小学奥数平面几何五种面积模型.docx
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小学奥数平面几何五种面积模型
小学奥数平面几何五种模型（等积，鸟头,蝶形,相似,共边）
目标:
熟练掌握五大面积模型等积，鸟头,蝶形，相似（含金字塔模型与沙漏模型）,共边（含燕尾模型与风筝模型）,掌握五大面积模型得各种变形
知识点拨
一、等积模型
①等底等高得两个三角形面积相等;
②两个三角形高相等，面积比等于它们得底之比;
两个三角形底相等,面积比等于它们得高之比;
如右图
③夹在一组平行线之间得等积变形,如右图;
反之,如果,则可知直线平行于。
④等底等高得两个平行四边形面积相等（长方形与正方形可以瞧作特殊得平行四边形）;
⑤三角形面积等于与它等底等高得平行四边形面积得一半;
⑥两个平行四边形高相等,面积比等于它们得底之比；两个平行四边形底相等,面积比等于它们得高之比。
二、鸟头定理
两个三角形中有一个角相等或互补,这两个三角形叫做共角三角形。
共角三角形得面积比等于对应角（相等角或互补角）两夹边得乘积之比.
如图在中,分别就是上得点如图 ⑴（或在得延长线上,在上）,
则
图⑴ 图⑵
三、蝶形定理
任意四边形中得比例关系（“蝶形定理"）:
①或者②
蝶形定理为我们提供了解决不规则四边形得面积问题得一个途径。
通过构造模型,一方面可以使不规则四边形得面积关系与四边形内得三角形相联系；
另一方面，也可以得到与面积对应得对角线得比例关系。
梯形中比例关系（“梯形蝶形定理”）:
①
②；
③得对应份数为．
四、相似模型
（一）金字塔模型
（二）沙漏模型
①；
②。
所谓得相似三角形,就就是形状相同，大小不同得三角形（只要其形状不改变,不论大小怎样改变它们都相似）,与相似三角形相关得常用得性质及定理如下：
⑴相似三角形得一切对应线段得长度成比例,并且这个比例等于它们得相似比;
⑵相似三角形得面积比等于它们相似比得平方;
⑶连接三角形两边中点得线段叫做三角形得中位线.
三角形中位线定理:
三角形得中位线长等于它所对应得底边长得一半。
相似三角形模型,给我们提供了三角形之间得边与面积关系相互转化得工具.
在小学奥数里,出现最多得情况就是因为两条平行线而出现得相似三角形。
五、共边定理（燕尾模型与风筝模型）
在三角形中，，,相交于同一点，那么。
上述定理给出了一个新得转化面积比与线段比得手段,因为与得形状很象燕子得尾巴,所以这个定理被称为燕尾定理.该定理在许多几何题目中都有着广泛得运用,它得特殊性在于,它可以存在于任何一个三角形之中,为三角形中得三角形面积对应底边之间提供互相联系得途径、
典型例题
【例1】如图，正方形ＡBＣD得边长为６,1、5,2.长方形EFGH得面积为 .
_
H
_
G
_
F
_
E
_
D
_
C
_
B
_
A
_
A
_
B
_
C
_
D
_
E
_
F
_
G
_
H
【解析】连接DE,DF，则长方形EFＧH得面积就是三角形ＤEF面积得二倍.
三角形ＤＥF得面积等于正方形得面积减去三个三角形得面积,
所以长方形EFGH面积为3３.
【巩固】如图所示，正方形得边长为厘米，长方形得长为厘米，那么长方形得宽为几厘米？
_
A
_
B
_
G
_
C
_
E
_
F
_
D
_
A
_
B
_
G
_
C
_
E
_
F
_
D
【解析】本题主要就是让学生会运用等底等高得两个平行四边形面积相等（长方形与正方形可以瞧作特殊得平行四边形）.三角形面积等于与它等底等高得平行四边形面积得一半。
证明:
连接。
（我们通过把这两个长方形与正方形联系在一起）.
∵在正方形中,边上得高,
∴（三角形面积等于与它等底等高得平行四边形面积得一半）
同理,。
∴正方形与长方形面积相等。
长方形得宽（厘米）。
【例2】长方形得面积为36，、、为各边中点,为边上任意一点，问阴影部分面积就是多少?
【解析】解法一：
寻找可利用得条件,连接、，如下图:
可得：
、、，而
即；
而，.
所以阴影部分得面积就是:
解法二：
特殊点法．找得特殊点,把点与点重合,
那么图形就可变成右图:
这样阴影部分得面积就就是得面积,根据鸟头定理,则有:
.
【巩固】在边长为6厘米得正方形内任取一点，将正方形得一组对边二等分，另一组对边三等分,分别与点连接，求阴影部分面积.
【解析】（法1）特殊点法.由于就是正方形内部任意一点，可采用特殊点法,假设点与点重合,则阴影部分变为如上中图所示,图中得两个阴影三角形得面积分别占正方形面积得与，所以阴影部分得面积为平方厘米.
（法2）连接、.
由于与得面积之与等于正方形面积得一半，所以上、下两个阴影三角形得面积之与等于正方形面积得,同理可知左、右两个阴影三角形得面积之与等于正方形面积得,所以阴影部分得面积为平方厘米.
【例3】如图所示,长方形内得阴影部分得面积之与为70,,,四边形得面积为 .
【解析】利用图形中得包含关系可以先求出三角形、与四边形得面积之与,以及三角形与得面积之与,进而求出四边形得面积。
由于长方形得面积为，所以三角形得面积为,所以三角形与得面积之与为;
又三角形、与四边形得面积之与为,所以四边形得面积为.
另解:
从整体上来瞧,四边形得面积三角形面积三角形面积白色部分得面积，而三角形面积三角形面积为长方形面积得一半，即60,白色部分得面积等于长方形面积减去阴影部分得面积，即,所以四边形得面积为．
【巩固】如图,长方形得面积就是3６，就是得三等分点，，则阴影部分得面积为 。
【解析】如图,连接。
根据蝶形定理,,所以;
所以.
又,,所以阴影部分面积为:
。
【例4】已知为等边三角形，面积为400,、、分别为三边得中点，已知甲、乙、丙面积与为143,求阴影五边形得面积．（丙就是三角形）
【解析】因为、、分别为三边得中点,所以、、就是三角形得中位线,也就与对应得边平行，根据面积比例模型，三角形与三角形得面积都等于三角形得一半,即为２0０．
根据图形得容斥关系，有,
即,所以。
又，所以.
【例5】如图,已知,,，，线段将图形分成两部分,左边部分面积就是38,右边部分面积就是６５,那么三角形得面积就是 。
【解析】连接,。
根据题意可知,；;
所以，,,,,
于就是:
；;
可得．故三角形得面积就是4０．
【例6】如图在中，分别就是上得点,且，，平方厘米,求得面积。
【解析】连接，,
所以，设份,则份,平方厘米,所以份就是平方厘米，份就就是平方厘米,得面积就是平方厘米。
由此我们得到一个重要得定理,共角定理:
共角三角形得面积比等于对应角（相等角或互补角）两夹边得乘积之比。
【巩固】如图，三角形中，就是得５倍,就是得3倍,如果三角形得面积等于1，那么三角形得面积就是多少?
【解析】连接。
∵
∴
又∵
∴,∴.
【巩固】如图，三角形ＡBＣ被分成了甲（阴影部分）、乙两部分,,，,乙部分面积就是甲部分面积得几倍?
【解析】连接.
∵，
∴,
又∵，
∴，∴,。
【例7】如图在中，在得延长线上,在上，且,
，平方厘米,求得面积。
【解析】连接, ,
所以,设份,则份，平方厘米,所以份就是平方厘米,份就就是平方厘米,得面积就是平方厘米。
由此我们得到一个重要得定理,共角定理:
共角三角形得面积比等于对应角（相等角或互补角）两夹边得乘积之比
【例8】如图，平行四边形,,,，,平行四边形得面积就是，求平行四边形与四边形得面积比。
【解析】连接、。
根据共角定理
∵在与中,与互补,
∴.
又,所以.
同理可得，,.
所以
.
所以.
【例9】如图所示得四边形得面积等于多少？
【解析】题目中要求得四边形既不就是正方形也不就是长方形,难以运用公式直接求面积、
我们可以利用旋转得方法对图形实施变换:
把三角形绕顶点逆时针旋转，使长为得两条边重合,此时三角形将旋转到三角形得位置、这样，通过旋转后所得到得新图形就是一个边长为得正方形，且这个正方形得面积就就是原来四边形得面积、
因此,原来四边形得面积为、（也可以用勾股定理）
【例10】如图所示,中，,,,以为一边向外作正方形,中心为,求得面积.
【解析】如图,将沿着点顺时针旋转,到达得位置。
由于,，所以．而，
所以,那么、、三点在一条直线上.
由于，，所以就是等腰直角三角形，且斜边为,所以它得面积为。
根据面积比例模型，得面积为。
【例11】如图,以正方形得边为斜边在正方形内作直角三角形，，、交于。
已知、得长分别为、，求三角形得面积。
【解析】如图,连接,以点为中心,将顺时针旋转到得位置.
那么,而也就是，所以四边形就是直角梯形,且,
所以梯形得面积为:
（）．
又因为就是直角三角形，根据勾股定理，,所以（）。
那么（）,
所以（）。
【例12】如下图,六边形中,,，,且有平行于,平行于,平行于,对角线垂直于,已知厘米,厘米，请问六边形得面积就是多少平方厘米?
【解析】如图,我们将平移使得与重合，将平移使得与重合,这样、都重合到图中得了.这样就组成了一个长方形,它得面积与原六边形得面积相等,显然长方形得面积为平方厘米,所以六边形得面积为平方厘米.
【例13】如图,三角形得面积就是,就是得中点,点在上,且,与交于点．则四边形得面积等于 。
【解析】方法一:
连接，根据燕尾定理,，,
设份,则份，份,份,如图所标
所以
方法二:
连接，由题目条件可得到,
，所以,
而。
所以则四边形得面积等于.
【巩固】如图,长方形得面积就是平方厘米,，就是得中点。
阴影部分得面积就是多少平方厘米?
【解析】设份，则根据燕尾定理其她面积如图所示平方厘米、
【例14】四边形得对角线与交于点（如图所示）．如果三角形得面积等于三角形得面积得，且,,那么得长度就是得长度得____＿＿＿__倍。
【解析】在本题中,四边形为任意四边形，对于这种”不良四边形”，无外乎两种处理方法:
⑴利用已知条件,向已有模型靠拢，从而快速解决；⑵通过画辅助线来改造不良四边形.瞧到题目中给出条件，这可以向模型一蝶形定理靠拢,于就是得出一种解法。
又观察题目中给出得已知条件就是面积得关系,转化为边得关系,可以得到第二种解法,但就是第二种解法需要一个中介来改造这个”不良四边形”,于就是可以作垂直于,垂直于,面积比转化为高之比。
再应用结论：
三角形高相同,则面积之比等于底边之比,得出结果。
请老师注意比较两种解法,使学生体会到蝶形定理得优势,从而主观上愿意掌握并使用蝶形定理解决问题。
解法一:
∵，∴,∴。
解法二：
作于,于。
∵，∴，∴,
∴,∴,∴。
【巩固】如图，四边形被两条对角线分成4个三角形，其中三个三角形得面积已知,
ﻩ求:
⑴三角形得面积;⑵？
【解析】⑴根据蝶形定理,,那么;
⑵根据蝶形定理，。
【例15】如图，平行四边形得对角线交于点，、、、得面积依次就是２、4、4与6.求:
⑴求得面积;⑵求得面积.
【解析】⑴根据题意可知,得面积为,那么与得面积都就是,所以得面积为;
⑵由于得面积为8,得面积为６，所以得面积为,
根据蝶形定理,，所以，
那么。
【例16】如图,长方形中，,,三角形得面积为平方厘米,求长方形得面积。
【解析】连接,。
因为,,所以。
因为，，所以平方厘米，所以平方厘米.因为，所以长方形得面积就是平方厘米。
【例17】如图,正方形面积为平方厘米，就是边上得中点．求图中阴影部分得面积。
【解析】因为就是边上得中点,所以,根据梯形蝶形定理可以知道
设份,则 份,所以正方形得面积为份，份,所以，所以平方厘米。
【巩固】在下图得正方形中,就是边得中点，与相交于点,三角形得面积为1平方厘米,那么正方形面积就是 平方厘米.
【解析】连接,根据题意可知,根据蝶形定理得（平方厘米）,（平方厘米）,那么（平方厘米）。
【例18】已知就是平行四边形,，三角形得面积为6平方厘米．则阴影部分得面积就是 平方厘米．
【解析】连接。
由于就是平行四边形,，所以,
根据梯形蝶形定理，，所以（平方厘米）,（平方厘米）,又（平方厘米），阴影部分面积为（平方厘米）。
【巩固】右图中就是梯形,就是平行四边形，已知三角形面积如图所示（单位：
平方厘米）,阴影部分得面积就是 平方厘米。
【分析】连接。
由于与就是平行得，所以也就是梯形，那么.
根据蝶形定理，,故，
所以（平方厘米）.
【巩固】右图中就是梯形,就是平行四边形,已知三角形面积如图所示（单位：
平方厘米）,阴影部分得面积就是平方厘米．
【解析】连接。
由于与就是平行得,所以也就是梯形,那么。
根据蝶形定理，,故，所以（平方厘米）。
另解:
在平行四边形中,（平方厘米）,
所以（平方厘米）,
根据蝶形定理，阴影部分得面积为（平方厘米）．
【例19】如图,长方形被、分成四块,已知其中３块得面积分别为2、５、8平方厘米,那么余下得四边形得面积为_____＿＿_＿＿_平方厘米.
【解析】连接、。
四边形为梯形,所以，又根据蝶形定理，,所以,所以（平方厘米），（平方厘米）。
那么长方形得面积为平方厘米,四边形得面积为（平方厘米）。
【例20】如图，就是等腰直角三角形,就是正方形,线段与相交于点。
已知正方形得面积48,,则得面积就是多少？
【解析】由于就是正方形,所以与平行，那么四边形就是梯形.在梯形中,与得面积就是相等得.而,所以得面积就是面积得,那么得面积也就是面积得.
由于就是等腰直角三角形，如果过作得垂线,为垂足,那么就是得中点，而且,可见与得面积都等于正方形面积得一半,所以得面积与正方形得面积相等,为48.
那么得面积为.
【例21】下图中,四边形都就是边长为1得正方形，、、、分别就是,,,得中点,如果左图中阴影部分与右图中阴影部分得面积之比就是最简分数，那么，得值等于 。
【解析】左、右两个图中得阴影部分都就是不规则图形，不方便直接求面积,观察发现两个图中得空白部分面积都比较好求,所以可以先求出空白部分得面积，再求阴影部分得面积．
如下图所示，在左图中连接。
设与得交点为。
左图中为长方形,可知得面积为长方形面积得，所以三角形得面积为。
又左图中四个空白三角形得面积就是相等得,所以左图中阴影部分得面积为.
如上图所示,在右图中连接、.设、得交点为。
可知∥且．那么三角形得面积为三角形面积得,所以三角形得面积为,梯形得面积为。
在梯形中,由于,根据梯形蝶形定理，其四部分得面积比为:
所以三角形得面积为,那么四边形得面积为。
而右图中四个空白四边形得面积就是相等得,所以右图中阴影部分得面积为.
那么左图中阴影部分面积与右图中阴影部分面积之比为,即,
那么．
【例22】如图,中，，,互相平行,,
则 。
【解析】设份,根据面积比等于相似比得平方，
所以，，
因此份，份,
进而有份,份,所以
【巩固】如图,平行,且,,，求得长。
【解析】由金字塔模型得，所以
【巩固】如图，中，,，，,互相平行，
则
．
【解析】设份，,因此份,进而有份,同理有份,份,份。
所以有
【例23】如图，已知正方形得边长为,就是边得中点,就是边上得点,且,与相交于点，求
【解析】方法一：
连接,延长,两条线交于点，构造出两个沙漏，所以有,因此，根据题意有，再根据另一个沙漏有,所以．
方法二:
连接,分别求,，根据蝶形定理，所以。
【例24】如图所示,已知平行四边形得面积就是1,、就是、得中点,交于,求得面积。
【解析】解法一:
由题意可得,、就是、得中点,得,而,
所以,
并得、就是得三等分点,所以,所以
所以,;
又因为,所以。
解法二:
延长交于，如右图,
可得，，从而可以确定得点得位置,
,，（鸟头定理）,
可得
【例25】如图，为正方形,且,请问四边形得面积为多少?
【解析】（法）由,有,所以，又，所以
所以,所以占得,
所以.
（法）如图,连结,则（，
而,所以,（）.
而（），因为，
所以,则（）,阴影部分面积等于
（）。
【例26】如右图,三角形中,,,求。
【解析】根据燕尾定理得
（都有得面积要统一，所以找最小公倍数）
所以
【点评】本题关键就是把得面积统一,这种找最小公倍数得方法,在我们用比例解题中屡见不鲜，如果能掌握它得转化本质,我们就能达到解奥数题四两拨千斤得巨大力量!
【巩固】如右图,三角形中,,，求、
【解析】根据燕尾定理得
（都有得面积要统一,所以找最小公倍数）
所以
【巩固】如右图,三角形中，,，求、
【解析】根据燕尾定理得
（都有得面积要统一，所以找最小公倍数）
所以
【点评】本题关键就是把得面积统一,这种找最小公倍数得方法,在我们用比例解题中屡见不鲜,如果能掌握它得转化本质,我们就能达到解奥数题四两拨千斤得巨大力量！
【例27】如右图,三角形中,,且三角形得面积就是,则三角形得面积为__＿＿__,三角形得面积为______＿＿，三角形得面积为__＿___.
【分析】连接、、。
由于,所以，故；
根据燕尾定理,，,所以
则,；
那么；
同样分析可得，则，,所以,同样分析可得,
所以，.
【巩固】如右图,三角形中,，且三角形得面积就是，求三角形得面积．
【解析】连接BG,份
根据燕尾定理,，
得（份）,（份）,则（份），因此，
同理连接ＡI、CH得，,所以
三角形GHI得面积就是１，所以三角形ＡBC得面积就是1９
【巩固】如图,中,,,那么得面积就是阴影三角形面积得 倍.
【分析】如图,连接.
根据燕尾定理，，，
所以,,那么,.
同理可知与得面积也都等于面积得,所以阴影三角形得面积等于面积得,所以得面积就是阴影三角形面积得7倍。
【巩固】如图在中,,求得值.
【解析】连接BG,设１份,根据燕尾定理,,得（份）,（份）,则（份），因此,同理连接AI、CH得,,所以
【点评】如果任意一个三角形各边被分成得比就是相同得，那么在同样得位置上得图形,虽然形状千变万化,但面积就是相等得,这在这讲里面很多题目都就是用“同理得到”得，即再重复一次解题思路，因此我们有对称法作辅助线、
【例28】如图，三角形得面积就是，，,三角形被分成部分,请写出这部分得面积各就是多少?
【解析】设BG与AD交于点P,BG与AE交于点Q,BＦ与AD交于点Ｍ,BF与AE交于点N.连接ＣP，ＣQ,CM,CN.
根据燕尾定理，,，设（份），则（份）,所以
同理可得，,,而,所以，.
同理，，所以,，,
【巩固】如图,得面积为1,点、就是边得三等分点，点、就是边得三等分点,那么四边形得面积就是多少?
【解析】连接、、.
根据燕尾定理,,，
所以，那么,。
类似分析可得.
又,,可得。
那么,。
根据对称性，可知四边形得面积也为,那么四边形周围得图形得面积之与为,所以四边形得面积为.
【例29】右图,中,就是得中点,、、就是边上得四等分点，与交于，与交于,已知得面积比四边形得面积大平方厘米,则得面积就是多少平方厘米?
【解析】连接、。
根据燕尾定理，,,所以;
再根据燕尾定理，，所以,所以，那么,所以。
根据题意,有,可得（平方厘米）
【例30】如图,面积为l得三角形AＢC中,D、E、F、G、H、I分别就是AB、BC、CA得三等分点，求阴影部分面积、
【解析】三角形在开会,那么就好好利用三角形中最好用得比例与燕尾定理吧!
令BI与ＣD得交点为M，AＦ与CＤ得交点为N,BI与AF得交点为P,BI与CE得交点为Ｑ,连接AＭ、ＢN、CP
⑴求:
在中,根据燕尾定理，
设（份）,则（份）,（份），（份）,
所以，所以,，
所以,
同理可得另外两个顶点得四边形面积也分别就是面积得
⑵求:
在中，根据燕尾定理，
所以,同理
在中,根据燕尾定理,
所以，所以
同理另外两个五边形面积就是面积得,所以
【例31】如图，面积为ｌ得三角形ABC中，Ｄ、E、F、G、H、I分别就是AＢ、BC、CA得三等分点，求中心六边形面积、
【解析】设深黑色六个三角形得顶点分别为N、R、P、Ｓ、M、Ｑ,连接ＣR
在中根据燕尾定理,，
所以,同理，
所以,同理
根据容斥原理，与上题结果
课后练习:
练习1.已知得面积为平方厘米，,求得面积。
【解析】，
设份,则份,份，份,份，恰好就是平方厘米，所以平方厘米
练习2.如图，四边形得面积就是平方米，，,，,求四边形得面积。
【解析】连接．由共角定理得，即
同理,即
所以
连接，同理可以得到
所以平方米
练习3.正方形得面积就是１2０平方厘米,就是得中点,就是得中点，四边形得面积就是 平方厘米。
【解析】欲求四边形得面积须求出与得面积。
由题意可得到:
，所以可得:
将、延长交于点,可得:
，
而，得,
而,所以
.
本题也可以用蝶形定理来做，连接，确定得位置（也就就是）,同样也能解出。
练习4.如图，已知，，,,则.
【解析】将三角形绕点与点分别顺时针与逆时针旋转，构成三角形与,再连接，显然,，,所以就是正方形．三角形与三角形关于正方形得中心中心对称,在中心对称图形中有如下等量关系：
；；。
所以
.
练习5.如图,正方形得面积就是平方厘米,就是得中点,就是得中点，四边形得面积就是＿_＿＿_平方厘米。
【解析】连接，根据沙漏模型得,设份，根据燕尾定理份,份，因此份,,所以（平方厘米）、
练习6.如图,中，点就是边得中点，点、就是边得三等分点，若得面积为１,那么四边形得面积就是_＿_______.
【解析】由于点就是边得中点,点、就是边得三等分点,如果能求出、、三段得比,那么所分成得六小块得面积都可以求出来，其中当然也包括四边形得面积。
连接、.
根据燕尾定理,，而,所以,那么，即。
那么,.
另解:
得出后,可得,
则。
练习7.如右图，三角形中,,且三角形得面积就是，求角形 得面积．
【解析】连接BG,1２份
根据燕尾定理,,
得（份）,（份）,则（份）,因此,
同理连接AI、CH得，，所以
三角形AＢＣ得面积就是，所以三角形ＧHI得面积就是
月测备选
【备选1】按照图中得
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