五年级下册数学试题培优专题讲练第3讲巧解平均数问题二人教版.docx
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五年级下册数学试题培优专题讲练第3讲巧解平均数问题二人教版
第3讲巧解平均数问题
(二)
I多个部分平均与全体平均
方法和技巧
(1)用“总数量÷总份数=平均数”直接求平均数。
(2)借助“整体思考法”巧解题。
(3)用“移多补少法”巧解题。
(4)借助“整数化”巧解题。
例题精讲
A级基础点睛
一、运用平均数的概念解题
【例1】小张、小李两人的平均身高是1.70米,小李、小王两人的平均身高是1.74米,小王、小张两人的平均身高是1.60米。
问:
小张、小李、小王三人的平均身高是多少米?
分析与解
小张+小李=1.70×2,小李+小王=1.74×2,小王+小张=1.60×2
上面三式相加得
2×(小张+小李+小王)=1.70×2+1.74×2+1.60×2
即小张+小李+小王=(1.70×2+1.74×2+1.60×2)÷2
故小张、小李、小王的平均身高为
[(1.70×2+1.74×2+1.60×2)÷2]÷3=1.68(米)
答:
小张、小李、小王三人的平均身高是1.68米。
做一做1A,B,C,D四位小朋友在一次测验中,A,B,C三人的平均成绩是80分;B,C,D三人的平均成绩是85分;C,D,A三人的平均成绩是83分;D,A,B三人的平均成绩是82分。
问:
A,B,C,D四人的平均成绩是多少分?
二、“整体思考”巧解题
【例2】赵、钱、孙、李四个小朋友,每两人合称一次体重,一共称了6次,其平均体重分别是34.5、33.5、36.0、35.0、37.5、36.5(单位:
千克)。
问:
这四位小朋友的平均体重是多少千克?
分析与解1依照例1的解法,每一个人与其他三个人都可以配对合称。
因此,在上面6个平均数中,每个人的体重都被计算了3次,详细地说,有
(赵+钱)的体重=34.5×2………………………………………①
(赵+孙)的体重=33.5×2………………………………………②
(赵+李)的体重=36.0×2………………………………………③
(钱+孙)的体重=35.0×2………………………………………④
(钱+李)的体重=37.5×2………………………………………⑤
(孙+李)的体重=36.5×2………………………………………⑥
将上面6个式子相加,得
(赵+钱+孙+李)的体重×3=6次平均体重分别乘2的和
即(赵+钱+孙+李)的体重×3为
34.5×2+33.5×2+36.0×2+35.0×2+37.5×2+36.5×2
(赵+钱+孙+李)的体重为
(34.5×2+33.5×2+36.0×2+35.0×2+37.5×2+36.5×2)÷3
故赵、钱、孙、李四人的平均体重为
[(34.5×2+33.5×2+36.0×2+35.0×2+37.5×2+36.5×2)÷3]÷4=35.5(千克)
分析与解2求四个小朋友的平均体重,根据“总量÷总份数=平均数”,若能找到四个小朋友的总重量,问题即迎刃而解。
方法1:
四人体重和:
①+⑥
(赵+钱)的体重+(孙+李)的体重=34.5×2+36.5×2(千克)
四人平均体重:
(34.5×2+36.5×2)÷4=35.5(千克)
方法2:
四人体重和:
②+⑤
(赵+孙)的体重+(钱+李)的体重=33.5×2+37.5×2(千克)
四人平均体重:
(33.5×2+37.5×2)÷4=35.5(千克)
方法3:
四人体重和:
③+④
(赵+李)的体重+(钱+孙)的体重=36.0×2+35.0×2(千克)
四人平均体重:
(36.0×2+35.0×2)÷4=35.5(千克)
答:
四位小朋友的平均体重是35.5千克。
做一做2甲、乙、丙三个物体,两两合称一次,一共称三次,分别是30千克、28千克、26千克。
问:
这三个物体平均重多少千克?
三、“移多补少”巧解题
【例3】有1000名大学毕业生参加公务员考试,录取了150人。
录取者的平均成绩与未录取者的平均成绩相差38分,全体考生的平均成绩是55分。
已知录取分数线比录取者的平均成绩少6.3分,问:
录取分数线是多少分?
分析与解1根据题意可知,未录取者的平均成绩比全体考生的平均成绩少38×150÷1000=5.7(分),未录取者的平均成绩是55-5.7=49.3(分),录取者的平均成绩比未录取者的多38分,即49.3+38=87.3(分),录取分数线比录取者的平均成绩少6.3分,即87.3-6.3=81(分)。
(55-38×150÷1000)+38-6.3=(55-5.7)+38-6.3=81(分)
分析与解2用长度代表人数,宽度代表分数,根据题意作出符合题意的图。
根据题意:
S长方形AJFM=S长方形GHDF6.3
设DH=x,有
x×850=(38-x)×150
850x=5700-150x
x=5.7
易知录取分数线为38-5.7-6.3+55=81(分)
答:
录取分数线是81分。
做一做3200名小学生参加英语竞赛,有24名学生获奖。
获奖者的平均成绩与未获奖的平均成绩样差35分,全体参赛学生的平均成绩是60分。
已知获奖分数线比获奖者的平均成绩少5.8分,问:
获奖分数线是多少分?
B级更上层楼
四、“整数化”巧解题
【例4】某学校在报考的学生中只录取了考生人数的
,被录取考生的平均分比录取分数线高10分,没有被录取考生的平均分比录取分数线低26分。
已知考生的平均成绩是70分,问:
录取分数线是多少?
分析与解由于有
的考生被录取,因此可以把被录取的学生人数算作1,没有被录取的学生人数算作3。
以录取分数线作为基数,没有被录取的考生的分数总共比录取分数线少了26×3=78(分),被录取学生的平均分总共比录取分数线多了10×1=10(分),合起来就得到所有考生的平均分总共比录取分数线少了
26×3-10×1=68(分)
因此,对所有学生来说,每人的平均成绩比录取分数线少了
(26×3-10×1)÷(3+1)=17(分)
即每一个考生的平均分70分比录取分数线少了17分,实际录取分数线是70+17=87(分)。
综合算式得:
70+(26×3-10×1)÷(3+1)=70+17=87(分)
答:
录取分数线是87分。
小结有人的解答过程如下,你能说出他的道理吗?
70-(26+10)÷4+26=70-9+26=87(分)
此外,你能给出本题的长方形图解法吗?
做一做4某校进行入学考试,所有考生的平均成绩是65分,从考生中录取了
,这些考生的平均成绩比录取分数线高10分,其他没有被录取的学生平均分比录取分数纸低15分。
那么,录取分数线是多少?
五、发散思考一题多解
【例5】A,B,C,D四个数,每次去掉一个数,将其余3个数求平均数,这样算了4次,得到这样4个数:
45,60,65,70。
问:
A,B,C,D这四个数的平均数是多少?
分析与解我们先分别去掉其中的一个数,可以求出其他三个数的和,即
B+C+D=45×3=135
A+C+D=60×3=180
A+B+D=65×3=195
A+B+C=70×3=210
再把这四个式子相加得到3个A、3个B、3个C、3个D的总和,这样就可以求出A,B,C,D四个数的和,进而可求得A,B,C,D这四个数的平均数。
(45×3+60×3+65×3+70×3)÷3÷4=(45+60+65+70)×3÷3÷4
=(45+60+65+70)÷4
所以,可直接列出算式(45+60+65+70)÷4来解答。
其道理是将3个数求平均数,就是用每个数的
相加,在4次计算中,每个数只出现了3次,也就是每个数的
加了3次,正好是原数。
因此把45,60,65,70相加,恰好是A,B,C,D这四个数的总和,再除以4当然就是A,B,C,D的平均数了。
做一做5有五个数A,B,C,D,E,每次去掉一个数,将其余4个数求平均数,这样计算了5次,得到这样5个数:
17,25,27,32,39。
求A,B,C,D,E这五个数的平均数。
【例6】有四个数,每次选取其中的两个数,算出它们的和,再减去另外两个数的平均数。
用这种方法计算了六次,得到这样六个数:
43,53,57,63,69,78。
问:
原来四个数的平均数是多少?
分析与解由前几例的解法知,每次计算两个数的和,计算六次,等于每个数计算了三次,即四个数之和的3倍;每次计算两个数的平均数,计算六次,等于每个数计算了1.5次,即四个数之和的1.5倍,则有
(六次“两个数的和”之和)-(六次“两个数的平均数”之和)=43+53+57+63+69+78变为3×(四个数之和)-1.5×(四个数之和)=43+53+57+63+69+78
即1.5×(四个数之和)=43+53+57+63+69+78
四个数之和=(43+53+57+63+69+78)÷1.5
故四个数的平均数为
[(43+53+57+63+69+78)÷1.5]÷4=60.5
答:
原来四个数的平均数是60.5。
做一做6有四个数,每次选取其中的三个数算出它们的平均数,再加上另外一个数,用这种方法计算了四次,分别得到这样四个数:
86,92,100,106。
问:
原来四个数的平均数是多少?
C级勇夺冠军
【例7】从若干个连续自然数1,2,3,…中去掉三个后,剩下的数的平均数是19
。
如果去掉三个数中有两个是质数,问:
这两个质数的和最大是多少?
解因为1~39的平均数是20,所以剩下的数的个数应不大于39,又因为剩下的数的个数应为9的倍数,而不大于39的9的倍数最大是36,即剩下36个数,所以原有36+3=39(个)数。
1+2+3+…+39=780
19
×36=716
780-716=64
去掉三个数之和是64,64=4+29+31,因此两个质数的和最大为29+31=60
做一做7黑板上写着从1开始的若干个连续自然数,擦去其中的一个后,其余各数的平均数是35
,擦去的数是。
巧练习——温故知新(三)(I)
A级基础点睛
1.设有A,B,C三个数,其中A和B相加是200,A和C相加是150,B和C相加是160。
求A,B,C这三个数的平均值。
2.某班第一小组有8位同学,第二小组有12位同学。
某次数学考试中,两组同学的平均分为83.8分,第一组同学的平均分比第二组同学的平均分高2分,求每一组同学的平均分。
3.某班有50人,在一次数学考试后,按成绩排了名次,结果前30名的平均分数比后20名的平均分数多12分。
一位同学对“平均”的概念不清楚,他把前30名的平均成绩加上后20名的平均成绩,再除以2,错误地认为这就是全班同学的平均成绩。
这样做全班的平均成绩是提高了,还是降低了?
请算出提高多少或降低多少。
4.某班女同学的人数是男同学人数的
,男同学的平均身高是1.65米,全体男、女同学的平均身高是1.59米。
问女同学的平均身高是多少米?
5.A,B,C,D四个数,每次去掉一个数,将其余三个数求平均数,这样计算了四次,得到下面四个数:
23,26,30,33。
问:
A,B,C,D四个数的平均数是多少?
B级更上层楼
6.某次外语考试,钱、钱、孙、李、周五人的平均分数比孙、李、周三人的平均分数少4分,赵、钱两人的平均分数是75分,求五个人的平均分数。
7.一次测量身高,A,B,C,D,E五人的平均身高比C,D,E三人的平均身高矮4厘米,A,B两人的平均身高为165厘米,求五个人的平均身高。
8.有A,B,C,D,E,F,G七个数成等差数列,已知A,G两数的平均数为10,那么数D为多少?
这七个数的和是多少?
9.有A,B,C,D,E,F,G,H八个数成等差数列,已知D,E两数的平均数是9,则有A,B,C,D,E,F,G,H这八个数的平均数是多少?
它们的和是多少?
10.某校数学竞赛原定一等奖10人,二等奖20人。
现在将一等奖中最后4人调整为二等奖,这样得二等奖的学生平均分提高了1分,得一等奖的学生平均分提高了3分,那么原来一等奖平均分比二等奖平均分多多少分?
C级勇夺冠军
11.有四个数,每次选取其中三个数,算出它们的平均数,再加上另一个数。
用这样的方法计算了4次,分别得到以下四个数:
26,30,36,40,那么原来的四个数中最大的一个数是多少?
12.甲、乙两人在9月份之后各取得了64次成绩,其中甲得的5分同乙得的4分一样多,甲得的4分同乙得的3分一样多,甲得的3分同乙得的2分一样多,而甲得的2分则同乙得的5分一样多(注:
采用5级记分制,5分为最高分,相当于优;4分为良;3分为及格;2分为不及格;一般没有1分)。
此外,甲、乙两人的平均成绩相同。
问:
甲得了几次2分?
13.某班全体学生进行了一次篮球投篮练习,每人都要投球10个,每投进一个球得1分。
得分的情况如下表:
得分
10
9
8
…
2
1
0
人数
1
3
3
…
4
5
7
又知该班学生中,至少得3分的人的平均分为6分,得分不到8分的人的平均得分为3分,那么该班学生有人。
14.跳水比赛中,由10位评委评分,规定:
最后得分是去掉1个最高分和1个最低分后的平均数。
10位评委给甲、乙两位选手打出的平均数是9.75和9.76,其中最高分和最低分的平均数分别为9.83和9.84,那么最后得分高(填“甲”“乙”或“一样”)。
巧总结
本节我的收获是
不足之处有:
II巧用平均数求个别数
方法和技巧
解这类题要用到解方程的方法和原理,特别是“消去(元)”的方法、“代入”的方法、“几个等式两边相加(或相减)仍得等式”的原理以及和差问题的方法。
例题精讲
A级基础点睛
一、运用平均数的概念解题
【例1】七位评委给一位歌唱演员打分,平均分为9.6分。
去掉一个最高分,平均分为9.55分;去掉一个最低分,平均分为9.7分。
如果最高分和最低分都去掉,那么这位歌唱演员的平均分是多少分?
分析与解七位评委所打的总分是9.6×7=67.2(分),去掉一个最高分,剩下六位评委的总分为9.55×6=57.3(分),去掉一个最低分,剩下六位评委的总分为9.7×6=58.2(分),从而可以求出去掉一个最高分和一个最低分,剩下五位评委的总分为58.2-(67.2-57.3)=48.3(分),最后可以求出歌唱演员的平均分为
[9.7×6-(9.7×6-9.55×6)]÷5
=[58.2-(67.2-57.3)]÷5
=(58.2-9.9)÷5=48.3÷5=9.66(分)
答:
这位歌唱演员的平均分是9.66分。
小结本例根据三个已知条件,求出三个总和,再根据它们之间的数量关系,求出最后结果。
做一做1五位裁判给一名歌手打分。
去掉一个最高分,平均分为9.46分;去掉一个最低分,平均分为9.58分。
问:
这位歌手的最高分与最低分相差多少?
二、巧用“消去法”和“和差公式法”
【例2】A,B,C,D四个数的平均数是84。
已知A,B的平均数是72,B,C的平均数是76,B,D的平均数是80,求D是多少。
解法1由A,B,C,D四个数的平均数是84,知
A+B+C+D=84×4……………………………………………①
由A、B的平均数是72,B、C的平均数是76,B、D的平均数是80,知
A+B=72×2…………………………………………………②
B+C=76×2…………………………………………………③
B+D=80×2…………………………………………………④
则②+③+④得
A+3B+C+D=(72+76+80)×2=456………………………⑤
⑤-①得
2B=456-84×4
2B=120
B=60
由B,D的平均数是80,得D=80×2-60=100。
解法2由解法1得出的相关量,借助“和差法”来解决。
分析1①-②得
C+D=84×4-72×2=192
④-③得
D-C=80×2-76×6=8
所以D=(192+8)÷2
D=100
分析2①-③得
A+D=84×4-76×2=184
④-②得
D-A=80×2-72×2=16
所以D=(184+16)÷2
D=100
分析3①-④得
C+A=84×4-80×2=176
③-②得
C-A=76×2-72×2=8
所以A=(176-8)÷2=84
即D=84×4-(76×2+84)=100
答:
D是100。
做一做2已知A,B,C,D四个数的平均数是38,A,B的平均数是42,B,C,D三个数的平均数是36。
求B是多少。
【例3】某次考试,甲、乙、丙、丁四个人的成绩统计如下:
甲、乙、丙三人的平均成绩为94分,乙、丙、丁三人的成绩为92分,甲、丁两人的平均成绩是96分。
问:
甲得了多少分。
解法1甲+乙+丙=94×3=282(分)…………………………①
乙+丙+丁=92×3=276(分)……………………………………②
甲+丁=96×2=192(分)…………………………………………③
三式相加,得
2×(甲+乙+丙+丁)=282+276+192
即甲+乙+丙+丁=(282+276+192)÷2=375(分)…………④
由④-②得甲=375-276=99(分)
解法2由①-②得甲-丁=282-276=6(分)
因甲+丁=192(分)
根据和差公式知甲=(192+6)÷2=99(分)
答:
甲得了99分。
你能给出另外两种解法吗?
做一做3某次考试,A,B,C,D,E五人的成绩统计如下:
A,B,C,D四人的平均分为75分;A,C,D,E四人的平均分为70分;A,D,E三人的平均分为60分;B,D两人的平均分为65分。
求A得了多少分。
B级更上层楼
三、综合运用发散思考
【例4】如下图1,在七个圆圈内各填一个数,要求每条直线上的三个数,中间的数是两边两个数的平均数。
现在已填上两个数,求x代表的数。
图1图2
分析与解为了便于说明问题,用字母表示各个圆圈所填写的数,见图2。
根据每条直线上三个数的关系,由图示可知
A=(8+24)÷2=16,B=(16+D)÷2,B=(24+C)÷2,C=(8+D)÷2
因为16+D=24+C,所以D=8+C。
这样:
C=(8+8+C)÷2,2C=16+C,C=16,B=(24+16)÷2=20
X=20×2-8=32
小结本例为了便于理解,用字母来表示各个圆圈中所填写的数,解法巧妙、简洁。
x
13
17
做一做4在右图中的七个圆圈内各填一个数,要求每一条直线上的三个数,中间的数是两边两个数的平均数。
现在已经填好两个数,那么x是多少?
【例5】小明前五次考试的总分是428分,第六次至第九次的平均分比前五次的平均分多1.4分。
现在要进行第十次考试,要使后五次的平均分高于所有十次的平均分,问:
小明第十次至少要考多少分?
(注:
每次考试的分数都是整数)
分析与解第六次至第九次共得(428÷5+1.4)×4=348(分)。
如果第十次考428-348=80(分),那么,前五次与后五次总分相同,因此后五次平均分与所有十次平均分相同。
于是,要使后五次平均分高于所有十次的平均分,则小明第十次至少要考81分。
答:
小明第十次至少要考81分。
做一做5今年前5个月,小明每月平均储蓄4.2元,从6月份起,小明每月储蓄6元。
那么从哪个月起,小明每月的平均储蓄超过了5元?
5
5
9
9
7
5
3
8
6
8
7
c
d
a
b
e
【例6】有10个整数排成一个圆形,将每一个整数换成与它相邻两数的平均值,所得的结果如图所示,那么图中数e所占位置的原数是多少?
解有图知:
(a+b+c+d+e)×2=(5+3+5+8+9)×2,
a+b+c+d+e=30。
因为(a+b)+(c+d)=5×2+5×2=20,所以
e=(a+b+c+d+e)—(a+b+c+d)
=30―20
=10。
8
3
7
5
2
做一做6五个小朋友围坐一张圆桌边,每人想好一个数并告诉坐在他两边的人,然后,每人将他两边人告诉他的数的平均值报出来,报的结果如右图。
报8的人想的数是。
C级勇夺冠军
【例7】四个自然两两之和为如下三个数:
23,32,41(有一些和是重复的),求这四个数。
解四个自然数两两相加,不同的和可以有六个、五个、四个、三个、两个或一个。
当四个数完全相同时,它们两两相加的和只有一个;
当四个数中有三个相同时,它们两两相加不同的和有两个;
当四个数都不相同时,它们两两相加不同的和可能是六个,也可能是五个;
当四个数中有两个数相同时,它们两两相加,不同的和可能是四个,也可能是三个。
题中不同的和为三个,所以其中应恰有两个数相同,又因为23,32,41这三个数中只有32是偶数,所以四个数中两个相同的数应是
32÷2=16
设四个数中的另外两个数分别是A和B,那么由题意应有
16+A=23,16+B=41
解得A=7,B=25
所以这四个数分别是7,16,16,25。
答:
这四个数分别是7,16,16,25。
做一做7四个自然数两两相加的和为如下四个数:
7,11,14,18。
其中有一些数相加的和与另外的和相同,那么这四个数的乘积是多少?
巧练习——温故知新(三)(Ⅱ)
A级基础点睛
1.某班在11月底前进行了6次数学测验,12月和1月进行了4次数学测验。
已知后4次测验的平均分要比前6次的平均分高7.5分,且10次测验的总平均分是88.5分,那么后4次测验的平均分是多少?
2.有20个数,按照从小到大的顺序排列,它们的平均分是42,前11个数的平均分数是38.5,后10个数的平均数是46。
问:
第11个数是多少?
3.A,B,C,D四个数的平均数是75,A与B的平均数比C与D的平均数多2,A是90。
问B是多少?
4.A,B,C,D四个数的平均数是84,已知A与B的平均数是72,B与C的平均数是76,B与D的平均数是80,那么D是多少?
5.有四个少先小队拾麦穗,甲、乙。
丙三队平均每队拾24千克,乙、丙、丁三队平均每队拾26千克。
已知丁队拾了28千克麦穗,那么甲队拾了多少千克?
B级更上层楼
6.甲、乙、丙、丁四人体重各不相同,其中有两人的平均体重与另外两人的平均体重相等。
甲与乙的平均体重比甲与丙的平均体重少8千克,乙与丁的平均体重比甲与丙的平均体重重,乙与丙的平均体重是49千克。
求:
(1)甲乙丙丁四人的平均体重。
(2)乙的体重。
7.有甲、乙、丙、丁4位同学甲比乙重7千克,甲与乙的平均体重比甲、乙、丁3人的平均体重多1千克,乙、丙、丁3人的平均体重是40.5千克,乙与丙的平均体重是41千克,问:
这4人中,最重的同学体重是多少千克?
8.赵、钱、孙、李、周、吴、郑、王8位同学参加一次数学竞赛,8个人的平均得分是64分。
每人得分如下:
赵
钱
孙
李
周
吴
郑
王
74
48
90
33
60
78
其中吴与孙两位同学的得分尚未填上,吴的得分最高,并且吴的得分是其他一位同学得分的2倍。
问:
吴和孙各得多少分?
9.有五位数,每次选取其中的四个数,算出它们的平均数,再加上另外的一个数,用这样的方法计算了五次,分别得到以下五个数:
24,27,29,32,38。
求原来五个数中最小的数。
10.有五位小朋友,每两人合称一次体重,一共称了10次。
每两人的平均体重依次是27.5,28.5,29.5,30,31,31.5,32,33,34(单位:
千克)。
求体