数列第1讲数列的概念及表示.docx
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数列第1讲数列的概念及表示
数列的概念及表示
1．数列的概念
（1）定义：
按照一定顺序排列着的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的．数列中的每一项都和它的序号有关，排在第一位的数称为这个数列的第1项（通常也叫做），排在第二位的数称为这个数列的第2项……排在第n位的数称为这个数列的第n项．所以，数列的一般形式可以写成，其中an是数列的第n项，叫做数列的通项．常把一般形式的数列简记作{an}．
（2）通项公式：
如果数列{an}的与序号之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式．
（3）从函数的观点看，数列可以看作是一个定义域为正整数集N*（或它的有限子集{1，2，3，…，n}）的函数，当自变量从小到大依次取值时所对应的一列________．
（4）数列的递推公式：
如果已知数列的第1项（或前几项），且从第二项（或某一项）开始的任一项与它的前一项（或前几项）间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式．
（5）数列的表示方法有、、、.
2．数列的分类
（1）数列按项数是有限还是无限来分，分为、.
（2）按项的增减规律分为、、和．递增数列⇔an＋1an；递减数列⇔an＋1an；常数列⇔an＋1an.递增数列与递减数列统称为．
3．数列前n项和Sn与an的关系
已知Sn，则an＝
4．常见数列的通项
（1）1，2，3，4，…的一个通项公式为an＝____________；
（2）2，4，6，8，…的一个通项公式为an＝____________；
（3）3，5，7，9，…的一个通项公式为an＝____________；
（4）2，4，8，16，…的一个通项公式为an＝____________；
（5）－1，1，－1，1，…的一个通项公式为an＝____________；
（6）1，0，1，0，…的一个通项公式为an＝____________；
（7）a，b，a，b，…的一个通项公式为an＝____________；
（8）9，99，999，…的一个通项公式为an＝.
注：
据此，很易获得数列1，11，111，…；2，22，222，…；…；8，88，888，…的通项公式分别为
（10n－1），
（10n－1），…，
（10n－1）．
【基础自测】
1 数列－1，
，－
，
，…的一个通项公式是（ ）
A．an＝（－1）n
B．an＝（－1）n
C．an＝（－1）n
D．an＝（－1）n
2 下列有四个命题：
①数列是自变量为正整数的一类函数；
②数列
，
，
，
，…的通项公式是an＝
；
③数列的图象是一群孤立的点；
④数列1，－1，1，－1，…与数列－1，1，－1，1，…是同一数列．
其中正确的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
3 若数列an＝
＋
＋…＋
，则a5－a4＝（ ）
A.
B．－
C.
D.
4 数列{an}的前n项和Sn＝n2＋2n＋1，则{an}的通项公式为____________．
5 数列{an}中，a1＝1，对于所有的n∈N*都有a1·a2·a3·…·an＝n2，则a3＋a5＝________.
【典例】
类型一 数列的通项公式
例一 已知数列：
，
，
，
，….
（1）试写出该数列的一个通项公式；
（2）利用你写出的通项公式判断0.98是不是这个数列中的一项．
【评析】①一个数列只知道前n项，其通项公式是不能确定的，即使完全知道该数列，其通项公式的形式也不一定是惟一的，如数列1，0，1，0，…的通项公式可写成an＝
或an＝
甚至分段形式an＝
等．②对于此类归纳猜想求通项的题目，一定要掌握一些常见数列的通项公式，如{n}，{2n}，{（－1）n}，{2n}，{n2}，{2n－1}等，在此基础之上还要掌握一定的方法，如将各项分解成若干个数的和、差、积、商，分离分子分母等．③由于数列是特殊的函数，因此判断某数是否为数列中的项，即是知an判断方程an＝f（n）是否有正整数解．
变式 写出下列数列的一个通项公式：
（1）－1，
，－
，
，－
，…；
（2）3，5，9，17，33，…；
（3）3，33，333，3333，…；（4）
，－1，
，－
，
，….
类型二 由前n项和公式求通项公式
例二
（1）若数列{an}的前n项和Sn＝n2－10n，则此数列的通项公式为an＝______________．
（2）若数列{an}的前n项和Sn＝2n＋1，则此数列的通项公式为an＝______________．
【评析】任何一个数列，它的前n项和Sn与通项an都存在关系：
an＝
若a1适合Sn－Sn－1，则应把它们统一起来，否则就用分段函数表示．另外一种快速判断技巧是利用S0是否为0来判断：
若S0＝0，则a1＝Sn－Sn－1，否则不符合，这在解小题时比较有用．
变式 已知下列数列{an}的前n项和Sn，分别求它们的通项公式an.
（1）Sn＝2n2＋3n;
（2）Sn＝3n＋1.
类型三 由递推公式求通项公式
例三 写出下面各递推公式表示的数列{an}的通项公式．
（1）a1＝1，an＋1＝2n·an（n≥1）；
（2）a1＝1，an＝an－1＋
（n≥2）．
【评析】已知a1和数列递推关系求通项时，可先计算出前若干项，通过分析这些项与序号的关系，归纳猜想出数列的通项公式，但这种不完全归纳得到的结论往往需要进行验证；但对于“
＝f（n）”型递推关系常用“累乘法”求通项；对于“an－an－1＝f（n）”型递推关系常用累加法求通项；以上两种情形皆可用迭代法求通项．还须注意检验n＝1时，是否适合所求．
变式 写出下面各递推公式表示的数列{an}的通项公式．
（1）a1＝1，an＝3n－1＋an－1；
（2）a1＝4，an＋1＝
an.
类型四 数列通项的性质
例四 在数列{an}中，an＝（n＋1）
（n∈N*）．
（1）求证：
数列{an}先递增，后递减；
（2）求数列{an}的最大项．
【评析】要证明数列{an}是单调的，可利用“{an}是递增数列⇔an＜an＋1，数列{an}是递减数列⇔an＞an＋1”来证明．注意数列的单调性是探索数列的最大、最小项及解决其他许多数列问题的重要途径，因此要熟练掌握上述求数列单调性的方法．
变式 设函数f（x）＝log2x－logx2（0＜x＜1），数列{an}满足
＝2n（n∈N*）．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）判断数列{an}的单调性．
【点睛】
1．已知数列的前几项，写出数列的通项公式，主要从以下几个方面来考虑：
（1）如果符号正负相间，则符号可用（－1）n或（－1）n＋1来调节．
（2）分式形式的数列，分子找通项，分母找通项，要充分借助分子、分母的关系来解决．
（3）对于比较复杂的通项公式，要借助于等差数列、等比数列和其他方法来解决．
此类问题虽无固定模式，但也有规律可循，主要靠观察（观察规律）、比较（比较已知的数列）、归纳、转化（转化为等差、等比或其他特殊数列）等方法来解决．
2．an＝
务必注意an＝Sn－Sn－1是在n≥2的条件下，还需注意验证a1是否符合an（n≥2），是则合并，否则写成分段形式．
3．已知递推关系求通项
这类问题要求不高，主要掌握由a1和递推关系先求出前几项，再归纳、猜想an的方法，以及“累加法”“累乘法”等．
（1）已知a1且an－an－1＝f（n），可以用“累加法”得：
an＝a1＋f
（2）＋f（3）＋…＋f（n－1）＋f（n）．
（2）已知a1且
＝f（n），可以用“累乘法”得：
an＝a1·f
（2）·f（3）·…·f（n－1）·f（n）．
4．数列的简单性质
（1）单调性：
若an＋1＞an，则{an}为递增数列；若an＋1＜an，则{an}为递减数列．
（2）周期性：
若an＋k＝an（n∈N*，k为非零正整数），则{an}为周期数列，k为{an}的一个周期．
（3）最大值与最小值：
若
则an最大；若
则an最小．
针对训练
1．数列0.9，0.99，0.999，…的一个通项公式是（ ）
A．1＋
B．－1＋
C．1－
D．1－
2．已知数列{an}中，a1＝1，a2＝3，an＝an－1＋
（n≥3），则a4等于（ ）
A.
B.
C．4D．5
3．对于数列{an}，“an＋1＞|an|（n＝1，2，…）”是“{an}为递增数列”的（ ）
A．必要不充分条件
B．充分不必要条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
4．已知数列{an}的前n项和Sn＝n（n－40），则下列判断中正确的是（ ）
A．a19>0，a21<0B．a20>0，a21<0
C．a19<0，a21>0D．a19<0，a20>0
5．在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝an＋lg
，则an的值为（ ）
A．2＋lgnB．2＋（n－1）lgn
C．2＋nlgnD．1＋nlgn
6．对于函数y＝f（x），部分x与y的对应关系如下表：
x
1
2
3
4
5
6
7
8
9
y
7
4
5
8
1
3
5
2
6
数列{xn}满足x1＝2，且对任意n∈N*，点（xn，xn＋1）都在函数y＝f（x）的图象上，则x1＋x2＋x3＋x4＋…＋x2012＋x2013的值为（ ）
A．9394B．9380
C．9396D．9400
7．设数列{an}的前n项和Sn＝n2，则a8的值为________．
8．根据下面的图形及相应的点数，在空格和括号中分别填上适当的图形和点数，并写出点数构成的数列的一个通项公式an＝________.
9．根据数列{an}的前几项，分别写出下列数列的一个通项公式．
（1）7，77，777，7777，…；
（2）4，－
，2，－
，
，…；
（3）3，5，3，5，…； （4）1，2，2，4，3，8，4，16，….
10．数列{an}中，an＝n－
，求数列{an}的最大项和最小项．
11．已知数列{an}的前n项和为Sn，并且满足a1＝2，nan＋1＝Sn＋n（n＋1）．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）令Tn＝
，当n≥3时，求证：
Tn＞Tn＋1.
12已知数列{an}的通项an＝
（n∈N*），求{an}的最大项及最小项．
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