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功率谱估计的古典算法与现代算法的比较
――选取周期图法与Burg算法为例
现代信号分析中，对于常见的具有各态历经的平稳随机信号，不可能用清楚的数学关系式来描述，但可以利用给定的N个样本数据估计一个平稳随机信号的功率谱密度叫做功率谱估计（PSD）。
功率谱估计可以分为经典功率谱估计（非参数估计）和现代功率谱估计（参数估计）。
一、古典功率谱估计
古典功率谱估计是将数据工作区外的未知数据假设为零，相当于数据加窗经典功率谱估计方法分为：
相关函数法（BT法）、周期图法以及两种改进的周期图估计法。
1、相关法
相关法是以相关函数为媒介来计算功率谱的，所以又叫间接法，它的理论基础是维纳--辛钦定理。
先对数据工作区外的未知数据赋值为零，再由序列x（n）估计出自相关函数R（n），最后对R（n）进行傅立叶变换，便得到x（n）的功率谱估计。
2、周期图法
周期图法是由获得的N点数据构成的有限长序列直接求fft得其频谱，取频谱幅度的平方再除以N，以此作为对x（n）真实功率谱的估计。
3、改进的周期图法
改进的周期图法的主要途径是平滑和平均。
平滑是用一个适当的窗函数与算出的功率谱进行卷积，使谱线平滑，这种方法得出的谱估计是无偏的，方差也小，但分辨率下降；平均就是将截取的数据段再分成L个平均的小段，分别计算功
率谱后取功率谱的平均，当L趋于无穷大的时候，L个平均的方差趋于零，可以达到一致谱估计的目的。
由于存在旁瓣，会产生两个后果：
一是功率谱主瓣能量泄露到旁瓣使谱估计的方差增大，二是与旁瓣卷积后得到的功率谱完全属于干扰，严重情况下，强信号与旁瓣的卷积可能大于弱信号与主瓣的卷积，使弱信号
淹没在强信号的干扰中无法检测出来。
这是古典法谱估计的主要缺点，即便是改进的周期图法也无法克服分辨率低的缺点。
我们从中选取周期图法作比较，其算法实现如下:
Fs=600;%采样频率
n=0:
1/Fs:
1;%产生含有噪声的序列
xn=cos（2*pi*40*n）+cos（2*pi*90*n）+0.1*randn（size（n））;
n=1:
length（xn）;
figured）;
subplot（2,1,1）;
plot（n,xn）;
window=boxcar（length（xn））;%矩形窗
nfft=1024;
[Pxx,f]=periodogram（xn,window,nfft,Fs）;
subplot（2,1,2）;
plot（f,10*log10（Pxx））;
得到的图形为：
AR模型参数的求解有三种方法：
Burg算法不是直接估计AR模型的
二、现代谱估计
参数模型法是现代谱估计中的主要内容，自相关法、Burg递推算法和改进协方差法。
参数，而是先估计反射系数Km,再利用Levinson关系式求得AR模型的参数。
Burg算法采用的数据加窗方法是协方差法，不含有对已知数据段之外的数据做人为的假设。
1.其原理如下：
Burg算法是使前向预测误差和后向预测误差均方误差之和最小来求取Km
的，它不对已知数据段之外的数据做认为假设。
计算m阶预测误差的递推表示
公式如下：
ffb
em（n）二em-i（n）+kmem-i（n"1）
bbf
em（n）二em-i（n-1）+kmem-1（n）
fb
e0（n）=00（n）=x（n）
求取反射系数的公式如下：
fb
=2E[em-i（n）em-i（n-1）]
kmif2b2
E{[em-1（n）]+[em-1（n-1）]}
对于平稳随机过程，可以用时间平均代替集合平均，因此上式可写成:
N-1
2送em-1（n）em-1（n-e
km=-,m=1,2,…，p
kmZt（n）2+E）f}p
nm
这样便可求得AR模型的反射系数。
将m阶AR模型的反射系数和m-1阶AR模型的系数代入到Levinson关系式中，可以求得AR模型其他的P-1个参数。
Levinson关系式如下:
am（i）=am-1（i）十kmam-1（m-i）,i二1,2，…，m-1
m阶AR模型的第m+1个参数G，
Q=P
m
其中p是预测误差功率，可由递推公式
m
易知为进行该式的递推，必须知道0阶AR模型误差功率P0
^=ex2（n）LRx（0）
可知该式由给定序列易于求得。
完成上述过程，即最终求得了表征该随机信号的AR模型的P+1个参数。
然后根据
Sx（e号=cr2dH（j）
即可求得该随机信号的功率谱密度。
2.Burg算法的Matlab运算程序如下：
clearall
N=512;
f1=0.19;
f2=0.21;
n=1:
N;
x（n）=sin（2*pi*n*f1）+sin（2*pi*n*f2）+2*randn（size（n））;subplot（2,1,1）;
plot（n,x（n））;xlabel（'n'）;ylabel（'x（n）'）;
titleC两个正弦信号与白噪声叠加的时域波形'）;
p=input（'InputaNumber>'）
ef=zeros（p,N）;
eb=zeros（p,N）;de=zeros（p,p）;ef（1,:
）=x（n）;eb（1,:
）=x（n）;cov
（1）=x*x7N;k
（1）=0;
form=2:
p+1
mol=0;
den=0;
forn=m:
N
mol=mol+（-2）*ef（m-1,n）*eb（m-1,n-1）;
den=den+（ef（m-1,n））A2+（eb（m-1,门-1））八2;end
k（m）=mol./den;
de（m,m）=k（m）;
h
（1）=cov
（1）*（1-de（1,1）A2）;
forn=m:
N
ef（m,n）=ef（m-1,n）+k（m）.*eb（m-1,n-1）;
eb（m,n）=eb（m-1,n-1）+k（m）*ef（m-1,n）;end
end
k=k（1,2:
p+1）;
de=de（2:
p+1,2:
p+1）;
form=2:
p
fori=1:
m-1de（m,i）=de（m-1,i）+k（m）*de（m-1,m-i）;h（m）=h（m-1）*（1-k（m）A2）;
end
end
z=de（p,:
）;
s=[1,z];
n=（0:
511）/512;
Hw=fft（s,512）;
subplot（2,1,2）;
plot（n,h（p）./abs（Hw）.A2）;xIabelC频率（Hz）'）;
ylabel（'10log（PSD）'）;
titleC基于burg算法的功率谱估计'）;
3.其运行结果如下:
两个正弦信号与白噪声a加的吋域波形
w5or-w
600
n
基于匕口电算法的功率谱估计
—•、
0.1020.30.4050.6□./080.9
频率（Hz）
两个正弦信号与白噪声4加的B寸域波形
n
基于burg算法的功率谱估计
SX
10D
20D
400
5DD
占
300
n
基于hurg算法的功率谱估计
600
频率（Hz）
ODO
321（dsdw君L
两个正弦信号与白嗓声叠加的时域波形
3DD
n
基于burg算法的功率谱估计
P=50
两个正弦信号与白噪声叠加的吋域波形
10
1
1
111
111
1
州-
1
0100200300400500600
n
基于bu电算法的功率谱估计
1
汀■八人
■11111
1a|\
1—J"广j—卜广r'yE气—■■—
11
yUjJV-h』L“,一
5
-5
-1D
1D0
50
冒0
00.10.20.30.40.50.60.70.80.9
频率（Hz）
0
P=60
两个正弦信号与白噪声叠加的时域波形
10
1
1
11
11
1
删/fifi
1
1
1
0100200300400500600
n
基于txRg算法的功率谱估计
11
A=-^\
11111
11
5
-5
-10
80
60
40
20
吕0
00.10.20.3D.40.5D.B
频率（缶）
0
080.9
150
基于burg算法的功率谱怙计
r
r111111
1
.一%
1
.I.
100
50
00.10.20.3040.50.60.70.80.9
频率（缶）
0
P=100
（sd耳一OL
k
D
op
□
P=120
P=130
o
2nu
4a
z
H
ooo
642
P=160
结果分析：
Burg算法求解AR模型
Burg算法来说，P即当P介于50和80
1、从图中我们可以清晰的看到Burg算法的优越性，
的过程是非常稳定的，而且具有很高的分辨率。
当然对于阶数的选择是至关重要的，我们从实验结果图中可以看出，
之间时，得到的频谱图是较优越的，P在130左右时频谱图是最优越的，这也符合了经验定理，对于512点的频谱图分析，P应介于130和250之间。
而当P的阶数过小的时候，会无法分辨出离的较近的两个频谱，P过大频谱图会出现过多
伪峰，导致分辨率严重下降。
2、对比周期图法我们会发现，其抗干扰能力远不如Burg算法，且离散性大，曲线粗糙，方差较大，但其分辨率是很高的。
现代谱估计方法曲线明显比经典谱估计方法光滑，说明其处理结果的方差比经典谱估计方法处理的结果小。
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