勾股定理的逆定理 答案版.docx
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勾股定理的逆定理答案版
2018年10月18日勾股定理的逆定理
一．选择题
1．已知三角形的三边长为a、b、c，如果（a﹣5）2+|b﹣12|+（c﹣13）2=0，则△ABC是（ ）
A．以a为斜边的直角三角形B．以b为斜边的直角三角形
C．以c为斜边的直角三角形D．不是直角三角形
2．若a、b、c是△ABC的三边，且满足（a﹣b）2=c2﹣2ab，则△ABC是（ ）
A．等腰三角形B．直角三角形
C．等边三角形D．等腰直角三角形
3．在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c，下列说法错误的是（ ）
A．如果∠C﹣∠B=∠A，则△ABC是直角三角形
B．如果c2=b2﹣a2，则△ABC是直角三角形
C．如果∠A：
∠B：
∠C=1：
2：
3，则△ABC是直角三角形
D．如果a2+b2≠c2，则△ABC不是直角三角形
4．以下列各题的数组为三角形的三条边长：
①5，12，13；②
，
，
；③
，2；④15，25，20．其中能构成直角三角形的有（ ）
A．1组B．2组C．3组D．4组
5．如图，以△ABC的三边为邻边分别向外作等腰直角三角形，且S△AFB=169，S△AEC=25，S△CHB=144，则S△ACB=（ ）
A．130B．120C．100D．90
（第5题）（第6题）（第7题）（第8题）
二．填空题
6．如图，在单位为1的正方形组成的网格图中标有AB、CD、EF、GH四条线段，其中能构成一个直角三角形三边的线段是 ．
7．如图是单位长度为1的网格图，A、B、C、D是4个网格线的交点，以其中两点为端点的线段中，任意取3条，能够组成 个直角三角形．
8．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=5cm，AC=3cm，动点P从点B出发，沿射线BC以2cm/s的速度移动设运动的时间为ts当t= 时，△ABP为直角三角形．
三．解答题
9．如图，四边形ABCD中，AB=AD=2，BC=3，CD=1，∠A=90°，求四边形ABCD的面积．
10．如图网格中的△ABC，若小方格边长为1，请你根据所学的知识
（1）求△ABC的面积；
（2）判断△ABC是什么形状？
并说明理由．
11．如图，一根长度为50cm的木棒的两端系着一根长度为70cm的绳子，现准备在绳子上找一点，然后将绳子蜡烛，使拉直后的绳子与木棒构成一个直角三角形，这个点将绳子分成的两段各有多长？
12．如图，在△ABC中，AB=3，AC=4，BC=5，P为边BC上一动点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，M为EF中点，求AM的最小值．
13．已知三条线段的长分别为a，a+1，a+2．
（1）当a=3时，证明这三条线段可以组成一个直角三角形．
（2）若这三条线段可以组成一个三角形，求a的取值范围．
14．阅读下列解题过程：
、
已知a、b、c为△ABC的三边，且满足a2c2﹣b2c2=a4﹣b4，试判断△ABC的形状．
解：
因为a2c2﹣b2c2=a4﹣b4，①
所以c2（a2﹣b2）=（a2﹣b2）（a2+b2）②．
所以c2=a2+b2．③
所以△ABC是直角三角形．④
请你判断上述解题过程是否正确？
如果有误，请你将正确的解答过程写下来．
15．如图，P是等边三角形ABC内的一点，连结PA，PB，PC，以BP为边作∠PBQ=60°，且BQ=BP，连结CQ．
（1）证明：
AP=CQ；
（2）若PA：
PB：
PC=3：
4：
5，连结PQ，证明：
△PQC是直角三角形．
16．如图，已知四边形ABCD中，AB=24，AD=15，BC=20，CD=7，∠ADB+∠CBD=90°，求四边形ABCD的面积．
17．已知某直角三角形的两直角边分别是a，b，斜边长为c，那么三边长分别为a+1，b+1，c+1，三角形会不会是直角三角形呢？
请说明理由（提示：
若a+b＞c，则a+b﹣c＞0）．
18．在一次“构造勾股数”的探究性学习中，老师给出了下表：
m
2
3
3
4
…
n
1
1
2
3
…
a
22+12
32+12
32+22
42+32
…
b
4
6
12
24
…
c
22﹣12
32﹣12
32﹣22
42﹣32
…
其中m、n为正整数，且m＞n．
（1）观察表格，当m=2，n=1时，此时对应的a、b、c的值能否为直角三角形三边的长？
说明你的理由．
（2）探究a，b，c与m、n之间的关系并用含m、n的代数式表示：
a= ，b= ，c= ．
（3）以a，b，c为边长的三角形是否一定为直角三角形？
如果是，请说明理由；如果不是，请举出反例．
19．在△ABC中，BC=a，AC=b，AB=c，设c为最长边，当a2+b2=c2时，△ABC是直角三角形；当a2+b2≠c2时，利用代数式a2+b2和c2的大小关系，探究△ABC的形状（按角分类）．
（1）当△ABC三边分别为6、8、9时，△ABC为 三角形；当△ABC三边分别为6、8、11时，△ABC为 三角形．
（2）猜想，当a2+b2 c2时，△ABC为锐角三角形；当a2+b2 c2时，△ABC为钝角三角形．
（3）试证明
（2）中猜想的正确性．
20．已知a，b，c为三角形的三边，若a=2，b=3，当c为何值时，△ABC是：
（1）锐角三角形？
（2）直角三角形？
（3）钝角三角形？
2018年10月18日数学饼干的初中数学组卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共5小题）
1．已知三角形的三边长为a、b、c，如果（a﹣5）2+|b﹣12|+（c﹣13）2=0，则△ABC是（ ）
A．以a为斜边的直角三角形B．以b为斜边的直角三角形
C．以c为斜边的直角三角形D．不是直角三角形
【分析】根据非负数的性质得出a，b，c的值，再根据勾股定理的逆定理判断△ABC的形状即可．
【解答】解：
∵（a﹣5）2+|b﹣12|+（c﹣13）2=0，
∴a﹣5=0，b﹣12=0，c﹣13=0，
∴a=5，b=12，c=13，
∵52+122=132，
∴a2+b2=c2，
∴△ABC是以c为斜边的直角三角形．
故选：
C．
2．若a、b、c是△ABC的三边，且满足（a﹣b）2=c2﹣2ab，则△ABC是（ ）
A．等腰三角形B．直角三角形
C．等边三角形D．等腰直角三角形
【分析】根据题意，利用完全平方公式展开求得a、b、c之间的关系，从而可以解答本题．
【解答】解：
∵（a﹣b）2=c2﹣2ab，
∴a2+b2﹣2ab=c2﹣2ab，
∴a2+b2=c2，
∴△ABC是直角三角形，
故选：
B．
3．在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c，下列说法错误的是（ ）
A．如果∠C﹣∠B=∠A，则△ABC是直角三角形
B．如果c2=b2﹣a2，则△ABC是直角三角形
C．如果∠A：
∠B：
∠C=1：
2：
3，则△ABC是直角三角形
D．如果a2+b2≠c2，则△ABC不是直角三角形
【分析】根据勾股定理的逆定理以及三角形的内角和定理即可作出判断．
【解答】解：
A、∠C﹣∠B=∠A，即∠A+∠B=∠C，又∵∠A+∠B+∠C=180°，则∠C=90°，那么△ABC是直角三角形，说法正确；
B、c2=b2﹣a2，即a2+c2=b2，那么△ABC是直角三角形且∠B=90，说法正确；
C、∠A：
∠B：
∠C=1：
2：
3，又∵∠A+∠B+∠C=180°，则∠C=90°，则△ABC是直角三角形，说法正确；
D、a=3，b=5，c=4，32+52≠42，但是32+42=52，则△ABC可能是直角三角形，故原来说法错误．
故选：
D．
4．以下列各题的数组为三角形的三条边长：
①5，12，13；②
，
，
；③
，2；④15，25，20．其中能构成直角三角形的有（ ）
A．1组B．2组C．3组D．4组
【分析】由勾股定理的逆定理，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可．
【解答】解：
①52+122=132，故是直角三角形；
②（
）2+（
）2≠（
）2，故不是直角三角形；
③（
）2+（
）2≠22，故不是直角三角形；
④152+202=252，故是直角三角形．
故选：
B．
5．如图，以△ABC的三边为邻边分别向外作等腰直角三角形，且S△AFB=169，S△AEC=25，S△CHB=144，则S△ACB=（ ）
A．130B．120C．100D．90
【分析】根据题意和图形得到AB2=AC2+BC2，根据勾股定理的逆定理得到∠ACB=90°，根据题意求出AC、BC的长，根据三角形的面积计算即可．
【解答】解：
∵S△AFB=S△AEC+S△CHB，
∴
AB2=
AC2+
BC2，
∴AB2=AC2+BC2，
∴∠ACB=90°，
∵
AC2=25，
BC2=144，
∴AC=10，BC=24，
∴S△ACB=
×10×24=120，
故选：
B．
二．填空题（共3小题）
6．如图，在单位为1的正方形组成的网格图中标有AB、CD、EF、GH四条线段，其中能构成一个直角三角形三边的线段是 AB，EF，GH ．
【分析】本题应先计算出各线长度，再根据勾股定理逆定理进行判断．
【解答】解：
AB2=22+22=8，
CD2=42+22=20，
EF2=12+22=5，
GH2=32+22=13，
所以AB2+EF2=GH2．
故其中能构成一个直角三角形三边的线段是AB，EF，GH．
故答案为：
AB，EF，GH．
7．如图是单位长度为1的网格图，A、B、C、D是4个网格线的交点，以其中两点为端点的线段中，任意取3条，能够组成 3 个直角三角形．
【分析】由勾股定理求出线段AD、AC、AB、BC、BD、CD的平方，由勾股定理的逆定理即可得出结果．
【解答】解：
由勾股定理得：
AD2=BD2=12+32=10，AC2=12+22=5，
AB2=22+42=20，BC2=CD2=25，
∵AD2+BD2=AB2，AC2+AB2=BC2，AC2+AB2=CD2，
∴能够组成3个直角三角形．
故答案为：
3．
8．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=5cm，AC=3cm，动点P从点B出发，沿射线BC以2cm/s的速度移动设运动的时间为ts当t= 2s或
s 时，△ABP为直角三角形．
【分析】首先根据勾股定理求出BC的长度，再分两种情况：
①当∠APB为直角时，②当∠BAP为直角时，分别求出此时的t值即可．
【解答】解：
∵∠C=90°，AB=5cm，AC=3cm，
∴BC=4cm．
①当∠APB为直角时，点P与点C重合，BP=BC=4cm，
∴t=4÷2=2s．
②当∠BAP为直角时，BP=2tcm，CP=（2t﹣4）cm，AC=3cm，
在Rt△ACP中，AP2=32+（2t﹣4）2，
在Rt△BAP中，AB2+AP2=BP2，
∴52+[32+（2t﹣4）2]=（2t）2，
解得t=
s．
综上，当t=2s或
s时，△ABP为直角三角形．
故答案为：
2s或
s．
三．解答题（共12小题）
9．如图，四边形ABCD中，AB=AD=2，BC=3，CD=1，∠A=90°，求四边形ABCD的面积．
【分析】首先在Rt△BAD中，利用勾股定理求出BD的长，再根据勾股定理逆定理在△BCD中，证明△BCD是直角三角形，再根据四边形ABCD的面积=三角形BAD的面积+三角形BDC的面积即可求出答案．
【解答】解：
连接BD，
在Rt△BAD中，
∵AB=AD=2，
∴BD=
=2
，
在△BCD中，
DB2+CD2=（2
）2+12=9=CB2，
∴△BCD是直角三角形，
∴∠BDC=90°，
∴四边形ABCD的面积=三角形BAD的面积+三角形BDC的面积=2×2÷2+1×2
÷2=2+
．
10．如图网格中的△ABC，若小方格边长为1，请你根据所学的知识
（1）求△ABC的面积；
（2）判断△ABC是什么形状？
并说明理由．
【分析】
（1）运用割补法，正方形的面积减去三个小三角形的面积，即可求出△ABC的面积；
（2）根据勾股定理求得△ABC各边的长，再利用勾股定理的逆定理进行判定，从而不难得到其形状．
【解答】解：
（1）△ABC的面积=4×4﹣1×2÷2﹣4×3÷2﹣2×4÷2=16﹣1﹣6﹣4=5．
故△ABC的面积为5；
（2）∵小方格边长为1，
∴AB2=12+22=5，AC2=22+42=20，BC2=32+42=25，
∴AB2+AC2=BC2，
∴△ABC为直角三角形．
11．如图，一根长度为50cm的木棒的两端系着一根长度为70cm的绳子，现准备在绳子上找一点，然后将绳子蜡烛，使拉直后的绳子与木棒构成一个直角三角形，这个点将绳子分成的两段各有多长？
【分析】设使拉直后的绳子与木棒构成一个直角三角形的位置为点C，则AC+BC=70cm，设AC=x，则BC=（70﹣x）cm，利用勾股定理建立方程，解方程即可求出x的值．
【解答】解：
已知如图：
设AC=x，则BC=（70﹣x）cm，
由勾股定理得：
502=x2+（70﹣x）2，
解得：
x=40或30，
若AC为斜边，
则502+（70﹣x）2=x2，
解得：
x=
，
若BC为斜边，
则502+x2=（70﹣x）2，
解得：
x=
．
故这个点将绳子分成的两段各有30cm或40cm或
cm或
cm．
12．如图，在△ABC中，AB=3，AC=4，BC=5，P为边BC上一动点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，M为EF中点，求AM的最小值．
【分析】根据勾股定理的逆定理可以证明∠BAC=90°；根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，则AM=
EF，要求AM的最小值，即求EF的最小值；根据三个角都是直角的四边形是矩形，得四边形AEPF是矩形，根据矩形的对角线相等，得EF=AP，则EF的最小值即为AP的最小值，根据垂线段最短，知：
AP的最小值即等于直角三角形ABC斜边上的高．
【解答】解：
∵在△ABC中，AB=3，AC=4，BC=5，
∴AB2+AC2=BC2，即∠BAC=90°．
又∵PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，
∴四边形AEPF是矩形，
∴EF=AP．
∵M是EF的中点，
∴AM=
EF=
AP．
当AP⊥BC时，AP的最小值即为直角三角形ABC斜边上的高
，
∴AM的最小值是
．
13．已知三条线段的长分别为a，a+1，a+2．
（1）当a=3时，证明这三条线段可以组成一个直角三角形．
（2）若这三条线段可以组成一个三角形，求a的取值范围．
【分析】
（1）根据勾股定理的逆定理即可求解；
（2）根据三角形的三边关系，即三角形的第三边大于两边之差而小于两边之和，列不等式求解．
【解答】
（1）证明：
当a=3时，a+1=4，a+2=5，
∵32+42=52，
∴这三条线段可以组成一个直角三角形．
（2）解：
根据三角形的三边关系，得
a+a+1＞a+2，
解得a＞1．
故a的取值范围是a＞1．
14．阅读下列解题过程：
、
已知a、b、c为△ABC的三边，且满足a2c2﹣b2c2=a4﹣b4，试判断△ABC的形状．
解：
因为a2c2﹣b2c2=a4﹣b4，①
所以c2（a2﹣b2）=（a2﹣b2）（a2+b2）②．
所以c2=a2+b2．③
所以△ABC是直角三角形．④
请你判断上述解题过程是否正确？
如果有误，请你将正确的解答过程写下来．
【分析】利用提公因式法把原式因式分解，根据等腰三角形的判定、勾股定理的逆定理解答．
【解答】解：
上述解题过程不正确，
∵a2c2﹣b2c2=a4﹣b4，
∴c2（a2﹣b2）=（a2﹣b2）（a2+b2），
∴（a2﹣b2）（c2﹣a2+b2）=0，
∴a2﹣b2=0或（c2﹣a2+b2）=0，
∴a=b或c2=a2+b2，
∴△ABC是等腰三角形或直角三角形．
15．如图，P是等边三角形ABC内的一点，连结PA，PB，PC，以BP为边作∠PBQ=60°，且BQ=BP，连结CQ．
（1）证明：
AP=CQ；
（2）若PA：
PB：
PC=3：
4：
5，连结PQ，证明：
△PQC是直角三角形．
【分析】
（1）根据等边三角形的性质利用SAS判定△ABP≌△CBQ，从而得到AP=CQ；
（2）设PA=3a，PB=4a，PC=5a，由已知可判定△PBQ为正三角形，从而可得到PQ=4a，再根据勾股定理判定△PQC是直角三角形．
【解答】解：
（1）猜想：
AP=CQ，
证明：
∵∠ABP+∠PBC=60°，∠QBC+∠PBC=60°，
∴∠ABP=∠QBC．
又∵AB=BC，BP=BQ，
∴△ABP≌△CBQ，
∴AP=CQ；
（2）证明：
由PA：
PB：
PC=3：
4：
5，
可设PA=3a，PB=4a，PC=5a，
连接PQ，在△PBQ中，
由于PB=BQ=4a，且∠PBQ=60°，
∴△PBQ为正三角形．
∴PQ=4a．
于是在△PQC中
∵PQ2+QC2=16a2+9a2=25a2=PC2
∴△PQC是直角三角形．
16．如图，已知四边形ABCD中，AB=24，AD=15，BC=20，CD=7，∠ADB+∠CBD=90°，求四边形ABCD的面积．
【分析】作∠DBM=∠BDA，∠BDN=∠DBA，射线BM，DN交于A′，可得△A′BD≌△ADB，可得：
∠A′BD=∠ADB，A′B=AD=15，A′D=AB=24，连接A′C，由∠ADB+∠CBD=90°，得到∠A′BD+∠CBD=90°，证得∠A′BC=90°，根据勾股定理得到A′C=25，根据勾股定理的逆定理得到△A′DC是直角三角形，于是得到结果．
【解答】解：
作∠DBM=∠BDA，∠BDN=∠DBA，射线BM，DN交于A′，可得△A′BD≌△ADB，
可得：
∠A′BD=∠ADB，A′B=AD=15，A′D=AB=24，
如图1，连接A′C，
∵∠ADB+∠CBD=90°，
∴∠A′BD+∠CBD=90°，
即∠A′BC=90°，
∴A′B2+BC2=A′C2，
∵A′B=15，BC=20，
∴A′C=25，
在Rt△A′CD中，A′D=24，CD=7，
∴A′D2+CD2=576+49=625，
∵A′C2=625，
∴A′D2+CD2=A′C2．
∴△A′DC是直角三角形，且∠A′DC=90°，
∴S四边形A′BCD=S△A′BC+S△A′CD=
×20×15+
×24×7=234，
∵S△A'BD=S△ABD，
∴S四边形ABCD=S四边形A'BCD=234．
17．已知某直角三角形的两直角边分别是a，b，斜边长为c，那么三边长分别为a+1，b+1，c+1，三角形会不会是直角三角形呢？
请说明理由（提示：
若a+b＞c，则a+b﹣c＞0）．
【分析】根据勾股定理可得a2+b2=c2，分别求的（a+1）2、（b+1）2、（c+1）2的值，根据（a+1）2+（b+1）2﹣（c+1）2≠0，即可解题．
【解答】解：
∵某直角三角形的两直角边分别是a，b，斜边长为c，
∴a2+b2=c2，
∵（a+1）2+（b+1）2=a2+2a+1+b2+2b+1，（c+1）2=c2+2c+1，
∴（a+1）2+（b+1）2﹣（c+1）2=2a+2b﹣2c+1，
∵a+b＞c，∴a+b﹣c＞0，
∴（a+1）2+（b+1）2﹣（c+1）2＞1≠0，
∴三边长分别为a+1，b+1，c+1，三角形不是直角三角形．
18．在一次“构造勾股数”的探究性学习中，老师给出了下表：
m
2
3
3
4
…
n
1
1
2
3
…
a
22+12
32+12
32+22
42+32
…
b
4
6
12
24
…
c
22﹣12
32﹣12
32﹣22
42﹣32
…
其中m、n为正整数，且m＞n．
（1）观察表格，当m=2，n=1时，此时对应的a、b、c的值能否为直角三角形三边的长？
说明你的理由．
（2）探究a，b，c与m、n之间的关系并用含m、n的代数式表示：
a= m2+n2 ，b= 2mn ，c= m2﹣n2 ．
（3）以a，b，c为边长的三角形是否一定为直角三角形？
如果是，请说明理由；如果不是，请举出反例．
【分析】
（1）计算出a、b、c的值，根据勾股定理的逆定理判断即可；
（2）根据给出的数据总结即可；
（3）分别计算出a2、b2、c2，根据勾股定理的逆定理进行判断．
【解答】解：
（1）当m=2，n=1时，a=5、b=4、c=3，
∵32+42=52，
∴a、b、c的值能为直角三角形三边的长；
（2）观察得，a=m2+n2，b=2mn，c=m2﹣n2；
（3）以a，b，c为边长的三角形一定为直角三角形，
∵a2=（m2+n2）2=m4+2m2n2+n4，
b2+c2=m4﹣2m2n2+n4+4m2n2=m4+2m2n2+n4，
∴a2=b2+c2，
∴以a，b，c为边长的三角形一定为直角三角形．
19．在△ABC中，BC=a，AC=b，AB=c，设c为最长边，当a2+b2=c2时，△ABC是直角三角形；当a2+b2≠c2时，利用代数式a2+b2和c2的大小关系，探究△ABC的形状（按角分类）．
（1）当△ABC三边分别为6、8、9时，△ABC为 锐角 三角形；当△ABC三边分别为6、8、11时，△ABC为 钝角 三角形．
（2）猜想，当a2+b2 ＞ c2时，△ABC为锐角三角形；当a2+b2 ＜ c2时，△ABC为钝角三角形．
（3）试证明
（2）中猜想的正确性．
【分析】
（1）利用勾股定理列式求出两直角边为6、8时的斜边的值，然后作出判断即可；
（2）根据
（1）中的计算作出判断即可；
（3）若△ABC是锐角三角形，则有a2+b2＞c2；理由：
过点A作AD⊥BC，垂足为D，设CD为x，则有BD=a﹣x．根据勾股定理，得a2+b2=c2+2ax，从而可证；
当△ABC是钝角三角形时，a2+b2＜c2；理由：
过B作BD⊥AC，交AC的延长线于D．设CD为x，则有BD2=a2﹣x2，根据勾股定理，得a2+b2+2bx=c2，从而可证．
【解答】解：
（1）∵两直角边分别为6、8时，斜边=
=10，
∴△ABC三边分别为6、8、9时，△ABC为锐角三角形；
当△ABC三边分别为6、8、11时，△ABC为钝角三角形；
故答案为：
锐角；钝角；
（2）当a2+b2＞c2时，△ABC为锐角三角形；
当a2+b2＜c2时，△ABC为钝角三角形；
故答案为：
＞；＜；
（3）若△ABC是锐角三角形，则有a2+b2＞c2；
理由：
过点A作AD⊥BC，垂足为D，设CD为x，
则有BD=a﹣x．
根据勾股定理，得b2﹣x2=AD2=c2﹣（a﹣x）2，
即b2﹣x2=c2﹣a2+2ax﹣x2．
则a2+b2=c2+2ax．
∵a＞0，x＞0，
∴2ax＞0；
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