cosα+sinαcos+cosαsin=.

即sinα+cosα=,亦即sin=.

又sin=sinπ+

=-sin=-.

【一题多解】选C.因为sin=-sin,

则由cosα+sin=.

得cos[-]+sin[-]=,

即:

coscos+sinsin+sincos-cossin=,

得sin=.

所以sin=-.

8.（2014·绍兴模拟）当0

A.2B.2C.4D.4

【解析】选C.因为0

所以tanx>0,

所以f（x）==

=4tanx+≥2=4.

二、填空题（每小题4分,共16分）

9.已知5sin（α-β）=3sin（α+β）,且tanα=xtanβ,则实数x的值为

　　　　　　.

【解题提示】将条件式利用和差角公式展开化简得到tanα与tanβ的关系,比较系数得解.

【解析】由已知得5（sinαcosβ-cosαsinβ）

=3（sinαcosβ+cosαsinβ）,

即2sinαcosβ=8cosαsinβ,

两端同除以2cosαcosβ得tanα=4tanβ,

又tanα=xtanβ,所以x=4.

答案:

4

10.（2014·太原模拟）已知sin=,sin=,则tanx=　　　　　　.

【解析】由sin=,sin=得

sinx+cosx=,sinx-cosx=,从而sinx=,cosx=-,所以tanx==-7.

答案:

-7

【加固训练】已知sin=-,则sin2x的值等于　（　　）

A.B.C.-D.-

【解析】选D.因为sin=-,

所以（sinx+cosx）=-,

两边平方得（1+sin2x）=,解

得sin2x=-,选D.

11.设α为锐角,若cos=,则sin的值为　　　　.

【解析】因为α为锐角,即0<α<,

所以<α+<+=.

因为cos=,

所以sin=,

sin=2sincos

=2××=,

所以cos=,

所以sin=sin

=sincos-cossin

=×-×=.

答案:

12.（2014·金华模拟）已知α为第三象限角,sinα=-,则sin2α+cos2α=　　　　.

【解析】因为α为第三象限角,sinα=-,

所以cosα=-,sin2α=2sinαcosα=,

cos2α=2cos2α-1=,

所以sin2α+cos2α=.

答案:

三、解答题（13～15题每题8分,16～17题每题10分,共44分）

13.（2014·江苏高考）已知α∈,sinα=.

（1）求sin的值.

（2）求cos的值.

【解题提示】

（1）利用两角和的正弦公式展开,再利用平方关系求出cosα的值.

（2）利用两角和的余弦公式展开,再求出cos2α,sin2α的值.

【解析】

（1）由题意cosα=-=-,

所以sin=sincosα+cossinα=×+×=-.

（2）sin2α=2sinαcosα=-,

cos2α=2cos2α-1=,

所以cos=coscos2α+sinsin2α

=-×+×=-.

14.（2014·三明模拟）已知向量a=（sinα,-2）与b=（1,cosα）,其中α∈.

（1）若a⊥b,求sinα和cosα的值.

（2）在

（1）的条件下,若cosβ=,β∈,求α+β的值.

【解析】

（1）因为a⊥b,所以a·b=sinα-2cosα=0.

即sinα=2cosα.

又因为sin2α+cos2α=1.

所以4cos2α+cos2α=1,

即cos2α=,所以sin2α=.

又α∈,所以sinα=,cosα=.

（2）由

（1）知sinα=,cosα=,

cosβ=,β∈,得sinβ=.

则cos（α+β）=cosαcosβ-sinαsinβ=×-×=-.

又（α+β）∈（0,π）,则α+β=.

【方法技巧】选用三角函数的技巧

（1）一般已知正切函数值,选正切函数.

（2）已知正、余弦函数值,函数的选取从以下三种情况考虑.

①若角的范围是选正弦或余弦函数;

②若角的范围是选正弦函数比余弦函数好;

③若角的范围是（0,π）选余弦函数比正弦函数好.

如本题在求α+β值时,若取其正弦时容易出错,因为0<α+β<π,在此区间上余弦函数是单调函数,而正弦函数在此区间不是单调函数,要求α+β的值还需将范围缩小,比较麻烦.

15.（2014·湖州模拟）已知三点A,B（2,0）,

P.

求△ABP面积的最小值.

【解析】因为≤x≤,

所以-≤2x-≤.

所以cos>0,即点P在x轴上方,

所以S△ABP=··cos

=cos.

因为-≤2x-≤,

所以≤S△ABP≤,

所以△ABP的面积的最小值为.

16.（2014·江西高考）已知函数f（x）=cos（2x+θ）为奇函数,且f=0,其中a∈R,θ∈.

（1）求a,θ的值.

（2）若f=-,α∈,求sin的值.

【解题提示】

（1）借助诱导公式解决奇函数的问题,f=0的条件直接代入即可.

（2）先化简解析式,再代入已知条件.

【解析】

（1）因为y=是偶函数,

所以g（x）=cos（2x+θ）为奇函数,

而θ∈（0,π）,故θ=,

所以f（x）=-（a+2cos2x）sin2x,

代入得a=-1.所以a=-1,θ=.

（2）f（x）=-（-1+2cos2x）sin2x=-cos2xsin2x=-sin4x,

因为f=-,所以f=-sinα=-,

故sinα=,又α∈,

所以cosα=-,sin

=×+=.

17.如图,两座建筑物AB,CD的底部都在同一个水平面上,且均与水平面垂直,它们的高度分别是9m和15m,从建筑物AB的顶部A看建筑物CD的视角∠CAD=

45°.

（1）求BC的长度.

（2）在线段BC上取一点P（点P与点B,C不重合）,从点P看这两座建筑物的视角分别为∠APB=α,∠DPC=β,问点P在何处时,α+β最小?

【解题提示】

（1）根据题中图形和条件不难想到作AE⊥CD,垂足为E,则可将题中所有条件集中到两个直角三角形Rt△ACE,Rt△ADE中,由∠DAC=∠DAE+∠CAE,而在Rt△ACE,Rt△ADE中,tan∠DAE=,tan∠CAE=,再由两角和的正切公式即可求出tan∠DAC=tan（∠DAE+∠CAE）的值.

又tan∠DAC=1,可求出AE的值.

（2）由题意易得在Rt△ABP和Rt△CDP中,可得tanα=,tanβ=,再由两角和的正切公式可求出tan（α+β）的表达式,构造函数,可通过导数求出函数的单调性和最值,进而求出tan（α+β）的最小值,即可确定出α+β的最小值.

【解析】

（1）作AE⊥CD,垂足为E,

则CE=9,DE=6,设BC=x,

则tan∠CAD=tan（∠CAE+∠DAE）

===1,

化简得x2-15x-54=0,

解之得,x=18或x=-3（舍）.

答:

BC的长度为18m.

（2）设BP=t,则CP=18-t（0

tan（α+β）===.

设f（t）=,f'（t）=,

令f'（t）=0,因为0

当t∈（0,15-27）时,f'（t）<0,f（t）是减函数,

当t∈（15-27,18）时,f'（t）>0,f（t）是增函数,

所以,当t=15-27时,f（t）取得最小值,即tan（α+β）取得最小值.

因为-t2+18t-135<0恒成立,所以f（t）<0,

所以tan（α+β）<0,α+β∈,

因为y=tanx在上是增函数,

所以当t=15-27时,α+β取得最小值.

答:

当BP为（15-27）m时,α+β取得最小值.

【讲评建议】讲解本题时,请提醒学生注意以下几点

1.注意实际意义:

第

（1）题在求出x的值后,要注意x表示BC的长度,其值不能为负值,故应舍去x=-3,否则易造成错解.

2.注意参数的取值范围:

第

（2）题设出BP=t,要注意t的取值范围,否则易造成错解.

3.不要忽略总结:

第

（1）题和第

（2）题求解完毕后要进行作答,否则易造成解析不完整而失分.

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