九年级中考数学复习专题几何图形问题一含答案.docx
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九年级中考数学复习专题几何图形问题一含答案
专题复习：
几何图形问题
（一）
1．请认真观察图形，解答下列问题：
（1）根据图①中条件，请用两种不同方法表示两个阴影图形的面积的和；
（2）在
（1）的条件下，如图②，两个正方形边长分别为a，b，如果a+b＝ab＝9，求阴影部分的面积．
2．两个边长分别为a和b的正方形如图放置（图1），其未叠合部分（阴影）面积为S1；若再在图1中大正方形的右下角摆放一个边长为b的小正方形（如图2），两个小正方形叠合部分（阴影）面积为S2．
（1）用含a、b的代数式分别表示S1、S2；
（2）若a+b＝10，ab＝22，求S1+S2的值；
（3）当S1+S2＝32时，求出图3中阴影部分的面积S3．
3．如图，点M是AB的中点，点P在MB上．分别以AP，PB为边，作正方形APCD和正方形PBEF，连结MD和ME．设AP＝a，BP＝b，且a+b＝10，ab＝20．
求S正方形APCD+S正方形BEFP﹣S△AMD﹣S△MBE
4．图1是一个长为2m、宽为2n的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四块小长方形，然后按图2的形状拼成一个正方形．
（1）请用两种不同的方法计算图2中阴影部分面积（直接用含m，n的代数式表示）；
（2）根据
（1）中结论，请你写出下列三个代数式（m+n）2，（m﹣n）2，mn之间的等量关系；
（3）根据
（2）中等式，已知a+b＝9，ab＝8，求（a﹣b）2，﹣b2+2ab﹣a2和b2﹣a2的值．
5．利用图形面积可以解释代数恒等式的正确性，如图1可以验证一个代数恒等式（a+b）2＝（a﹣b）2+4ab．
（1）如图2，用若干张A，B，C的卡片拼成一个长方形面积为（2a+b）（a+b），那么需要A，B，C卡片各多少张？
（2）如果用1张A，5张B，6张C拼成一个长方形，那么这个长方形的边长分别是 和 ．
6．如图①所示是一个长为2m，宽为2n的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四个小长方形，图②是边长为m﹣n的正方形．
（1）请用图①中四个小长方形和图②中的正方形拼成一个大正方形，画出示意图（要求连接处既没有重叠，也没有空隙）；
（2）请用两种不同的方法列代数式表示
（1）中拼得的大正方形的面积；
（3）请直接写出（m+n）2，（m﹣n）2，mn这三个代数式之间的等量关系；
（4）根据（3）中的等量关系，解决如下问题：
若a+b＝6，ab＝4，求（a﹣b）2的值．
7．如图①所示是一个长为2m，宽为2n的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成相等的四个小长方形，然后按图②的方式拼成一个正方形．
（1）图②中阴影部分的正方形的边长等于 ；
（2）请用两种不同的方法列代数式表示图②中阴影部分的面积：
方法一：
；
方法二：
；
（3）根据
（2），直接写出（m﹣n）2，（m+n）2，mn这三个代数式之间的等量关系．
（4）根据（3）中的等量关系，解决如下问题：
对于任意的有理数x和y，若x+y＝9，xy＝18，求x﹣y的值．
8．两个边长分别为a和b的正方形如图放置（图1），其未叠合部分（阴影）面积为S1；若再在图1中大正方形的右下角摆放一个边长为b的小正方形（如图2），两个小正方形叠合部分（阴影）面积为S2．
（1）用含a，b的代数式分别表示S1、S2；
（2）若a+b＝10，ab＝20，求S1+S2的值；
（3）当S1+S2＝30时，求出图3中阴影部分的面积S3．
9．如图，正方形ABCD是由两个小正方形和两个小长方形组成的，根据图形解答下列问题：
（1）请用两种不同的方法表示正方形ABCD的面积，并写成一个等式；
（2）运用
（1）中的等式，解决以下问题：
①已知a+b＝5，ab＝3，求a2+b2的值；
②已知x+z﹣y＝11，（x﹣y）z＝9，求（x﹣y）2+z2的值．
10．如图，正方形ABCD和正方形EFGH的重叠部分是长方形ENDM．四边形HMDK和DNFL都是正方形，设它们的边长分别为a，b．
（1）填空：
（a+b）2＝a2+ +b2；
（a+b）2＝（a﹣b）2+ ．
（2）若长方形ENDM的面积为3，AM＝3，CN＝4，求正方形EFGH的边长．
参考答案
1．解：
（1）方法一：
两个正方形的面积和，即a2+b2，
方法二：
边长为a+b的正方形的面积减去两个空白的长方形的面积，即（a+b）2﹣2ab，
因此有a2+b2＝（a+b）2﹣2ab，
（2）图②阴影部分的面积是两个边长分别为a、b的正方形的面积和减去两个直角三角形的面积，
即a2+b2﹣a×a﹣（a+b）×b
＝a2+b2﹣ab
＝（a2+b2﹣ab）
＝[（a+b）2﹣3ab]，
当a+b＝ab＝9时，
原式＝×（81﹣27）＝27，
答：
阴影部分的面积为27．
2．解：
（1）由图可得，S1＝a2﹣b2，
S2＝a2﹣a（a﹣b）﹣b（a﹣b）﹣b（a﹣b）＝2b2﹣ab；
（2）S1+S2＝a2﹣b2+2b2﹣ab＝a2+b2﹣ab，
∵a+b＝10，ab＝22，
∴S1+S2＝a2+b2﹣ab＝（a+b）2﹣3ab＝100﹣3×22＝34；
（3）由图可得，S3＝a2+b2﹣b（a+b）﹣a2＝（a2+b2﹣ab），
∵S1+S2＝a2+b2﹣ab＝32，
∴S3＝×32＝16．
3．解：
∵a+b＝10，ab＝20，
∴S阴影部分＝S正方形APCD+S正方形BEFP﹣S△AMD﹣S△MBE
＝a2+b2﹣a（）﹣b（）
＝a2+b2﹣
＝（a+b）2﹣2ab﹣
＝100﹣40﹣
＝100﹣40﹣25
＝35．
4．解：
（1）S阴影＝（m+n）2﹣4mn，S阴影＝（m﹣n）2；
（2）由
（1）得：
（m+n）2﹣4mn＝（m﹣n）2；
（3）∵a+b＝9，ab＝8，
∴（a﹣b）2＝（a+b）2﹣4ab＝92﹣4×8＝49；
﹣b2+2ab﹣a2＝﹣（a﹣b）2＝﹣49；
∵（a﹣b）2＝49，
∴a﹣b＝7或a﹣b＝﹣7，
∴b2﹣a2＝﹣（a+b）（a﹣b）＝﹣9×7＝﹣63或
b2﹣a2＝﹣（a+b）（a﹣b）＝﹣9×（﹣7）＝63．
5．解：
（1）∵（2a+b）（a+b）＝2a2+3ab+b2
而图片A，B，C的面积分别为：
a2，ab，b2
∴需要A卡片2张，B卡片3张，C卡片1张．
（2）如果用1张A，5张B，6张C拼成一个长方形
则其面积为：
a2+5ab+6b2；
∵a2+5ab+6b2＝（a+2b）（a+3b）
∴这个长方形的边长分别是（a+2b）和（a+3b）．
故答案为：
（a+2b）；（a+3b）．
6．解：
（1）如图所示；
（2）方法1：
大正方形的边长为（m+n），因此面积为：
（m+n）•（m+n）＝（m+n）2；
方法2：
大正方形的面积等于各个部分的面积和，
即边长为（m﹣n）的正方形的面积与4个长为m，宽为n的长方形的面积和，
即（m﹣n）2+4mn；
（3）（m+n）2＝（m﹣n）2+4mn；
（4）（a﹣b）2＝（a+b）2﹣4ab＝62﹣4×4＝36﹣16＝20．
7．解：
（1）图①被分割的四个小长方形的长为m，宽为n，拼成的图②整体是边长为m+n的正方形，中间是边长为m﹣n的小正方形，
故答案为：
m﹣n；
（2）方法一：
阴影部分是边长为m﹣n的正方形，因此面积为（m﹣n）2，
方法二：
大正方形的面积减去四个长方形的面积，即（m+n）2﹣4mn，
故答案为：
（m﹣n）2，（m+n）2﹣4mn；
（3）由
（2）得，（m﹣n）2＝（m+n）2﹣4mn；
答：
（m﹣n）2，（m+n）2，mn这三个代数式之间的等量关系为（m﹣n）2＝（m+n）2﹣4mn；
（4）由（3）得，（x﹣y）2＝（x+y）2﹣4xy，
所以（x﹣y）2＝92﹣4×18＝9，
因此x﹣y＝3或x﹣y＝﹣3，
答：
x﹣y的值为3或﹣3．
8．解：
（1）由图可得，S1＝a2﹣b2，
S2＝a2﹣a（a﹣b）﹣b（a﹣b）﹣b（a﹣b）＝2b2﹣ab；
（2）S1+S2＝a2﹣b2+2b2﹣ab＝a2+b2﹣ab，
∵a+b＝10，ab＝20，
∴S1+S2＝a2+b2﹣ab＝（a+b）2﹣3ab＝100﹣3×20＝40；
（3）由图可得，S3＝a2+b2﹣b（a+b）﹣a2＝（a2+b2﹣ab），
∵S1+S2＝a2+b2﹣ab＝30，
∴S3＝×30＝15．
9．解：
（1）正方形的面积为（a+b）2或a2+b2+2ab，
∴（a+b）2＝a2+b2+2ab；
（2）①∵（a+b）2＝a2+b2+2ab，
∴a2+b2＝（a+b）2﹣2ab，
∵a+b＝5，ab＝3，
∴a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝25﹣6＝19；
②∵（x﹣y）2+z2＝（x﹣y+z）2﹣2（x﹣y）z，
∵x+z﹣y＝11，（x﹣y）z＝9，
∴（x﹣y）2+z2＝（x﹣y+z）2﹣2（x﹣y）z＝121﹣18＝103．
10．解：
（1）正方形EFGH的边长为（a+b），因此面积为：
（a+b）2，
又正方形EFGH也可以用四部分的面积和，即a2+2ab+b2，
故答案为：
2ab；
∵（a+b）2＝a2+2ab+b2，（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2，
∴（a+b）2＝（a﹣b）2+4ab，
故答案为：
4ab；
（2）由长方形ENDM的面积为3，可得ab＝3，
∵AM＝3，CN＝4，
∴3+a＝4+b，
即a﹣b＝1
由（a+b）2＝（a﹣b）2+4ab得，
（a+b）2＝（a﹣b）2+4ab＝1+12＝13，
∴a+b＝，
即正方形EFGH的边长为．
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