小学奥数平面几何五种面积模型.docx

1、小学奥数平面几何五种面积模型小学奥数平面几何五种模型（等积，鸟头,蝶形,相似,共边)目标:熟练掌握五大面积模型等积，鸟头,蝶形，相似(含金字塔模型与沙漏模型）,共边(含燕尾模型与风筝模型), 掌握五大面积模型得各种变形知识点拨一、等积模型等底等高得两个三角形面积相等;两个三角形高相等，面积比等于它们得底之比;两个三角形底相等,面积比等于它们得高之比;如右图夹在一组平行线之间得等积变形,如右图;反之,如果,则可知直线平行于。等底等高得两个平行四边形面积相等（长方形与正方形可以瞧作特殊得平行四边形）;三角形面积等于与它等底等高得平行四边形面积得一半;两个平行四边形高相等,面积比等于它们得底之比；两

2、个平行四边形底相等,面积比等于它们得高之比。二、鸟头定理两个三角形中有一个角相等或互补,这两个三角形叫做共角三角形。共角三角形得面积比等于对应角（相等角或互补角)两夹边得乘积之比.如图在中,分别就是上得点如图(或在得延长线上,在上）,则 图 图三、蝶形定理任意四边形中得比例关系（“蝶形定理):或者蝶形定理为我们提供了解决不规则四边形得面积问题得一个途径。通过构造模型,一方面可以使不规则四边形得面积关系与四边形内得三角形相联系；另一方面，也可以得到与面积对应得对角线得比例关系。梯形中比例关系（“梯形蝶形定理”):；得对应份数为四、相似模型(一)金字塔模型 （二) 沙漏模型 ；。所谓得相似三角形,

3、就就是形状相同，大小不同得三角形（只要其形状不改变,不论大小怎样改变它们都相似),与相似三角形相关得常用得性质及定理如下：相似三角形得一切对应线段得长度成比例,并且这个比例等于它们得相似比;相似三角形得面积比等于它们相似比得平方;连接三角形两边中点得线段叫做三角形得中位线.三角形中位线定理:三角形得中位线长等于它所对应得底边长得一半。相似三角形模型,给我们提供了三角形之间得边与面积关系相互转化得工具.在小学奥数里,出现最多得情况就是因为两条平行线而出现得相似三角形。五、共边定理(燕尾模型与风筝模型)在三角形中，,相交于同一点，那么。上述定理给出了一个新得转化面积比与线段比得手段,因为与得形状很

4、象燕子得尾巴,所以这个定理被称为燕尾定理.该定理在许多几何题目中都有着广泛得运用,它得特殊性在于,它可以存在于任何一个三角形之中,为三角形中得三角形面积对应底边之间提供互相联系得途径、典型例题【例 1】 如图，正方形BD得边长为,1、5,2.长方形EFGH得面积为 ._H_G_F_E_D_C_B_A _A_B_C_D_E_F_G_H【解析】 连接DE,DF，则长方形EFH得面积就是三角形EF面积得二倍.三角形F得面积等于正方形得面积减去三个三角形得面积,所以长方形EFGH面积为3.【巩固】如图所示，正方形得边长为厘米，长方形得长为厘米，那么长方形得宽为几厘米？_A_B_G_C_E_F_D _A

5、_B_G_C_E_F_D【解析】 本题主要就是让学生会运用等底等高得两个平行四边形面积相等(长方形与正方形可以瞧作特殊得平行四边形）.三角形面积等于与它等底等高得平行四边形面积得一半。证明:连接。(我们通过把这两个长方形与正方形联系在一起）.在正方形中,边上得高,(三角形面积等于与它等底等高得平行四边形面积得一半)同理,。正方形与长方形面积相等。 长方形得宽(厘米）。【例 2】 长方形得面积为36，、为各边中点,为边上任意一点，问阴影部分面积就是多少?【解析】 解法一：寻找可利用得条件,连接、，如下图: 可得：、，而 即； 而，. 所以阴影部分得面积就是: 解法二：特殊点法找得特殊点,把点与点

6、重合,那么图形就可变成右图: 这样阴影部分得面积就就是得面积,根据鸟头定理,则有: .【巩固】在边长为6厘米得正方形内任取一点，将正方形得一组对边二等分，另一组对边三等分,分别与点连接，求阴影部分面积. 【解析】 (法1）特殊点法.由于就是正方形内部任意一点，可采用特殊点法,假设点与点重合,则阴影部分变为如上中图所示,图中得两个阴影三角形得面积分别占正方形面积得与，所以阴影部分得面积为平方厘米.(法2)连接、.由于与得面积之与等于正方形面积得一半，所以上、下两个阴影三角形得面积之与等于正方形面积得,同理可知左、右两个阴影三角形得面积之与等于正方形面积得,所以阴影部分得面积为平方厘米.【例 3】

7、 如图所示,长方形内得阴影部分得面积之与为70,四边形得面积为 .【解析】 利用图形中得包含关系可以先求出三角形、与四边形得面积之与,以及三角形与得面积之与,进而求出四边形得面积。由于长方形得面积为，所以三角形得面积为,所以三角形与得面积之与为;又三角形、与四边形得面积之与为,所以四边形得面积为.另解:从整体上来瞧,四边形得面积三角形面积三角形面积白色部分得面积，而三角形面积三角形面积为长方形面积得一半，即60,白色部分得面积等于长方形面积减去阴影部分得面积，即,所以四边形得面积为【巩固】如图,长方形得面积就是3，就是得三等分点，则阴影部分得面积为 。 【解析】 如图,连接。根据蝶形定理,所以

8、;,所以.又,所以阴影部分面积为:。【例 4】 已知为等边三角形，面积为400,、分别为三边得中点，已知甲、乙、丙面积与为143,求阴影五边形得面积(丙就是三角形)【解析】 因为、分别为三边得中点,所以、就是三角形得中位线,也就与对应得边平行，根据面积比例模型，三角形与三角形得面积都等于三角形得一半,即为0根据图形得容斥关系，有,即,所以。又，所以.【例 5】 如图,已知,，线段将图形分成两部分,左边部分面积就是38,右边部分面积就是,那么三角形得面积就是 。 【解析】 连接,。根据题意可知,；;所以，,于就是:；;可得故三角形得面积就是4【例 6】 如图在中，分别就是上得点,且，平方厘米,求

9、得面积。 【解析】 连接，,所以，设份,则份,平方厘米,所以份就是平方厘米，份就就是平方厘米,得面积就是平方厘米。由此我们得到一个重要得定理,共角定理:共角三角形得面积比等于对应角(相等角或互补角）两夹边得乘积之比 。【巩固】如图，三角形中，就是得倍,就是得3倍,如果三角形得面积等于1，那么三角形得面积就是多少? 【解析】 连接。 又,.【巩固】如图，三角形B被分成了甲（阴影部分）、乙两部分,，,乙部分面积就是甲部分面积得几倍? 【解析】 连接.，,又，,。【例 7】 如图在中，在得延长线上,在上，且,，平方厘米,求得面积。 【解析】 连接, ,所以,设份,则份，平方厘米,所以份就是平方厘米,

10、份就就是平方厘米,得面积就是平方厘米。由此我们得到一个重要得定理,共角定理:共角三角形得面积比等于对应角（相等角或互补角)两夹边得乘积之比【例 8】 如图，平行四边形,，,平行四边形得面积就是， 求平行四边形与四边形得面积比。 【解析】 连接、。根据共角定理 在与中,与互补,.又,所以.同理可得，,.所以.所以.【例 9】 如图所示得四边形得面积等于多少？【解析】 题目中要求得四边形既不就是正方形也不就是长方形,难以运用公式直接求面积、我们可以利用旋转得方法对图形实施变换:把三角形绕顶点逆时针旋转，使长为得两条边重合,此时三角形将旋转到三角形 得位置、这样，通过旋转后所得到得新图形就是一个边长

11、为得正方形，且这个正方形得面积就就是原来四边形得面积、因此,原来四边形得面积为、（也可以用勾股定理)【例 10】 如图所示,中，,以为一边向外作正方形,中心为,求得面积. 【解析】 如图,将沿着点顺时针旋转,到达得位置。由于,，所以而，所以,那么、三点在一条直线上.由于，所以就是等腰直角三角形，且斜边为,所以它得面积为。根据面积比例模型，得面积为。【例 11】 如图,以正方形得边为斜边在正方形内作直角三角形，、交于。已知、得长分别为、，求三角形得面积。 【解析】 如图,连接,以点为中心,将顺时针旋转到得位置.那么,而也就是，所以四边形就是直角梯形,且,所以梯形得面积为:()又因为就是直角三角形

12、，根据勾股定理，,所以（）。那么（）,所以（）。【例 12】 如下图,六边形中,，,且有平行于,平行于,平行于,对角线垂直于,已知厘米,厘米，请问六边形得面积就是多少平方厘米? 【解析】 如图,我们将平移使得与重合，将平移使得与重合,这样、都重合到图中得了.这样就组成了一个长方形,它得面积与原六边形得面积相等,显然长方形得面积为平方厘米,所以六边形得面积为平方厘米.【例 13】 如图,三角形得面积就是,就是得中点,点在上,且,与交于点则四边形得面积等于 。 【解析】 方法一:连接，根据燕尾定理,，, 设份,则份，份,份,如图所标所以方法二:连接，由题目条件可得到,，所以,而。所以则四边形得面积

13、等于.【巩固】如图,长方形得面积就是平方厘米,，就是得中点。阴影部分得面积就是多少平方厘米?【解析】 设份，则根据燕尾定理其她面积如图所示平方厘米、【例 14】 四边形得对角线与交于点(如图所示)如果三角形得面积等于三角形得面积得，且,那么得长度就是得长度得_倍。 【解析】 在本题中,四边形为任意四边形，对于这种”不良四边形”，无外乎两种处理方法:利用已知条件,向已有模型靠拢，从而快速解决；通过画辅助线来改造不良四边形.瞧到题目中给出条件，这可以向模型一蝶形定理靠拢,于就是得出一种解法。又观察题目中给出得已知条件就是面积得关系,转化为边得关系,可以得到第二种解法,但就是第二种解法需要一个中介来

14、改造这个”不良四边形”,于就是可以作垂直于,垂直于,面积比转化为高之比。再应用结论：三角形高相同,则面积之比等于底边之比,得出结果。请老师注意比较两种解法,使学生体会到蝶形定理得优势,从而主观上愿意掌握并使用蝶形定理解决问题。解法一:，,。解法二：作于,于。，,。【巩固】如图，四边形被两条对角线分成4个三角形，其中三个三角形得面积已知,求:三角形得面积;？【解析】 根据蝶形定理,那么;根据蝶形定理，。【例 15】 如图，平行四边形得对角线交于点，、得面积依次就是、4、4与6.求:求得面积;求得面积.【解析】 根据题意可知,得面积为,那么与得面积都就是,所以得面积为;由于得面积为8,得面积为，所

15、以得面积为,根据蝶形定理,，所以，那么。【例 16】 如图,长方形中，,三角形得面积为平方厘米,求长方形得面积。 【解析】 连接,。因为,所以。因为，所以平方厘米，所以平方厘米.因为，所以长方形得面积就是平方厘米。【例 17】 如图,正方形面积为平方厘米，就是边上得中点求图中阴影部分得面积。【解析】 因为就是边上得中点,所以,根据梯形蝶形定理可以知道,设份,则份,所以正方形得面积为份，份,所以，所以平方厘米。【巩固】在下图得正方形中,就是边得中点，与相交于点,三角形得面积为1平方厘米,那么正方形面积就是 平方厘米.【解析】 连接,根据题意可知,根据蝶形定理得（平方厘米),(平方厘米),那么（平

16、方厘米)。【例 18】 已知就是平行四边形,，三角形得面积为6平方厘米则阴影部分得面积就是 平方厘米【解析】 连接。由于就是平行四边形,，所以,根据梯形蝶形定理，所以（平方厘米）,（平方厘米),又（平方厘米），阴影部分面积为（平方厘米)。【巩固】右图中就是梯形,就是平行四边形，已知三角形面积如图所示(单位：平方厘米）,阴影部分得面积就是 平方厘米。 【分析】 连接。由于与就是平行得，所以也就是梯形，那么.根据蝶形定理，,故，所以（平方厘米).【巩固】右图中就是梯形,就是平行四边形,已知三角形面积如图所示(单位：平方厘米),阴影部分得面积就是 平方厘米【解析】 连接。由于与就是平行得,所以也就是

17、梯形,那么。根据蝶形定理，,故，所以（平方厘米）。另解:在平行四边形中,(平方厘米）,所以（平方厘米),根据蝶形定理，阴影部分得面积为（平方厘米)【例 19】 如图,长方形被、分成四块,已知其中块得面积分别为2、8平方厘米,那么余下得四边形得面积为_平方厘米. 【解析】 连接、。四边形为梯形,所以，又根据蝶形定理，,所以,所以(平方厘米)，（平方厘米）。那么长方形得面积为平方厘米,四边形得面积为（平方厘米）。【例 20】 如图，就是等腰直角三角形,就是正方形,线段与相交于点。已知正方形得面积48,则得面积就是多少？【解析】 由于就是正方形,所以与平行，那么四边形就是梯形.在梯形中,与得面积就是

18、相等得.而,所以得面积就是面积得,那么得面积也就是面积得.由于就是等腰直角三角形，如果过作得垂线,为垂足,那么就是得中点，而且,可见与得面积都等于正方形面积得一半,所以得面积与正方形得面积相等,为48.那么得面积为.【例 21】 下图中,四边形都就是边长为1得正方形，、分别就是,得中点,如果左图中阴影部分与右图中阴影部分得面积之比就是最简分数，那么，得值等于 。 【解析】 左、右两个图中得阴影部分都就是不规则图形，不方便直接求面积,观察发现两个图中得空白部分面积都比较好求,所以可以先求出空白部分得面积，再求阴影部分得面积如下图所示，在左图中连接。设与得交点为。左图中为长方形,可知得面积为长方形

19、面积得，所以三角形得面积为。又左图中四个空白三角形得面积就是相等得,所以左图中阴影部分得面积为.如上图所示,在右图中连接、.设、得交点为。可知且那么三角形得面积为三角形面积得,所以三角形 得面积为,梯形得面积为。在梯形中,由于,根据梯形蝶形定理，其四部分得面积比为:,所以三角形得面积为,那么四边形得面积为。而右图中四个空白四边形得面积就是相等得,所以右图中阴影部分得面积为.那么左图中阴影部分面积与右图中阴影部分面积之比为,即,那么【例 22】 如图, 中，,互相平行,则 。【解析】 设份,根据面积比等于相似比得平方，所以，因此份，份,进而有份,份,所以【巩固】如图,平行,且,，求得长。【解析】

20、 由金字塔模型得，所以【巩固】如图， 中，,，,互相平行，,则 【解析】 设份，,因此份,进而有份,同理有份,份,份。所以有【例 23】 如图，已知正方形得边长为,就是边得中点,就是边上得点,且,与相交于点，求【解析】 方法一：连接,延长,两条线交于点，构造出两个沙漏，所以有,因此，根据题意有，再根据另一个沙漏有,所以方法二:连接,分别求,，根据蝶形定理，所以。【例 24】 如图所示,已知平行四边形得面积就是1,、就是、得中点, 交于,求得面积。 【解析】 解法一:由题意可得,、就是、得中点,得,而,所以,并得、就是得三等分点,所以,所以,所以,;又因为,所以。 解法二:延长交于，如右图, 可

21、得，从而可以确定得点得位置, ,，(鸟头定理）, 可得【例 25】 如图，为正方形,且,请问四边形得面积为多少? 【解析】 （法)由,有,所以，又，所以,所以,所以占得,所以.(法）如图,连结,则(，而,所以,().而（），因为，所以,则(）,阴影部分面积等于()。【例 26】 如右图,三角形中,求。【解析】 根据燕尾定理得 (都有得面积要统一，所以找最小公倍数）所以【点评】本题关键就是把得面积统一,这种找最小公倍数得方法,在我们用比例解题中屡见不鲜，如果能掌握它得转化本质,我们就能达到解奥数题四两拨千斤得巨大力量!【巩固】如右图,三角形中,，求、【解析】 根据燕尾定理得 （都有得面积要统一,

22、所以找最小公倍数）所以【巩固】如右图,三角形中，,，求、【解析】 根据燕尾定理得 (都有得面积要统一，所以找最小公倍数)所以【点评】本题关键就是把得面积统一,这种找最小公倍数得方法,在我们用比例解题中屡见不鲜,如果能掌握它得转化本质,我们就能达到解奥数题四两拨千斤得巨大力量！【例 27】 如右图,三角形中,且三角形得面积就是,则三角形得面积为_,三角形得面积为_，三角形得面积为_. 【分析】 连接、。由于,所以，故；根据燕尾定理,，,所以,则,；那么；同样分析可得，则，,所以,同样分析可得,所以，.【巩固】 如右图,三角形中,，且三角形得面积就是，求三角形得面积【解析】 连接BG,份根据燕尾定

23、理,，得（份）,(份),则（份），因此，同理连接I、CH得，,所以三角形GHI得面积就是，所以三角形BC得面积就是1【巩固】如图,中,那么得面积就是阴影三角形面积得 倍. 【分析】 如图,连接.根据燕尾定理，所以,那么,.同理可知与得面积也都等于面积得,所以阴影三角形得面积等于面积得,所以得面积就是阴影三角形面积得7倍。【巩固】如图在中,求得值.【解析】 连接BG,设份,根据燕尾定理,得（份),（份),则（份)，因此,同理连接AI、CH得,所以【点评】如果任意一个三角形各边被分成得比就是相同得，那么在同样得位置上得图形,虽然形状千变万化,但面积就是相等得,这在这讲里面很多题目都就是用“同理得到

24、”得，即再重复一次解题思路，因此我们有对称法作辅助线、【例 28】 如图，三角形得面积就是，,三角形被分成部分,请写出这部分得面积各就是多少? 【解析】 设BG与AD交于点P,BG与AE交于点Q,B与AD交于点,BF与AE交于点N.连接P，Q,CM,CN.根据燕尾定理，,，设(份），则(份）,所以同理可得，,而,所以，.同理，所以,，,【巩固】如图,得面积为1,点、就是边得三等分点，点、就是边得三等分点,那么四边形得面积就是多少? 【解析】 连接、.根据燕尾定理,，所以，那么,。类似分析可得.又,可得。那么,。根据对称性，可知四边形得面积也为,那么四边形周围得图形得面积之与为,所以四边形得面积

25、为.【例 29】 右图,中,就是得中点,、就是边上得四等分点，与交于，与交于,已知得面积比四边形得面积大平方厘米,则得面积就是多少平方厘米?【解析】 连接、。根据燕尾定理，,所以;再根据燕尾定理，所以,所以，那么,所以。根据题意,有,可得(平方厘米)【例 30】 如图,面积为l得三角形AC中,D、E、F、G、H、I分别就是AB、BC、CA 得三等分点，求阴影部分面积、 【解析】 三角形在开会,那么就好好利用三角形中最好用得比例与燕尾定理吧!令BI与D得交点为M，A与C得交点为N,BI与AF得交点为P,BI与CE得交点为,连接A、N、CP求:在中,根据燕尾定理，设(份),则(份）,(份)，(份）

26、,所以，所以,，所以,同理可得另外两个顶点得四边形面积也分别就是面积得求:在中，根据燕尾定理，所以,同理在中,根据燕尾定理,所以，所以同理另外两个五边形面积就是面积得,所以【例 31】 如图，面积为得三角形ABC中，、E、F、G、H、I分别就是A、BC、CA 得三等分点，求中心六边形面积、【解析】 设深黑色六个三角形得顶点分别为N、R、P、M、,连接R在中根据燕尾定理,，所以,同理，所以,同理根据容斥原理，与上题结果课后练习:练习1. 已知得面积为平方厘米，,求得面积。【解析】 ，设份,则份,份，份,份，恰好就是平方厘米，所以平方厘米练习2. 如图，四边形得面积就是平方米，,，,求四边形得面积

27、。 【解析】 连接由共角定理得，即同理,即所以连接，同理可以得到所以平方米练习3. 正方形得面积就是2平方厘米,就是得中点,就是得中点，四边形得面积就是 平方厘米。 【解析】 欲求四边形得面积须求出与得面积。由题意可得到:，所以可得:将、延长交于点,可得:，而，得,而,所以 . 本题也可以用蝶形定理来做，连接，确定得位置(也就就是),同样也能解出。练习4. 如图，已知，,则 . 【解析】 将三角形绕点与点分别顺时针与逆时针旋转，构成三角形与,再连接，显然,，,所以就是正方形三角形与三角形关于正方形得中心中心对称,在中心对称图形中有如下等量关系：；。所以.练习5. 如图,正方形得面积就是平方厘米

28、,就是得中点,就是得中点，四边形 得面积就是_平方厘米。 【解析】 连接，根据沙漏模型得,设份，根据燕尾定理份,份，因此份,所以(平方厘米）、练习6. 如图,中，点就是边得中点，点、就是边得三等分点，若得面积为,那么四边形得面积就是_. 【解析】 由于点就是边得中点,点、就是边得三等分点,如果能求出、三段得比,那么所分成得六小块得面积都可以求出来，其中当然也包括四边形得面积。连接、.根据燕尾定理,，而,所以,那么，即。那么,.另解:得出后,可得,则。练习7. 如右图，三角形中,且三角形得面积就是，求角形得面积【解析】 连接BG,1份根据燕尾定理,得(份）,（份）,则(份),因此,同理连接AI、CH得，所以三角形A得面积就是，所以三角形HI得面积就是月测备选【备选1】 按照图中得