配套K12八年级数学上册第一二章知识点整理.docx
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配套K12八年级数学上册第一二章知识点整理
八年级数学上册第一二章知识点整理
勾股定理
一、思维导图
二、易错题
、满足a²+b²=c²的三个正整数，称为＿＿＿，比如：
5,12,＿＿＿。
解：
勾股数；√5²+12²=13
2、在△ABc中，AB=15，Ac=13，高AD=12，则△ABc的周长是＿＿＿。
解：
应分两种情况说明：
（1）当△ABc为锐角三角形时，在Rt△ABD中，BD=√（AB²-AD²）=√（15²-12²）=9，
在Rt△AcD中，cD=√（Ac²-AD²）=√（13²-12²）=5，∴Bc=5+9=14
∴△ABc的周长为：
15+13+14=42；
（2）当△ABc为钝角三角形时，高AD交Bc延长线于D
在Rt△ABD中，BD=√（AB²-AD²）=√（15²-12²）=9．
在Rt△AcD中，cD=√（Ac²-AD²）=√（13²-12²）=5
∴Bc=9-5=4
∴△ABc的周长为：
15+13+4=32
综上，当△ABc为锐角三角形时，△ABc的周长为42；
当△ABc为钝角三角形时，△ABc的周长为32．
3、在一个圆柱形灯罩侧面上缠绕彩带，如图（灯罩的俯视图），已知灯罩高108cm，底面周长为36cm，如果在灯罩侧面缠绕彩带4圈，最少需要彩纸多长？
那么绕n圈呢？
解：
（1）∵缠绕灯罩4圈，且高108cm
∴一圈高：
108÷4=27cm
∴一圈彩带长：
√27²+√36²=45cm
∴四圈彩带总长：
45×4=180cm
（2）∵绕n圈，且高108cm
∴一圈高：
108÷n（cm）
∴一圈彩带长：
√（108÷n）²+36²
∴彩带总长：
n×√（108÷n）²+36²=36×√n²+9
4、在正方形ABcD中，E是Bc中点，F为cD上一点，且DF=3cF，判断AE和EF的位置关系。
证：
连AF。
设DF=3x，cF=x
∴AD=AB=Dc=Bc=x+3x=4x
∴BE=Ec=2x
∵∠B=∠c=∠D=90°
∴AE²=（2x）2+（4x）2=20x²
EF²=x²+（2x）²=5x²
AF²=（3x）²+（4x）²=25²
∴AE²+EF²=AF²
∴AE⊥EF
5、如图，在△ABc中，∠B=90°，两直角边AB=7，Bc=24，在三角形内有一点P，使P到各边距离相等。
与Ac，cB，AB的交点为G，F，E。
则这个距离为＿＿＿。
解：
∵∠B=90°
∴Ac=√AB²+Bc²=√7²+24²=25
连cP，PA，BP，设GA=x，则EA=x
BE=7-x=EB，cF=cG=17+x
∴17+x+x=25
x=4
∴这个距离为7-4=3
6、在△ABc中，∠B=22.5°，∠c=60°，AB的垂直平分线交Bc于D，BD²=72，AE⊥Bc于E，求Ec²。
解：
∵AB的中垂线为FD
∴∠B=22.5°=∠BAD，∴∠ADc=45°，∴DE=EA
BD²=AD²=72，∵AE⊥Dc，∴AE²+DE²=72
∴AE²=DE²=36
∵∠c=60°，∴∠EAc=30°
设Ec²=x²，则Ac²=²=4x²
X²+36=4x²
X²=12
∴Ec²=12
7、正方形ABcD的边长为8，m在AB上，Bm=2，对角线Ac上有一动点P，求Pm+PB的最小值。
解：
连接mD。
做m关于Ac的对称点E交AD于E。
∵mB=2
∴ED=2
最小值为BE。
∵∠A=90°
∴BE=√（8-2）²+8²=10
∴Pm+PB最小值为10
8、一个梯子AB长2.5m，顶端A靠在墙Ac上。
这时梯子下端B与墙角c距离为1.5m，梯子向右水平滑动0.5m停在DE位置上，求梯子顶端A向下滑动了多少米？
解∵∠c=90°，
∴AB²=Ac²+Bc²，DE²=Ec²+cD²
∴2.5²=Ac²+1.5²，2.5²=Ec²+（1.5+0.5）²，
∴Ac=2m，Ec=1.5m，
∴AE=Ac-Ec=2-1.5=0.5（m），
9、将一根长24cm的筷子置于底面直径5cm，高12cm的圆柱形水杯中。
设筷子露在杯子外的长度为h（cm），则h的取值范围是＿＿＿。
解：
当筷子与杯底垂直时h最大，h最大=24-12=12cm．
当筷子与杯底及杯高构成直角三角形时h最小，此时，杯内筷子长=√5²+12²=13cm
∴h=24-13=11cm．
∴h的取值范围是11cm≤h≤12cm
0、一张矩形纸片ABcD的长AD=9cm，宽AB=3cm，折叠后，使得点D与点B重合，c与G重合，求折叠后BE的长和折痕EF的长。
解：
∵折叠后D与B重合
∴ED=BE
cF=cG，AB=Dc=3cm
设Fc=x（cm），则BF=9-xcm，GF=x（cm）
∵∠A=∠B=∠c=∠D=∠G=90°
∴BF²=BG²+GF²
²=3²+x²
∴x=4
BF=9-4=5cm
又∠BEF=∠DEF=∠EFB
∴BE=BF=5cm
作FH⊥AD交AD于H，Fc=HD=3，EH=9-3-5=1cm
∵∠FHE=90°
∴EF=√1²+3²=√10（cm）
三、思考题
、
如图，△ABc为等腰三角形，c为直角顶点，D1，D2，D3......Dn-1是cB边上的n等分点，从c作AD1的垂线，分别交AD1，AD2，AD3........ADn-1AB于P1，P2，P3，......Pn-1,Pn点，连接PnDn-1，求证:
∠AD1c=∠BDn-1Pn。
2、如图,等边三角形ABc的边长a=25+12根号3,P是三角形ABc内的一点,若PA2+PB2=Pc2。
若Pc=5，求PA、PB的长。
3、如图大小两个半圆它们的直径在同一直线上弦AB与小半圆相切且与直径平行弦AB长12厘米图中阴影部分面积是多少？
4、已知P,Q均为质数，切满足5P2+3Q=59.则以P+3，1-P+Q，2P+Q-4为边长的三角形是什么三角形？
5、如图，△ABc中三条角平分线交于点o，已知AB＜Bc＜cA，求证：
oc＞oA＞oB。
6、将长为2n（n为自然数且n≥4）的一根铅丝折成各边的长均为整数的三角形，记（a，b，c）为三边长分别是a，b，c且满足a＜b＜c的一个三角形，就n=6的情况，分别写出所有满足题意的（a，b，c）所构成的三角形是什么三角形？
7、如图，RT△ABc中，D是Ac中点，DE⊥AB与E，求证：
BE2-AE2=Bc2
实数
一、思维导图
.无理数定义：
无限不循环小数
2.实数的分类：
分为有理数和无理数。
有理数分为：
正有理数、负有理数、零
3.算术平方根：
若一个正数x的平方等于a，即x²=a，则这个正数x为a的算术平方根。
a的算术平方根记作，读作“根号a”，a叫做被开方数。
规定：
0的算术平方根为0。
4.平方根：
如果一个数x的平方等于a，即x²=a，那么这个数x就叫做a的平方根。
5.二次根式的定义：
一般形如（a≥0）的代数式叫做二次根式，其中，a叫做被开方数，被开方数必须大于或等于0。
6.最简二次根式满足：
①.分母中不含根号=根号下没有分母=根号下没有分数
②．根号下不含可以开得尽方的数
7.同类二次根式：
几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，这几个二次根式叫做同类二次根式。
8.2=a =a
①二次根式的乘法法则：
×
两个二次根式相乘，把被开方数相乘，根指数不变．
②积的算术平方根的性质：
两个非负数的积的算术平方根，等于这两个因数的算术平方根的乘积．
③二次根式的除法法则：
=
两个二次根式相除，把被开方数相除，根指数不变．
④商的算术平方根的性质：
=
二、易错题
.已知：
y=x－+2，求－.
解：
∵x－2≥0,2－x≥0
∴x=2,y=×2－0+0=1
将x=2，y=1代入所求式，得
原式==3-3=0
2、下列说法：
①只有正数才有平方根；②－2是4的平方根；③5的平方根是；④±都是3的平方根；⑤的平方根是－2，其中正确的是（
）
A.①②③
B.③④⑤
c.③④
D.②④
解：
错误原因①：
0的平方根为0
③：
5的平方根为±
⑤：
的平方根是2（任何非负数的平方根为非负数）
故选D
3、若与互为相反数，求的值.
解：
∵≥0，≥0.
又∵、互为相反数
∴==0
即
a-b+2=0
b=
a+b-1=0
解得
a=-
代入原式，得
原式===-2
答：
所求式的值为-2
4、已知0
解：
原式可化为
∵01
∴x-<0
∴原式=x++x－=2x
5、先化简，再求值.－，其中x=4,y=27.
解：
原式=6
=-
6、已知，2m+1的平方根是±3，的算数平方根是2，求m+2n的平方根.
解：
由题意，得
2m+1=
=
解得，m=4，n=18
∴m+2n=40
故m+2n的平方根为.
7、使＋有意义的x的取值范围是（
）
A.x≥0
B.x≠2
c.x>2
D.x≥0且x≠2
解：
使有意义的x的取值范围是x≥0，
使有意义的x的取值范围是x-2≠0，x-2>0.
综上，使＋有意义的x的取值范围是x>2.
8、
已知，且，求x+y的值.
解：
∵≥0，≥0
又∵
∴=2，=1
又∵，即x-y≤0
∴或.
∴x+y=－1或2
9、
下列各式计算正确的是（
）
A、
B、
c、
D、（x>0，y≥0）
解：
错因：
A.应为
B.应为
c.应为
故选D
0、
是否存在正整数a、b（a
解：
存在.
，因为只有同类二次根式才能合并，所以
是同类二次根式.
设
所以m+n=6，又a，b，a
解得
=
即
=
可得.
三、思考题
.
设x、y为正有理数，，为无理数，求证：
+为无理数。
2.
设x，y及+为整数，证明：
，为整数。
3.
若实数x，y满足3+5︱y︱=7，求S=2-3︱y︱的取值范围。
4.
有下列三个命题：
（甲）
若a，b是不相等的无理数，则ab+a-b是无理数。
（乙）
若a，b是不相等的无理数，则是无理数。
（丙）
若a，b是不相等的无理数，则+是无理数。
其中正确命题的个数为（
）
（A）0
（B）1
（c）2
（D）3
5．2=
6．计算
7.计算
8.已知整数x，y满足，那么整数对（x，y）的个数是
9.已知a，b，c为正整数，且为有理数，证明：
为整数。
0.已知实数x，y满足（，求证：
x+y=0。
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