高教社杯全国大学生数学建模竞赛1303doc.docx
《高教社杯全国大学生数学建模竞赛1303doc.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高教社杯全国大学生数学建模竞赛1303doc.docx（25页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。
高教社杯全国大学生数学建模竞赛1303doc
2011高教社杯全国大学生数学建模竞赛
承诺书
仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则.
完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。
知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的,如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。
郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。
如有违反竞赛规则的行为，将受到严肃处理。
参赛选择的题号是（从A/B/C/D中选择一项填写）：
C
的参赛报名号为（如果赛区设置报名号的话）：
所属学校（请填写完整的全名）：
天津机电职业技术学院
参赛队员（打印并签名）：
1.金旭峰
2.刘平
3.范沙沙
指导教师或指导教师组负责人（打印并签名）：
日期：
2011年9月12日
赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：
2011高教社杯全国大学生数学建模竞赛
编号专用页
赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：
赛区评阅记录（可供赛区评阅时使用）：
评
阅
人
评
分
备
注
全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）：
全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）：
退休职工养老金制度的改革探讨
摘要
本文主要研究企业退休职工养老金制度的改革问题。
退休职工养老金有着重要的意义，用于保障职工退休后的基本生活需要。
首先，通过网上调查了解到近十年中国经济发展状况，对未来中国经济发展和工资增长形势做出了相关的假设;另一方面用二次多项式回归的方法，对2011年到2035年的山东省职工的年平均工资做出了预测,并用EXCEL的数据拟合功能对预测结果进行了优化改进。
然后，针对山东省某企业职工的月收入范围作了均值处理，并将其量化；用归一化的方法对职工人数做了分析计算，对职工工资采取加权求和的方法,计算出2009年该企业职工各年龄段职工工资的平均值；求出其与该企业平均工资的比值p。
把p看作未来职工缴费指数的参考值，通过对经济的增长率和职工工资的增长形势的合理分析，假设缴费指数p为一个定值，从而分别计算出各人指数化月平均缴费工资S，并列公式求得职工自2000年起从30岁开始缴养老保险，一直缴费到退休（55岁，60岁，65岁）的养老金替代率分别为0.28、0.34、0.6；从40岁开始缴养老保险，一直缴费到退休（55岁，60岁，65岁）的养老金替代率分别为0.17、0.22、0.23。
从30岁开始缴养老保险，一直缴费到退休（55岁，60岁，65岁）的养老保险基金缺口分别为249874.88、260247.35、310366.01元；达到养老保险基金的收支平衡时的职工年龄分别是63、67、71。
由于资金的投资收益和养老金自身的性质决定了维持养老保险基金收支平衡，而养老金的替代率本身也对养老保险基金的收支平衡起到非常大的作用，所以在考虑制定措施时，应该从延长职工退休年龄和提前缴纳养老金的年龄等几方面来考虑，综合制定出加大养老金的投资收益和适当提高企业给职工所缴纳的社会统筹基金账户的比例等措施。
本模型充分运用回归分析的方法，进行了改进与推广，该模型能运用到实际生活中在预测、控制、生产工艺优化等问题上均有广泛应用。
关键词：
养老金
二次多项式回归加权处理EXCEL
一、问题重述
我国企业职工基本养老保险实行“社会统筹”与“个人账户”相结合的养老保险基金模式，个人账户储存额以银行当时公布的一年期存款利率计息，为简单起见，利率统一设定为3%。
养老保险管理的一个重要的目标是养老保险基金的收支平衡。
影响养老保险基金收支平衡的一个重要因素是替代率。
替代率是指职工刚退休时的养老金占退休前工资的比例。
未来基本养老保险的目标替代率确定为58.5%.养老保险基金缺口是指当养老保险基金入不敷出时出现的收支之差。
由以上主要信息题中给出了四个问题，即
问题一：
对未来中国经济发展和工资增长的形势做出你认为是简化、合理的假设，并参考山东省职工历年平均工资统计表（详见附件1），预测从2011年至2035年的山东省职工的年平均工资。
问题二：
根据2009年山东省某企业各年龄段工资分布表（详见附件2）计算2009年该企业各年龄段职工工资与该企业平均工资之比。
另外，如果把这些比值看作职工缴费指数的参考值，考虑该企业职工自2000年起分别从30岁、40岁开始缴养老保险，一直缴费到退休（55岁，60岁，65岁），计算各种情况下的养老金替代率。
问题三：
假设该企业某职工自2000年起从30岁开始缴养老保险，一直缴费到退休（55岁，60岁，65岁），并从退休后一直领取养老金，至75岁死亡。
计算养老保险基金的缺口情况，并计算该职工领取养老金到多少岁时，其缴存的养老保险基金与其领取的养老金之间达到收支平衡。
问题四：
如果既要达到目标替代率，又要维持养老保险基金收支平衡，你认为可以采取什么措施。
并且给出你的理由。
二、模型假设
1、假设近几年我国经济的发展不受外界因素的影响，如：
战争、自然灾害、金融危机、人口以及国际因素等。
2、假设养老金缴费收入完全用于存活退休职工的养老金发放，不考虑养老保险基金用于管理方面的费用支出以及在职工的死亡时付给其家属的费用。
3、假设工资的增长与社会经济的增长密切相关。
4、假设职工平均的养老寿命是75岁。
三、符号说明
养老金
参保人员退休前
年本人的缴费工资额
参保人员退休前
年全国省市职工平均工资或社会平均工资
退休前第
年的缴费指数（
）
全省上年度在岗职工月平均工资
缴费年限
基础养老金
个人帐户养老金
本人指数化月平均工资
个人账户储蓄额
企业和职工实际缴纳基本养老保险费的月数合计
企业和职工实际缴纳基本养老保险费的年限
职工的年平均工资（
）
职工在退休前各年所得工资
退休前所缴费用
退休后至死亡前所领取养老金总费用
职工缴费年限
职工领取养老金的年限
达到收支平衡的年数
C
养老保险金缺口
四、问题分析
养老金的发放与职工在职时的工资及社会平均工资有着密切的联系，而工资的增长又与经济增长相关。
对于问题一，首先对我国经济发展出了合理的假设。
通过网上调查到近十年我国的国内生产总值，对其进行了分析，并且了解到近三十年来我国经济发展迅速，工资增长率也较高。
对我国经济发展和工资增长形势做出来合理的假设。
由于问题1是典型的预测问题，运用二次多项式回归模型对其进行了预测。
考虑到对预测值的精确性要求，对模型做了优化改进，用excel计算出了更加符合实际的职工年工资额。
对于问题二，首先用加权求和法计算出2009年该企业各年龄段职工工资，再算该企业职工的缴费指数，最后计算各种情况下的养老金替代率。
对于问题三，主要考虑养老保险基金的缺口是如何出现的，缺口与什么有密切关系，并且职工缴存的养老保险基金与其领取的养老金之间有什么关系，怎样维持它们之间的平衡。
对于问题四，既要达到目标替代率，又要维持养老保险基金收支平衡，考虑它们之间的联系，分别从不同的角度去看待问题，有利于问题的解决。
五、模型的建立与求解
5.1问题一的求解
对我国经济发展做出合理假设
由于经济的发展与国内生产总值有关，结合近几年国内生产总值（见图1），先对未来中国的经济发展作了假设，即工资的增长率和经济的发展有密切关系，并且近几年我国经济的发展不受外界因素的影响，如：
战争、自然灾害、金融危机、人口和国际因素等。
图12001年到2011年国内生产总值
建立模型并求其预测函数以及具体图像
从具体情况来看，这是典型的预测型问题。
根据山东省职工历年平均工资统计表（见附表1）建立数学模型。
将年份做了简单化处理，分别对1978—2010年这33年用数字（1、2、3…32、33）表示，建立了二次多项式回归，运用
软件编写程序（见附表1）最后得出其回归方程为：
具体图像见图2：
图22000—2035年山东省职工平均工资图（单位：
元）
根据函数做出合理预测值
根据以上回归方程及图2预测出从2011年至2035年的山东省职工的年平均工资，见表1：
表12011—2035年的山东省职工的年平均工资（单位：
元）
年份
平均工资
年份
平均工资
年份
平均工资
2011
31593.9
2021
45189.4
2031
100555.9
2012
34118.6
2022
48200.1
2032
105024.6
2013
36740.5
2023
51308
2033
109590.5
2014
39459.6
2024
54513.1
2034
114253.6
2015
42275.9
2025
57815.4
2035
119013.9
2016
45189.4
2026
79670.4
2017
48200.1
2027
83653.1
2018
51308
2028
87733
2019
54513.1
2029
91910.1
2020
57815.4
2030
96184.4
模型的改进
鉴于对以上二次多项式进行的回归分析，发现预期的初期数值与实际的数据存在一定的误差，所以对这个问题存在的缺陷用各种不同的方法进行改进，最终发现运用EXCEL进行改进，虽然也同样存在一定范围内的误差，但是与前者相比较有一定的可取之处。
运用EXCEL对数据进行了处理，并将数据转化为图3，如下：
图32000—2035年山东省职工平均工资图
通过EXCEL对数据拟合得到方程为：
根据方程预测出2011—2035年的山东省职工的年平均工资，见表2：
表22011—2035年的山东省职工的年平均工资（单位：
元）
年份
平均工资
年份
平均工资
年份
平均工资
2011
37046.16
2021
95163.96
2031
184151.80
2012
41468.79
2022
102673.60
2032
194748.40
2013
46200.12
2023
110491.90
2033
205653.70
2014
51240.15
2024
118619.00
2034
216867.80
2015
56588.88
2025
127054.70
2035
228390.50
2016
62246.31
2026
135799.10
2017
68212.44
2027
144852.20
2018
74487.27
2028
154214.10
2019
81070.80
2029
163884.60
2020
87963.03
2030
173863.80
5.2问题二求解
求其月收入各年龄段人数占其年龄段总人数的比重
对于问题二的第一个小问题，通过对附表2各年龄段职工的月收入进行分析，发现月收入的不同段对计算该企业各年龄段职工工资会造成非常大的困难，所以对其做了简单的模型优化处理，即将月收入的每一段取其平均数作为月收入的具体数值，然后对每一年龄段的职工数做归一化处理，得结果表3：
表3归一化处理后各年龄段的职工人数比重表
比值
年龄段
月收入各年龄段人数占其年龄段总人数的比重
总人数
20—24岁职工数
74
165
26
16
1
0
282
比值
0.2624
0.5851
0.0922
0.0568
0.0035
0.0000
25—29岁职工数
36
82
94
42
6
3
263
比值
0.1369
0.3118
0.3575
0.1597
0.0228
0.0114
30—34岁职工数
0
32
83
94
42
6
257
比值
0.0000
0.1245
0.3230
0.3658
0.1634
0.0233
35—39岁职工数
0
11
74
83
36
16
220
比值
0.0000
0.0500
0.3364
0.377273
0.1637
0.0727
40—44岁职工数
0
0
43
86
55
21
205
比值
0.0000
0
0.2098
0.419512
0.2683
0.1024
45—49岁职工数
0
3
32
32
64
41
172
比值
0.0000
0.0174
0.1861
0.186047
0.3721
0.2384
50—59岁职工数
0
7
23
29
44
21
124
比值
0.0000
0.0565
0.1855
0.233871
0.3548
0.1694
60—69岁职工数
0
6
17
27
37
7
94
比值
0.0000
0.0638
0.1809
0.287234
0.3937
0.0745
求解各年龄段职工月收入平均值
通过运用
软件对职工每段月收入的具体数值与每一年龄段的职工数归一化后的值加权求和，即得每年龄段职工的月收入，得表4：
表4各年龄段职工月收入各段比值表（单位：
元）
比值
年龄段职工
月收入
平均值
1250
1750
2250
2750
3250
3750
20—24岁职工收入比值
0.2624
0.5851
0.0922
0.0567
0.0035
0．0000
1726.95
25—29岁职工收入比值
0.1369
0.3118
0.3574
0.1597
0.0228
0.0114
2077.00
30—34岁职工收入比值
0.0000
0.1245
0.3230
0.3658
0.1634
0.0233
2569.07
35—39岁职工收入比值
0.0000
0.0500
0.3364
0.3773
0.1636
0.0728
3473.87
40—44岁职工收入比值
0.0000
0.0000
0.2098
0.4195
0.2683
0.1024
2865.47
45—49岁职工收入比值
0.0000
0.0174
0.1860
0.1860
0.3721
0.2384
3063.96
50—59岁职工收入比值
0.0000
0.0565
0.1855
0.2339
0.3549
0.1694
2947.59
60—69岁职工收入比值
0.0000
0.06383
0.1809
0.2872
0.3936
0.0745
2867.02
求该企业各年龄段职工工资与该企业平均工资的比值
将表4中的月收入平均值与该企业2009年的职工月收入值作比，得出该企业各年龄段职工工资与该企业平均工资的比值，见表5：
表5该企业各年龄段职工工资与该企业平均工资的比值（单位：
元）
年龄段
工资
2009年月平均工资
缴费指数
20—24岁职工
1726.9
2474
0.697655618
25—29岁职工
2070.1
2474
0.836742118
30—34岁职工
2569.1
2474
1.038439774
35—39岁职工
2686.4
2474
1.08585287
40—44岁职工
2881.7
2474
1.164793856
45—49岁职工
3064.1
2474
1.238520614
50—59岁职工
2947.6
2474
1.191430881
60—69岁职工
2867.1
2474
1.158892482
养老金替代率的计算方法
养老金替代率=职工刚退休时的养老金\职工退休前工资
养老金=基础养老金+个人账户养老金
个人账户养老金=个人账户储存额÷计发月数（见附件三中的表1）
基础养老金=（全省上年度在岗职工月平均工资+本人指数化月平均缴费工资）÷2×缴费年限×1%
本人指数化月平均缴费工资=全省上年度在岗职工月平均工资×本人平均缴费指数。
称为退休前第i年的缴费指数（i=1,2…
-1,
）即p值，见表4.
模型的优化假设以及计算式的形成
假设工资的增长率和经济的发展率是线性关系，所以每年度职工的缴费指数为一定值，又结合表五该企业2009年各年龄段职工工资与该企业平均工资的比值做出了如下假设，即把表五的企业各年龄段职工工资与该企业平均工资的比值看作未来职工缴费指数的参考值，所以将职工的缴费指数S做了简化，得：
S=
p
进而得：
A=
+
=
j
=（
+S）
2
y
1%
=8%
+8%
+……+8%
1+3%）
S=
A=
+（
+
）
2
1%
统计不同年龄段退休职工养老金
由此根据上述公式以及运用
软件和
计算出职工自2000年起分别从30岁、40岁开始交养老保险到退休时所领取的每月基础养老金、每月个人账户养老金（附录2：
各缴费段职工的个人账户储存额；附录3：
个人账户储存额的EXCEL计算示例表格）和每月总养老金的统计表，即表6：
表6不同年龄段退休职工养老金统计表（单位：
元）
职工缴费年龄段
每月基础养老金
每月个人账户养老金
养老金
30—55岁
1643.50
47.69
1691.19
30—60岁
2480.30
120.50
2600.8
30—65岁
5652.65
167.87
5820.52
40—55岁
540.46
14.26
554.71
40—60岁
980.73
32.04
1012.78
40—65岁
1283.33
73.18
1356.51
求退休职工的养老金替代率
最后通过查表二的2011~2035年的山东省职工的年平均工资表，根据“养老金替代率=职工刚退休时的每月所得养老金/职工退休前月工资”计算出退休职工的养老金替代率，见表7得：
表7退休职工的养老金替代率（单位:
元）
职工缴费年龄段
每月养老金
退休前的年工资
替代率
30—55岁
1691.19
71996.6
0.28
30—60岁
2600.8
91910.1
0.34
30—65岁
5820.52
114253.6
0.61
40—55岁
554.71
39459.6
0.17
40—60岁
1012.78
54513.1
0.22
40—65岁
1356.51
71996.6
0.23
又因为按照国家对基本养老保险制度的总体思路，未来基本养老保险的目标替代率确定为58.5%,即养老金的替代率最大值不应该超过58.5%,以上除了30—65岁的职工外，各个年龄段职工的养老金替代率均满足要求，考虑到30—65岁的职工所缴的养老费用年数最多，故而0.61的替代率也算满足要求。
5.3问题三的求解
计算养老保险金的缺口
据题意得：
我国企业职工基本养老保险实行“社会统筹”与“个人账户”相结合的模式，即企业把职工工资总额按一定比例（20%）缴纳到社会统筹基金账户，再把职工个人工资按一定比例（8%）缴纳到个人账户。
这两个账户合称为养老保险基金。
期间在退休后和死亡前的这段时期内，银行还有存款利率，但是利率非常小，而且所求的职工年龄是以年来计算的，精确度又不是很高，所以忽略利率对所求的达到收支平衡时职工的年龄的影响。
根据退休后每个月的养老金可以计算出职工退休后所领取到的总退休金，将两者作差，可以计算出养老保险金的缺口情况（所谓缺口，是指当养老保险基金入不敷出时出现的收支之差）。
其计算两者公式如下：
B=20%f
+
D=12A
C=D-B
根据上述计算公式得表8，即为养老保险金的缺口情况表。
表8养老保险金的缺口情况（单位：
元）
年龄段
退休前
所缴费用
缴费
年限
退休后领取费用
每月领取费用
领取
年限
养老保险金
缺口
30—55岁
156010.72
25
405885.60
1691.19
20
249874.88
30—60岁
207896.65
30
468144.00
2600.8
15
260247.35
30—65岁
388096.39
35
698462.40
5820.52
10
310366.01
求解达到收支平衡所用时间
要想使所缴的养老保险基金与其领取的养老金之间达到收支平衡，需要考虑退休前所缴总费用和退休后每月领取费用，并且还要考虑到职工在退休后到死亡的这段时期内，他的养老金总缴费用在这期间还有利息（统一为3%），利用其平衡公式（B=A
N）算得到的达到收支平衡的时间偏小，不过在算收支平衡时间的时候，凡是整数后有小数的时间数统一取成偏大的整数，用来抵消利息在其中的作用，减小误差，经计算得表9，如下：
表9达到收支平衡所用时间表（单位：
元）
年龄段
退休前所缴费用
退休后每月领取费用
领取年限
达到收支平衡的时间
30—55岁
156010.719764
1691.19
20
8
30—60岁
207896.65
2498.15
15
7
30—65岁
388096.39
5820.52
10
6
计算职工养老金达到收支平衡的职工年龄
根据职工开始缴纳养老保险金的年龄和时间，并且结合达到收支平衡的时间，得出职工在其缴存的养老保险基金与其领取的养老金之间达到收支平衡时的年龄，见表10：
表10养老金达到收支平衡时职工的年龄
职工年龄段
达到收支平衡时职工的年龄
30-55
63
30-60
67
30-65
71
5.4对问题四的求解
替代率对养老保险的收支平衡有影响，但是养老保险收支平衡还受两个方面影响，第一，资金的投资收益太低，导致了资金升值速度慢，支出速度快，第二，收入本身就小于支出。
所以应该从这两方面来考虑既要达到目标替代率，又要维持养老保险基金收支平衡的措施。
（1）从表10可以看出，职工年龄段越大，达到收支平衡时职工的年龄也越大，越靠近假设的职工平均寿命，故而容易维持养老保险基金收支平衡，所以应该从两方面来考虑。
一方面，应该延长职工退休年龄;另一方面,将缴纳养老金的年龄提前。
（2）加大养老金的投资收益，缩小养老基金的收入与支出的差距，也能减缓维持养老保险基金的压力。
（3）适当提
升级会员 