高考真题和模拟题分项汇编数学文专题09 不等式推理与证明解析版.docx

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高考真题和模拟题分项汇编数学文专题09不等式推理与证明解析版

专题09不等式、推理与证明

1．【2019年高考全国I卷文数】古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是（≈0.618，称为黄金分割比例），著名的“断臂维纳斯”便是如此．此外，最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是．若某人满足上述两个黄金分割比例，且腿长为105cm，头顶至脖子下端的长度为26cm，则其身高可能是

A．165cmB．175cm

C．185cmD．190cm

【答案】B

【解析】方法一：

如下图所示.

依题意可知：

，

腿长为105cm得，即，

，

，

所以AD>169.89.

②头顶至脖子下端长度为26cm，

即AB<26，

，

，

，

，

所以.

综上，.

故选B.

方法二：

设人体脖子下端至肚脐的长为xcm，肚脐至腿根的长为ycm，则，得．又其腿长为105cm，头顶至脖子下端的长度为26cm，所以其身高约为42.07+5.15+105+26=178.22，接近175cm．故选B．

【名师点睛】本题考查类比归纳与合情推理，渗透了逻辑推理和数学运算素养．采取类比法，利用转化思想解题．

2．【2019年高考全国III卷文数】记不等式组表示的平面区域为D．命题；命题．下面给出了四个命题

①②③④

这四个命题中，所有真命题的编号是

A．①③B．①②

C．②③D．③④

【答案】A

【解析】根据题中的不等式组可作出可行域，如图中阴影部分所示，

记直线，

由图可知，，

所以p为真命题，q为假命题，

所以为假命题，为真命题，

所以为真命题，为假命题，为真命题，为假命题，

所以所有真命题的编号是①③.故选A.

【名师点睛】本题将线性规划和不等式，命题判断综合到一起，解题关键在于充分利用取值验证的方法进行判断.

3．【2019年高考北京卷文数】在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述．两颗星的星等与亮度满足m2−m1=lg，其中星等为mk的星的亮度为Ek（k=1，2）．已知太阳的星等是−26.7，天狼星的星等是−1.45，则太阳与天狼星的亮度的比值为

A．1010.1B．10.1

C．lg10.1D．10–10.1

【答案】A

【解析】两颗星的星等与亮度满足,令,

.

故选：

A．

【名师点睛】本题以天文学问题为背景,考查考生的数学应用意识､信息处理能力､阅读理解能力以及指数对数运算.

4．【2019年高考天津卷文数】设变量满足约束条件，则目标函数的最大值为

A．2B．3

C．5D．6

【答案】D

【解析】已知不等式组表示的平面区域如图中的阴影部分.

目标函数的几何意义是直线在轴上的截距，

故目标函数在点处取得最大值.

由，得，

所以.

故选C.

【名师点睛】线性规划问题，首先明确可行域对应的是封闭区域还是开放区域，分界线是实线还是虚线，其次确定目标函数的几何意义，是求直线的截距、两点间距离的平方、直线的斜率、还是点到直线的距离等等，最后结合图形确定目标函数最值或范围．即：

一画，二移，三求．

5．【2019年高考天津卷文数】设，则“”是“”的

A．充分而不必要条件

B．必要而不充分条件

C．充要条件

D．既不充分也不必要条件

【答案】B

【解析】等价于，故推不出；

由能推出，

故“”是“”的必要不充分条件.

故选B.

【名师点睛】充要条件的三种判断方法：

（1）定义法：

根据p⇒q，q⇒p进行判断；

（2）集合法：

根据由p，q成立的对象构成的集合之间的包含关系进行判断；

（3）等价转化法：

根据一个命题与其逆否命题的等价性，把要判断的命题转化为其逆否命题进行判断．这个方法特别适合以否定形式给出的问题．

6．【2019年高考浙江卷】若实数满足约束条件，则的最大值是

A．B．1

C．10D．12

【答案】C

【解析】画出满足约束条件的可行域如图中阴影部分所示.

因为，所以.

平移直线可知，当该直线经过点A时，z取得最大值.

联立两直线方程可得，解得.

即点A坐标为，

所以.故选C.

【名师点睛】解答此类问题，要求作图要准确，观察要仔细.往往由于由于作图欠准确而影响答案的准确程度，也有可能在解方程组的过程中出错.

7．【2019年高考浙江卷】若，则“”是“”的

A．充分不必要条件B．必要不充分条件

C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件

【答案】A

【解析】当时，当且仅当时取等号，则当时，有，解得，充分性成立；

当时，满足，但此时，必要性不成立，综上所述，“”是“”的充分不必要条件.

【名师点睛】易出现的错误有，一是基本不等式掌握不熟，导致判断失误；二是不能灵活的应用“赋值法”，通过特取的值，从假设情况下推出合理结果或矛盾结果.

8．【2019年高考全国II卷文数】若变量x，y满足约束条件则z=3x–y的最大值是______.

【答案】9

【解析】画出不等式组表示的可行域，如图中阴影部分所示，

阴影部分表示的三角形ABC区域，根据直线中的表示纵截距的相反数，当直线过点时，取最大值为9．

【名师点睛】本题考查线性规划中最大值问题，渗透了直观想象、逻辑推理和数学运算素养．采取图解法，利用数形结合思想解题．搞不清楚线性目标函数的几何意义致误，从线性目标函数对应直线的截距观察可行域，平移直线进行判断取最大值还是最小值．

9．【2019年高考全国II卷文数】中国有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一．印信的形状多为长方体、正方体或圆柱体，但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是“半正多面体”（图1）．半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体．半正多面体体现了数学的对称美．图2是一个棱数为48的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上，且此正方体的棱长为1．则该半正多面体共有________个面，其棱长为_________．（本题第一空2分，第二空3分．）

【答案】26，

【解析】【答案】26，

【解析】由图可知第一层（包括上底面）与第三层（包括下底面）各有9个面，计18个面，第二层共有8个面，所以该半正多面体共有个面．

如图，设该半正多面体的棱长为，则，延长与交于点，延长交正方体棱于，由半正多面体对称性可知，为等腰直角三角形，

，

，

即该半正多面体棱长为．

【名师点睛】本题立意新颖，空间想象能力要求高，物体位置还原是关键，遇到新题别慌乱，题目其实很简单，稳中求胜是关键．立体几何平面化，无论多难都不怕，强大空间想象能力，快速还原图形．

10．【2019年高考北京卷文数】若x，y满足则的最小值为__________，最大值为__________．

【答案】；1

【解析】根据题中所给约束条件作出可行域，如图中阴影部分所示.

设，则，求出满足在可行域范围内z的最大值、最小值即可，

即在可行域内，当直线的纵截距最大时，z有最大值，当直线的纵截距最小时，z有最小值.

由图可知，当直线过点A时,z有最大值，

联立，

可得，即，

所以；

当直线过点时，z有最小值，

所以.

【名师点睛】本题是简单线性规划问题的基本题型，根据“画、移、解”等步骤可得解.题目难度不大，注重了基础知识、基本技能的考查.

11．【2019年高考天津卷文数】设，则的最小值为__________.

【答案】

【解析】.

因为，

所以，

即，当且仅当时取等号成立.

又因为

所以的最小值为.

【名师点睛】使用基本不等式求最值时一定要验证等号是否能够成立.

12．【2019年高考北京卷文数】李明自主创业，在网上经营一家水果店，销售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃，价格依次为60元/盒、65元/盒、80元/盒、90元/盒．为增加销量，李明对这四种水果进行促销：

一次购买水果的总价达到120元，顾客就少付x元．每笔订单顾客网上支付成功后，李明会得到支付款的80%．

①当x=10时，顾客一次购买草莓和西瓜各1盒，需要支付__________元；

②在促销活动中，为保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折，则x的最大值为__________．

【答案】①130；②15.

【解析】

（1）,顾客一次购买草莓和西瓜各一盒,需要支付元.

（2）设顾客一次购买水果的促销前总价为元,

元时,李明得到的金额为,符合要求.

元时,有恒成立,即,即元.

所以的最大值为.

【名师点睛】本题主要考查不等式的概念与性质､数学的应用意识､数学式子变形与运算求解能力,以实际生活为背景，创设问题情境，考查学生身边的数学，考查学生的数学建模素养.

13．（四川省棠湖中学2019届高三高考适应性考试数学（理）试题）已知集合，，则

A．B．

C．D．

【答案】C

【解析】，，

故，故选C.

【名师点睛】本题考查集合的交集，属于基础题，解题时注意对数不等式的等价转化.

14．【广东省韶关市2019届高考模拟测试（4月）数学试题】若，满足约束条件，则的最大值为

A．B．

C．5D．6

【答案】C

【解析】变量，满足约束条件的可行域如图中阴影部分所示：

目标函数是斜率等于1、纵截距为的直线，

当直线经过可行域的点时，纵截距取得最小值，

则此时目标函数取得最大值，

由可得，

目标函数的最大值为：

5

故选：

C．

【名师点睛】本题考查线性规划的简单应用，考查计算能力以及数形结合思想的应用．

15．【山东省实验中学等四校2019届高三联合考试理科数学试题】已知实数，满足约束条件，则目标函数的最小值为

A．B．

C．D．

【答案】B

【解析】作出不等式组对应的平面区域如图：

目标函数的几何意义为动点到定点的斜率，

当位于时，此时的斜率最小，此时．

故选B．

【名师点睛】本题主要考查线性规划的应用以及两点之间的斜率公式的计算，利用z的几何意义，通过数形结合是解决本题的关键．

16．【黑龙江省大庆市第一中学2019届高三下学期第四次模拟（最后一卷）考试数学试题】设不等式组，表示的平面区域为，在区域内任取一点，则点的坐标满足不等式的概率为

A．B．

C．D．

【答案】A

【解析】画出所表示的区域如图中阴影部分所示，易知，

所以的面积为，

满足不等式的点，在区域内是一个以原点为圆心，为半径的圆面，其面积为，

由几何概型的公式可得其概率为，

故选A.

【名师点睛】本题考查由约束条件画可行域，求几何概型，属于简单题.

17．【山西省2019届高三高考考前适应性训练（三）数学试题】设，则

A．B．

C．D．

【答案】A

【解析】，

即，故.

又，所以.

故，所以选A.

【名师点睛】本题考查利用作差法、作商法比较大小，考查对数的化简与计算，考查分析计算，化简求值的能力，属中档题.

18．【陕西省2019年高三第三次教学质量检测数学试题】若正数满足，则的最小值为

A．B．

C．D．3

【答案】A

【解析】由题意，因为，

则，

当且仅当，即时等号成立，

所以的最小值为，故选A.

【名师点睛】本题主要考查了利用基本不等式求最小值问题，其中解答中合理构造，利用基本不等式准确运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.

19．【浙江省三校2019年5月份第二次联考数学卷】已知，则取到最小值时，

A．B．

C．D．

【答案】D

【解析】由，可得，且.

所以，

当且时等号成立，解得.

所以取到最小值时.故选D.

【名师点睛】本题考查基本不等式取得最值