初二数学上册《第七章二元一次方程》教案.docx

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初二数学上册《第七章二元一次方程》教案

贵州省贵阳市花溪二中八年级数学上册《第七章：

二元一次方程》教案北师大版

7.1谁的包裹多

【教学目标】

【知识目标】了解二元一次方程、二元一次方程组及其解等有关概念，并会判断一组数是不是某个二元一次方程组的解。

【能力目标】通过讨论和练习，进一步培养学生的观察、比较、分析的能力。

【情感目标】通过对实际问题的分析，使学生进一步体会方程是刻画现实世界的有效数学模型，培养学生良好

的数学应用意识。

【重点】二元一次方程组的含义

【难点】判

断一组数是不是某个二元一次方程组的解，培养学生良好的数学应用意识。

【教学过程】

一、引入、实物投影（P181图）

1、师：

在一望无际呼伦贝尔大草原上，一头老牛和一匹小马驮着包裹吃力地行走着，老牛喘着气吃力地说：

“累死我了”，小马说：

“你还累，这么大的个，才比我多驮2个”老牛气不过地说：

“哼，我从你背上拿来一个，我的包裹就是你的2倍！

”，小马天真而不信地说：

“真的？

！

”同学们，你们能否用数学知识帮助小马解决问题呢？

2、请每个学习小组讨论（讨论2分钟，然后发言）

这个问题由于涉及到老牛和小马的驮包裹的两个未知数，我们设老牛驮x个包裹，小马驮y个包裹，老牛的包裹数比小马多2个，由此得方程x-y=2，若老牛从小马背上拿来1个包裹，这时老牛的包裹是小马的2倍，得方程：

x+1=2（y-1）

师：

同学们能用方程的方法来发现、解决问题这很好，上面所列方程有几个未知数？

含未知数的项的次数是多少？

（含有两个未知数，并且所含未知数项的次数是1）

师：

含有两个未知数，并且含未知数项的次数都是1的方程叫做二元一次方程

注意：

这个定义有两个地方要注意：

①、含有两个未知数；②、含未知数的次数是一次

下列方程有哪些是二元一次方程

+2y=1xy+x=13x-

=5x2-2=3x

xy=12x（y+1）=c2x-y=1x+y=0

二、议一议、

师：

上面的方程中x-y=2，x+1=2（y-1）的x含义相同吗？

y呢？

（两个方程中x的表示老牛驮的包裹数，y表示小马的包裹数，x、y的含义分别相同。

）

师：

由于x、y的含义分别相同，因而必同时满足x-y=2和x+1=2（y-1），我们把这两个方程用大括号联立起来，写成

x-y=2

x+1=2（y-1）

像这样含有两个未知数的两个一次方程所组成的一组方程，叫做二元一次方程组。

如：

2x+3y=35x+3y=8

x-3y=0x+y=8

三、做一做、

1、x=6,y=2适合方程x+y=8吗？

x=5,y=3呢？

x=4,y=4呢？

你还能找到其他x,y值适合x+y=8方程吗？

2、X=5,y=3适合方程5x+3y=34吗？

x=2,y=8呢？

3、你能找到一组值x,y同时适合方程x+y=8和5x+3y=34吗？

各小组合作完成，各同学分别代入验算，教师巡回参与小组活动，并帮助找到3题的结论.

由学生回答上面3个问题，老师作出结论

适合一个二元一次方程的一组未知数的值，叫做这个二元一次方程的解

x=6,y=2是方程x+y=8的一个解，记作x=6同样，x=5

y=2y=3

也是方程x+y=8的一个解，同时x=5又是方程5x+3y=34的一个解，

y=3

二元一次方程各个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解。

四、随堂练习、（P184）

五、小结：

1、含有两未知数，并且含有未知数的项的次数是一次的整式方程叫做二元一次方程。

2、二元一次方程的解是一个互相关联的两个数值，它有无数个解。

3、含有两个未知数的两个二元一次方程组成的一组方程，叫做二元一次方程组，它的解是两个方程的公共解，是一组确定的值。

7．2解二元一次方程组

（1）

【教学目标】

【知识目标】会用代入消元法解二元一次方程组

【能力目标】了解解二元一次方程组的消元思想,初步体现数学研究中“化未知为已知”的化归思想,从而“变陌生为熟悉”

【情感目标】利用小组合作探讨学习,使学生领会朴素的辩证唯物主义思想

【重点】用代入法解二元一次方程组,

基本方法是消元化二元为一元.

【难点】用代入法解二元一次方程组的基本思想是化归——化陌生为熟悉.

【教学过程】

一、引入

上节课我们的老牛和小马的包裹谁的多的问题,经过大家的共同努力,得出了二元一次方程组x-y=2①到底谁的包裹多呢?

x+1=2（y-1）②

这就需要解这个二元一次方程组.

二、一元一次方程我们会解,二元一次方程组如何解呢?

我们大家知道二元一次方程只需要消去一个未知数就可变为一元一次方程,那么我们发现：

由①得y=x-2

由于方程组相同的字母表示同一个未知数,所以方程②中的y也等于x-2,可以用x-2代替方程②中的y.这样就得到大家会解的一元一次方程了.

三、做一做

我们知道了解二元一次方程组的一种思路,下面我们来做一做

例1、

解方程组3x+2y=8①

x=

②

解：

将②代入①,得3（y+3）+2y=14

3y+9+2y=14

5y=5

y=1

将y=1代入②,得x=4

所以原方程组的解是x=4

y=1

例2、解方程组2x+3y=16①

x+4y=13②

教师先分析：

此题不同于例1,（即用含有一个未知数的代数式表示另一个未知数），②式不能直接代入①,那么我们应当怎样处理才能转化为例1②式这样的形式呢?

请同学回答

（应先对②式进行恒等变化,把它化为例1中②式那样的形式.）

分小组合作完成上述例题,请两个小组的

代表上黑板上来板演

解：

由②，得x=13-4y

将③代入①，得2（13-4）S+3y=16

26-8y+3y=16

-5y=-10

y=2

将代入③，得x=5

所以原方程组的解是x=5

y=2

四、议一议、

上面解方程组的基本思路是什么？

主要步骤有哪些？

上面解方程组的基本思路是“消元”——把“二元”变为“一元”。

主要步骤是：

①将其中一个方程中的某个未知数用含有另一个未知数的代数式表示出来，②将这个代数式代入另一个方程中，从而消去一个未知数，化二元一次方程组为一元一次方程式。

③解这个一元一次方程。

④把求得的一次方程的解代入方程中，求得另一个未知数值，组成方程组的解。

这种解方程组的方法称为代入消元法。

简称代入法。

五、练一练、

1、已知x+3y-6=0，用含x的代数式表示y为，用含y的代数式表示x为

.

2、书本P188随堂练习

六、小结、

1、今天我们学习了二元一次方程组的解法，你有什么体会？

2、解二元一次方程组的思路是消元，把二元变为一元

3、解题步骤概括为三步即：

①变、②代、③解、

4、方程组的解的表示方法，应用大括号把一对未知数的值连在一起，表示同时成立，不要写成x=？

y=？

5、由一个方程变形得到的一个含有一个未知数的代数式必须代入另一个方程中去，否则会出现一个恒等式。

七、作业、

1、已知x=1是方程组ax+by=2的解，则a、b的值是多少？

y=1x-by=3

2、若方程组4x+3y=1的解x与y相等，则a的值是多少？

ax+（a-1）y=3

7.2用加减法解二元一次方程组

（2）

【教学目标】

【知识目标】使学生正确掌握用加减法解二元一次方程组的方法。

【情感目标】使学生理解加减消元法的基本思想所体现的“化未知为已知”的化归思想方法。

【教学重点】掌握用加减消元法解二元一次方

程组的方法

【教学难点】明确用加减法解元一次方程组的关键是必须使用权两个方程中同一个未知数的系数的绝对值相等

【教学过程】

一、想一想

怎样解下面的二元一次方程组呢？

3x+5y=21①

2x－5y=-11②

（分四人小组讨论，教师巡回听讲，然后请三位同学到黑板上板演）

三位同学那位的解法简单呢？

我们发现此题的解题方法有三种，

1、把②式转化为x=

形式然后代入①，就是我们已经熟悉的代入消元法了。

2、把②式转化为5y=2x+11，然后把5y看成是一个整体，就可以直接代入①5y-5y

3、因为5y和-5y是互为相反数，那么我们考虑是否可以把①+②

我们知道两个方程相加，可以得到5x=10

x=2

将x=2代入①，得6+5y=21

y=3

所以方程组的解是x=2

y=3（注意方程组的解要用大括号括起来）

下面我们能否用类似的

方法解决下面问题呢？

例3解方程组2x-5y=7①

2x+3y=-1②

解：

②-①,得8y=-8

y=-1

将y=-1代入①，得2x+5=7

x=1

所以原方程组是x=1

y=-1

例4解方程组2x+3y=12①

3x+4y=17②

解：

①×3,得6x+9y=36③

②×2，得6x+8y==34④

③－④,得y=2

将y=2代入①，得x=3

所以原方程组的解是x=3

y=2

二、议一议

从上面的问题中我们可以得到什么启发呢？

我们可以得到解方程组的基本思路？

解方程的主要步骤有哪些？

1、对某些二元一次方程组可通过方程两边分别相加（减），消去其中一个未知数，得到一个一元一次方程，从而求出它的解，这就是本节课解方程组的基本思路。

2、解这种类型的方程组的主要步骤，是观察求未各数的系数的绝对值是否相同，若互为相反数就用加，若相同，就用减，达到消元目的。

3、这种通过两式相加（减）消去一个未知数，这种解二元一次方程组的方法叫做加减消元法，简称加减法。

三、练一练用加减消元法解下列方程组：

1、

7x-2y=-32、6x-5y=3

9x+2y=-196x+y=-15

3、4s+3t=54、5x-6y=-5

2s-t=-157x-4y=9

四、试一试、

1、

解方程组

2x+3y+4z=128

2、如果x∶y=3∶2，并且x+3y=27，则x、y中较小的数是.

3、若3x3m+5n+9+4y4m-2n-7=2，是关于x和y的二元一次方程，求

的值.

五、小结

消元

解二元一次方程组的步骤：

二元一次方程组一元一次方程

回代

解一元一次方程求另一个未知数的值写出方程组的解。

六、作业

P191

7、3鸡兔同笼

【教学目标】使学生初步掌握列二元一次方程组解应用题

【知识目标】使学生初步掌握列二元一次方程组解应用

题

【能力目标】通过将实际问题转化成纯数学问题的应用训练，培养学生分析问题、解决问题的能力。

【情感目标】通过对祖国文明史的了解，培养学生爱国主义精神。

【重点】根据等量关系列二元一次方程组解应用题。

【难点】根据题意找出等量关系，列出方程。

【教学过程】

一、我们伟大祖国具有五千年的文明史，在历史的长河中，为科学知识的创新和发展作出了巨大的贡献，特别在数学领域有[九章算术]、[孙子算经]等古代名著流传于世，普及趋于民众，许多问题浅显易懂，趣味性强，如[九章算术]下卷第三

题目“雉兔同笼”等，漂洋过海传到了日本等国，对中国古代文明史的传播起了很大作用。

“雉兔同笼”题为：

“今有雉兔同笼，上有三十五关，下有九十四足，问雉兔各几何？

”

问题1、“上有三十五头”指的意思是什么？

“下有九十四足”呢？

答：

“上有三十五头”指的鸡和兔共有三十五个头，“下有九十四足”指的是鸡和兔共有九十四只脚。

问题2、你能根据问题1中的的数量关系列出方程吗？

并能解决这个有趣的问题吗？

（分小组进行讨论，然后请两个小组的代表到黑板上板演）

解：

设有鸡x只，兔y只，则

x+y=35解之得x=23

2x+4y=94y=12

答：

共有鸡23只，兔12只。

这个古老的数学问题，用今天的方程解决，体现了古为今用的原则，为后人理解了数学的过去和现在，当代的著名的数学家陈省生教授在说起“鸡兔同笼”时，曾另有一番别有风趣的延伸：

“全体鸡兔立正，兔子提起前面的两只脚，请问现在共有几只脚？

”……

二、中国是一个伟大的四大文明古国，像这样浅显有趣的数学题目还有很多，我们的书上就提供了这样的一个例题

例1、以绳测井，若将绳三折测之，绳多五尺，若将绳四折测之，绳多一尺，绳长、井深各几何？

接下来老师看一下，那位同学的古文水平好，那位同学能自告奋勇地解释一下，这段古文的意思？

（用绳子测量水井的深度，如果将绳子折成三等分，一份绳子长比井深多5尺；如果将绳折成四等份，一份绳子比井深多1尺，绳子、井深各是多少尺？

）

（分小组进行讨论，然后请两个小组的代表到黑板上板演）

解：

设绳子长x尺，井深y尺，则

解之得x=48

y=11答：

绳子长为48尺，井深11尺。

三、议一议

从上面的两个问题的解决中，你得到了什么感悟，有什么收获？

请与同学们交流。

用方程组解决实际问题时应该注意下列几个问题：

1、认真读题和审题，弄清古代问题的现实意义

2、正确设出未知数

3、找出相等关系，并列出方程组。

4、解此方程组

5、写出答案

四、练一练

1、古代有一个马快，一天晚上他在野外的一个茅屋里，听到外边来了一群人，在分脏，在吵闹，他隐隐约约地听到几个声音，下面有这一古诗为证：

隔壁听到人分银，不知人数不知银。

只知每人五两多六两，每人六两少五两，

问你多少人数多少银？

2、列方程组解古算题：

“今有牛五、羊二、直金十两，牛二、羊五，直金八两，牛、羊各直金几何？

”

题目大意是：

5头牛、2只羊共价值10两“金”、2头牛、5只羊共价值8两“金”、每头牛、每只羊共价值多少“金”？

[可设每头牛值“金”x两，每只羊值“金”y两，则有方程组

5x+2y=10解之得x=

2x+5y=8y=

五、小结

经过本节课的学习，你有什么收获和体会？

六、作业P195

7、4增收节支

【教学目标】

【知识目标】会正确地运用表格分析与“增收节支”相似一类问题的数量关系，会列二元一次方程组这类问题。

【能力目标】培养学生分析问题和解决问题的能力。

【情感目标】让学生进一步经历和体验列方程组解决实际问题的过程，体会方程（组）是刻画现实世界的有效数学模型，培养学生的数学应用能力。

【教学过程】

一、议一议

增长（亏损）率问题的公式？

原量（1+增长率）=新量，或原量（1—亏损率）=新量，

2、银行利率问题中的公式？

利息=本金×利率×期数，本息和本金+利息

二、新授、

某工厂去

年的利润（总产值—总支出）为200万元，今年总产值比去年增加了20%，总支出比去年减少了10%，今年的利润为780万元，去年的总产值、总支出各是多少万元？

设去年的总产值为x万元，总支出为y万元，则有

总产值/万元

总支出/万元

利润/万元

去年

x

y

200

今年

（小组讨论，完成上表）

总产值/万元

总支出/万元

利润/万元

去年

x

y

200

今年

（1+20%）x

（1—10%）y

780

根据题意得：

x－y=200，解之得：

x=2000

120%－90%y=780y=1800

答：

去年的总产值为2000万元，总支出1800万元，

变式：

若条件不变，求今年的总产值、总支出各是多少万元？

简析：

如果设今年的总产值为万元，总支出为万元，则

让学生动手解这个方程组，体验这种解法的繁琐，再让学生探索，受上例的启发，应该设间接未知数，设去年的总产值勤x万元，总支出为y万元，计算方便。

三、做一做

例1、医院用甲、乙两种原料为手术后的病人配制营养品，每克甲原料含0.5单位蛋白质和1单位铁质，每克乙原料含0.7单位蛋白质和0.4单位铁质，若

病人每餐需要35单位蛋白质和40单位铁质，那么每餐甲、乙两种原料各多少克恰好满足病人的需要？

解：

设每餐需甲、乙两种原料各x、y克，则有下表：

甲原料各x克

乙原料各y克

所配制营养品

其中所含营养品

0.5x单位

0.7y单位

（0.5x+0.7y）单位

其中所含铁质

x单位

0.4y单位

（x+0.4y）单位

根据题意，可得方程组

0.5x+0.7y=35

x+0.4y=40

化简，得5x+7y=350①

5x+2y=200②

①－②，得5y=150

y=30

将y=30代入①，得x=28。

所以每餐需要甲原料28克、乙原料30克。

解此题需要注意以下两点：

1、甲（乙）原料所含蛋白质（铁质）=甲（乙）原料的质量×每克所含蛋白质（铁质）的含量。

2、甲原料所含蛋白质（铁质）+乙原料所含蛋白质（铁质）=营养品所含蛋白质（铁质。

例2、甲、乙两相距6千米，两人同时出发，同向而行，甲3小时可追上乙；相向而行，1小时相遇，两人的平均速度各是多少？

解：

设甲的平均速度是每小时行x千米，乙的平均速度是每小时行y，根据题意，得：

3x=3y+6

x+y=6解这个方程组，得：

x=4

y=2

答：

平均每小时甲行4千米，乙行2千米。

四、练一练

1、一、二班共有100名学生，他们的体育达标率（达到标准的百分率）为81%，如果一班的学生的体育达标率为87.%，二班的达标率为75%，那么一、二班的学生数各是多少？

解：

可设班有x人，二班有y人，则有方程组

x+y=6x=48

87.5%+75%=81（x+y）y=52

2、甲、乙两相距36千米两地相向而行，如果甲比乙先走2时，那么他们在乙出发2.5时后相遇；如果乙比甲先走2时，那么他们在甲出发3时后相遇，甲、乙两人每时各走多少千米？

解：

设甲、乙两人每小时分别行走x千米、y千米。

根据题意可得：

4.5x+2.5y=36x=6

3x+5ky=36解此方程可得：

y=4

所以甲每小时走6千米，乙每小时走4千米。

五、小结

1、做应用题时应强调列表分析数量关系的重要性。

3、设未知数有两种方法：

（1）直接设元

（2）间接设元，当直接设元较繁时应间接设元。

六、作业

P198

7、5里程碑上的数

【教学目标】

【知识目标】1、用二元一次方程式组解决“里程碑上的数”这一有趣场景中的数字问题和行程问题

2、归纳出用二元一次方程组解决实际问题的一般步骤。

【能力目标】让学生进一步经历和体验列方程组解决实际问题的过程，体会方程（组）是刻画现实世界的有效数学模型，让学生学会列方程组解决实际问题的一般步骤

【情感目标】在本节课上让学生体验把复杂问题化为简单问题的同时，培养学生克服困难的意志和勇气，鼓励学生合作交流，培养学生的团队精神。

【教学重点】用二元一次方程组刻画学问题和行程问题，初步体会列方程组解决实际问题的步骤。

【教学难点】将实际问题转化成二元一次方程组的数学模型。

【教学过程】

一、想一想，忆一忆

同学们：

解二元一次方程组的基本思路各基本方法是什么？

（解二元一次方程组的基本思路是通过“消元”把“二元”化为“一元”，基本方法是代入法和加减法

二、创设情景，引入新课

小明爸爸骑着摩托车带着小明在公路上匀速行驶，小明每隔一小时看到的里程碑上的数字情况如下：

12∶00时，这是两位数，它的两个数字之和为7，13∶00时，十位与个位数字与12∶00时看到的正好颠倒了；14∶00时，比12∶00时看到的两位数中间多了个0，你能确定小明在12∶00时看到的里程碑上的数字吗？

如果设小明在12∶00时看到的十位数字是x，个位数字是y，那么

1、12∶00时小明看到的数可表示为

根据两个数字和是7，可列出方程

（10x+y；x+y=7）

2、13∶00时小明看到的数可表示为

12∶00~13∶00间摩托车行驶的路程是

[10y+x；（10y+x）-（10x+y）]

3、14∶00时小明看到的数可表示为

13∶00~14∶00间摩托车行驶的路程是

[10x+y；（100x+y）-（10x+y）]

4、12∶00~13∶00与13∶00~14∶00两段时间内摩托车的行驶路程有什么关系？

你能列出相应的方程吗？

[答：

因为都匀速行驶1小时，所以行驶路程相等，可列方程

（100x+y）-（10x+y）=（10y+x）-（10x+y），根据以上分析，得方程组：

x+y=7

（100x+y）-（10x+y）=（10y+x）-（10x+y）

解这个方程组得：

x=1

y=6

因此，小明在12∶00时看到里程碑上数是16。

同学们：

你能从此题中得到何种启示？

答：

从中得到解数字问题常设十位数字为x，个位数字为y，这个两位数为10x+y。

三、练一练

例1、两个两位数的和是68，在较大的两位数的右边接着写较小的两位数，得到一个四位数；在较大的两位数的左边写上较小的两位数，也得到一个四位数，已知前一个四位数比后一个四位数大2178，求这两个两位数。

设较大的两位为x，较小的两位数为y。

分析：

问题1：

在较大数的右边写上较小的数，所写的数可表示为

[100x+y]

问题2：

在较大数的左边写上较小的数，所写的数可表示为

[100y+x]

解：

设较大的两位数为x，较小的两位数为y。

x+y=68

（100x+y）-（100y+x）=2178

化简，得：

x+y=68

99x-99y=2178

即，x+y=68

x-y=222

解该方程组得x=45

y=23

四、做一做

1、一个两伯数，减去它的各位数字之和的3倍，结果是23；这个两位数除以它的各位数字之和，商是5，余数是1，这个两位数是多少？

[解：

设十位数为x，个位数为y，则

10x+y-3（x+y）=23

10x+y=5（x+y）+1

解之得：

x=5所以这个两位数是56

y=6

五、议一议

列二元一次方程组解决实际问题的一般步骤是怎样的？

1、“设”：

弄清题意和题目中的数量关系，用字母表示题目中的两个未知数；

2、“列”：

找出能够表达应用题全部含义的两个等量关系，根据这两个相等关系列出需要的代数式，从而列出方程并组成方程组；

3、“解”：

解这个方程组，求出未知数的值；

4、“验”：

检验这个解是否正确，并看它是否符合题意；

5、“答”：

与设前后呼应，写出答案，包括单位名称；

六、小结

通过这节课的学习你有什么收获？

（学生分小组讨论，并相互补充交流）

1、本节课主要研究有关数字问题，解题的关键是设各位数字为未知数，用这些未知数表示相关数量，再列出方程。

2、用二元一次方程组解应用题一般步骤有五步：

设、列、解、验、答

七、作业

P201

7、6二元

一次方程与一次函数

【教学目标】

【知识目标】1、使学生初步理解二元一次方程与一次函数的关系

2、能根据一次函数的图象求二元一次方程组的近似解.

3、能利用二元一次方程组确定一次函数的表达式

【能力目标】通过学生的思考和操作,在力图提示出方程与图象之间的关系,引入二元一次方程组图象解法,同时培养了学生初步的数形结合的意识和能力.

【情感目标】通过学生的自主探索,提示出方程和图象之间的对应关系,加强了新