数列第1讲数列的概念及表示.docx

1、数列第1讲数列的概念及表示 数列的概念及表示1数列的概念(1)定义：按照一定顺序排列着的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的 数列中的每一项都和它的序号有关，排在第一位的数称为这个数列的第1项(通常也叫做 )，排在第二位的数称为这个数列的第2项排在第n位的数称为这个数列的第n项所以，数列的一般形式可以写成 ，其中an是数列的第n项，叫做数列的通项常把一般形式的数列简记作an(2)通项公式：如果数列an的 与序号 之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式(3)从函数的观点看，数列可以看作是一个定义域为正整数集N*(或它的有限子集1，2，3，n)的函数，当自变量

2、从小到大依次取值时所对应的一列_(4)数列的递推公式：如果已知数列的第1项(或前几项)，且从第二项(或某一项)开始的任一项 与它的前一项 (或前几项)间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式(5)数列的表示方法有 、 、 、 .2数列的分类(1)数列按项数是有限还是无限来分，分为 、 .(2)按项的增减规律分为 、 、 和 递增数列an1 an；递减数列an1 an；常数列an1 an.递增数列与递减数列统称为 3数列前n项和Sn与an的关系已知Sn，则an4常见数列的通项(1)1，2，3，4，的一个通项公式为an_；(2)2，4，6，8，的一个通项公式为an_；(3

3、)3，5，7，9，的一个通项公式为an_；(4)2，4，8，16，的一个通项公式为an_；(5)1，1，1，1，的一个通项公式为an_；(6)1，0，1，0，的一个通项公式为an_；(7)a，b，a，b，的一个通项公式为an_； (8)9，99，999，的一个通项公式为an .注：据此，很易获得数列1，11，111，；2，22，222，；8，88，888，的通项公式分别为(10n1)，(10n1)，(10n1)【基础自测】1数列1，的一个通项公式是()Aan(1)n Ban(1)n Can(1)n Dan(1)n 2下列有四个命题：数列是自变量为正整数的一类函数；数列，的通项公式是an；数列的

4、图象是一群孤立的点；数列1，1，1，1，与数列1，1，1，1，是同一数列其中正确的个数是()A1 B2 C3 D43若数列an，则a5a4()A. B C. D.4数列an的前n项和Snn22n1，则an的通项公式为_5数列an中，a11，对于所有的nN*都有a1a2a3ann2，则a3a5_.【典例】类型一数列的通项公式例一已知数列：，.(1)试写出该数列的一个通项公式；(2)利用你写出的通项公式判断0.98是不是这个数列中的一项【评析】一个数列只知道前n项，其通项公式是不能确定的，即使完全知道该数列，其通项公式的形式也不一定是惟一的，如数列1，0，1，0，的通项公式可写成an或an甚至分段

5、形式an等对于此类归纳猜想求通项的题目，一定要掌握一些常见数列的通项公式，如n，2n，(1)n，2n，n2，2n1等，在此基础之上还要掌握一定的方法，如将各项分解成若干个数的和、差、积、商，分离分子分母等由于数列是特殊的函数，因此判断某数是否为数列中的项，即是知an判断方程anf(n)是否有正整数解变式写出下列数列的一个通项公式：(1)1，； (2)3，5，9，17，33，；(3)3，33，333，3333，； (4)，1，.类型二由前n项和公式求通项公式例二(1)若数列an的前n项和Snn210n，则此数列的通项公式为an_(2)若数列an的前n项和Sn2n1，则此数列的通项公式为an_【评

6、析】任何一个数列，它的前n项和Sn与通项an都存在关系：an 若a1适合SnSn1，则应把它们统一起来，否则就用分段函数表示另外一种快速判断技巧是利用S0是否为0来判断：若S00，则a1SnSn1，否则不符合，这在解小题时比较有用变式已知下列数列an的前n项和Sn，分别求它们的通项公式an.(1)Sn2n23n; (2)Sn3n1.类型三由递推公式求通项公式例三写出下面各递推公式表示的数列an的通项公式(1)a11，an12nan(n1)；(2)a11，anan1(n2)【评析】已知a1和数列递推关系求通项时，可先计算出前若干项，通过分析这些项与序号的关系，归纳猜想出数列的通项公式，但这种不完

7、全归纳得到的结论往往需要进行验证；但对于“f(n)”型递推关系常用“累乘法”求通项；对于“anan1f(n)”型递推关系常用累加法求通项；以上两种情形皆可用迭代法求通项还须注意检验n1时，是否适合所求变式写出下面各递推公式表示的数列an的通项公式(1)a11，an3n1an1；(2)a14，an1an.类型四数列通项的性质例四在数列an中，an(n1)(nN*)(1)求证：数列an先递增，后递减；(2)求数列an的最大项【评析】要证明数列an是单调的，可利用“an是递增数列anan1，数列an是递减数列anan1”来证明注意数列的单调性是探索数列的最大、最小项及解决其他许多数列问题的重要途径，

8、因此要熟练掌握上述求数列单调性的方法变式设函数f(x)log2xlogx2(0x1)，数列an满足2n(nN*)(1)求数列an的通项公式； (2)判断数列an的单调性【点睛】1已知数列的前几项，写出数列的通项公式，主要从以下几个方面来考虑：(1)如果符号正负相间，则符号可用(1)n或(1)n1来调节(2)分式形式的数列，分子找通项，分母找通项，要充分借助分子、分母的关系来解决(3)对于比较复杂的通项公式，要借助于等差数列、等比数列和其他方法来解决此类问题虽无固定模式，但也有规律可循，主要靠观察(观察规律)、比较(比较已知的数列)、归纳、转化(转化为等差、等比或其他特殊数列)等方法来解决2an

9、务必注意anSnSn1是在n2的条件下，还需注意验证a1是否符合an(n2)，是则合并，否则写成分段形式3已知递推关系求通项这类问题要求不高，主要掌握由a1和递推关系先求出前几项，再归纳、猜想an的方法，以及“累加法”“累乘法”等(1)已知a1且anan1f(n)，可以用“累加法”得：ana1f(2)f(3)f(n1)f(n)(2)已知a1且f(n)，可以用“累乘法”得：ana1f(2)f(3)f(n1)f(n)4数列的简单性质(1)单调性：若an1an，则an为递增数列；若an1an，则an为递减数列(2)周期性：若ankan(nN*，k为非零正整数)，则an为周期数列，k为an的一个周期(

10、3)最大值与最小值：若 则an最大；若 则an最小针对训练1数列0.9，0.99，0.999，的一个通项公式是()A1 B1C1 D12已知数列an中，a11，a23，anan1(n3)，则a4等于()A. B. C4 D53对于数列an，“an1|an|(n1，2，)”是“an为递增数列”的()A必要不充分条件 B充分不必要条件C充要条件 D既不充分也不必要条件4已知数列an的前n项和Snn(n40)，则下列判断中正确的是()Aa190，a210，a210Ca190 Da1905在数列an中，a12，an1anlg，则an的值为()A2lgn B2(n1)lgnC2nlgn D1nlgn6对

11、于函数yf(x)，部分x与y的对应关系如下表：x123456789y745813526数列xn满足x12，且对任意nN*，点(xn，xn1)都在函数yf(x)的图象上，则x1x2x3x4x2012x2013的值为()A9394 B9380C9396 D94007设数列an的前n项和Snn2，则a8的值为_8根据下面的图形及相应的点数，在空格和括号中分别填上适当的图形和点数，并写出点数构成的数列的一个通项公式an_.9根据数列an 的前几项，分别写出下列数列的一个通项公式(1)7，77，777，7777，； (2)4，2，；(3)3，5，3，5，； (4)1，2，2，4，3，8，4，16，.10数列an中，ann，求数列an的最大项和最小项11已知数列an的前n项和为Sn，并且满足a12，nan1Snn(n1)(1)求数列an的通项公式；(2)令Tn，当n3时，求证：TnTn1.12 已知数列an的通项an(nN*)，求an的最大项及最小项