求值域的常用方法.docx

求值域的常用方法.docx

《求值域的常用方法.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《求值域的常用方法.docx（20页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。

求值域的常用方法

求函数值域（最值）的方法

函数是中学数学的一个重点，而函数值域（最值）的求解方法更是一个常考点，对于如何求函数的值域，是学生感到头痛的问题，它所涉及到的知识面广，方法灵活多样，在高考中经常出现，占有一定的地位，因此能熟练掌握其值域（最值）求法就显得十分的重要，求解过程中若方法运用适当，就能起到简化运算过程，避繁就简，事半功倍的作用。

本文旨在通过对典型例题的讲解来归纳函数值域（最值）的求法，希望对大家有所帮助。

一、值域的概念和常见函数的值域

函数的值域取决于定义域和对应法则，不论采用什么方法球函数的值域均应考虑其定义域.

常见函数的值域：

一次函数y=kx+b（k^O）的值域为R.

二次函数〉，=尼+加+c（gO）,当°>0时的值域为气^pj,当*0

时的值域为色二绡.，

I4a

反比例函数y=-（k^0）的值域为{>'eR\y丰0}.

A

指数函数y=/（a>0且°H1）的值域为{y\y>0}.

对数函数y=log,x{a>0且aH1）的值域为R.

正，余弦函数的值域为正，余切函数的值域为R.

二、求函数值域（最值）的常用方法

适用类型：

根据函数图象.性质能较容易得岀值域（最值）的简单函数

例1、求函数y=丿一的值域

f+1

解：

x24-l>l,.\0<-J—<1显然函数的值域是：

（0,1]

x2+l」

例2、求函数y=2-77的值域。

解：

•••\/x>0/.—yfx<02—Vx<2

故函数的值域是：

[4,2]

2、配方法

适用类型：

二次函数或可化为二次函数的复合函数的题型。

配方法是求二次函数值域最基本的方法之一。

对于形如

y=cix1+/x+c（aH0）或F（x）=a[/（x）丁+妙（x）+c（aH0）类的函数的值域问

题，均可用配方法求解.

例3、求函数y=x2-2x+5,xe[-l,2]的值域。

解：

将函数配方得：

y=（x-1）2+4,xe[-l,2],由二次函

数的性质可知：

当x=1时，=4

当x=-1,时ymax=8

故函数的值域是：

[4,8]

例4、求函数的值域：

y=7-x2-6x-5

解：

设//=-x2-6x-5（//>0）,则原函数可化为：

y=B.又因为

//=-v2-6x-5=-（x+3）-+4<4,所以0S“S4,故，丽丘[0,2],所以，

=—x-5的值域为[0,2].

3、判别式法

适用类型：

分子.分母中含有二次项的函数类型，此函数经过变形后可以化为A（y），+3（y）x+C（y）=0的形式，再利用判别式加以判断。

例5、求函数的值域v=2<~A'+2

JT+X+1

解：

•./+x+l>0恒成立，二函数的定义域为R.

由>，=———得（y—2）卫+（y+l）x+y-2=0。

x~+x+\

1当y-2=0只卩y=2时，3x+0=0,.\x=0e7?

;

2当y-2^0即）V2时，vxe/?

时，方程（y-2）A：

2+（y+l）x+y-2=0恒有

实根..•.△=（y+l）2-4x（y-2）2>01分S5且yH2.

•••原函数的值域为[1,5].

例6、求函数y=x+Jx（2_x）的值域。

解：

两边平方整理得：

2x2-2（y+l）x+y2=0

（1）

vxeR,A=4（y+l）2-8y>0

解得：

1-V2

但此时的函数的定义域由x（2-x）>0,得：

0

由△?

（）,仅保证关于x的方程：

2x2-2（y+l）x+y2=0在实数集R有实根，而不能确保其实根在区间[0,2]上，即不能确保方程

（1）有实根,由△»（）求出的范围可能比y的实际范围大，故不能确定此函数的值域为[*,|]o可以采取如下方法进一步确定原函数的值域。

•・・00,

二儿in=°，y=l+>/2代入方程

（1）,解得：

X严-\-G[0,2],即

当x严土斗至时，原函数的值域为：

[0,1+血]。

注：

由判别式法来判断函数的值域时，若原函数的定义域不是实数集时,应综合函数的定义域，将扩大的部分剔除。

4、反函数法

适用类型：

分子.分母只含有一次项的函数（即有理分式一次型）,也可用于其它易反解出自变量的函数类型。

例7、求函数土的值域。

X+1

分析与解：

由于木题中分子、分母均只含有自变量的一次型，易反解出X,从而便于求出反函数。

y=—反解得x=宀即）匸宀

x+12-y2-x

知识回顾：

反函数的定义域即是原函数的值域。

故函数的值域为：

）0-8,2）U（2,+s）。

5、函数有界性法

直接求函数的值域困难时，可以利用己学过函数的有界性，反客为主来确定函数的值域。

适用类型:

一般用于三角函数型，即利用sinxe[-l,l],cosxc[-l,l]等。

例8、求函数y==的值域。

e+1

解：

由原函数式可得：

”=出

）」1

”>0,,2±1>0

y-i

解得：

-l

故所求函数的值域为（-1,1）.

例9、求函数y=且一的值域。

sinx-3

解：

由原函数式可得：

ysinx-cosx=3y

可化为：

yjy2+1sinx（x+卩）=3y

即sinx（x+p）=，‘'

+1

VxeR,Asinx（x+p）e［-i,1］。

B|J-1<^==<1

解W：

-#

4444

6、函数单调性法

适用类型：

一般能用于求复合函数的值域或最值。

（原理：

同增异减）

例10、求函数y=log|（4x-a-2）的值域。

分析与解：

由于函数本身是由一个对数函数（外层函数）和二次函数（内层函数）复合而成，故可令：

/（x）=-x2+4x（/（x）>0）配方得：

f（x）=-（x-2）2+4JWW/（x）e（0,4）由复合函数的单调性（同增异减）知：

ye［一2,+s）o

例11、求函数y二2“+log（J口（2

函数。

所以y=yi+儿在［2,10］上是增函数。

"iX=2时，ymin=2_-+log5y/2-\当X=10时'}'max=2'+log「Q=33。

故所求函数的值域为：

［1,33］。

8

例12、求函数y=厶+1-厶-1的值域。

解：

原函数可化为：

尸,_-,—

y/X+1+Jx-l

令yi=Jx+l,y2=厶-1，显然力，在［1，+°°）上为无上界的增函数，所以y=yi+y2在［1,+oo）上也为无上界的增函数。

所以当x=1时，y=y14-y2有最小值"，原函数有最大值专=凤

显然y>0,故原函数的值域为（0,V2］o

7、换元法

通过简单的换元把一个函数变为简单函数，其题型特征是函数解析式含有根式或三角函数公式模型。

换元法是数学方法中几种最主要方法之一，在求函数的值域中同样发挥作用。

适用类型:

无理函数、三角函数（用三角代换）等。

例13、求函数y=x+V7刁■的值域。

解：

令x-l=t,（t>0）贝ljx=r+1

Vy=/2+t+l=（/+|）2+|,又CO,由二次函数的性质可知当t=O时，ymin=1,当t—0时，y一+8。

故函数的值域为[1,+8）。

例14、求函数y=x+2+Jl-（x+l）2的值域

解：

因1-（a+1）2>0,即（%+1）2<1

故可令x+l=cos卩，pe[0,ni。

・°・y=cosP+1+Vi-cos2B=sinP+cosP+1

=v,f2sin（B+H/4）+1

VO

••…罕Ssin（卩+口/4）SI

0

故所求函数的值域为[0,l+v，f2]o

例15、求函数宁的值域

x+2,x+1

解：

原函数可变形为：

21+x・1+f

可令x=tgp,则有丄n=sin2[3,匕厶=cos2（3

\+x~\+x~

・*.y=-^siii2pxcos2P=-丄siii4p

当戸kn/2-n/sw,ymax=io

4

当卩二kH/2+H/8时，ymin=冷

而此时tg卩有意义。

故所求函数的值域为卜丄，丄]。

44

例16、求函数y=（sinx+l）（cosx+1）,xW卜H/12JJ/2]的值域。

解：

y=（sinx+l）（cosx+1）=sinxcosx+sinx+cosx+1令sinx+cosx=t,贝ijsinxcosx=-（r-1）

2

y=-（r-1）+t+l=-（r+1）2

22

由t=sinx+cosx=V2sin（x+]J/4）且xW[-IJ/12,[J/2]可得：

^

2

•:

当（=4时’ymax=|"+血’当t=¥时’y=”¥故所求函数的值域为（1+4，”血]。

例17、求函数y=x+4+J5-F的值域

解：

由5-x>0,可得丨x|<75

故可令x=v/5cosp,[0,fl]

y=、,Scosp+4+、你sin卩=佰sin（0+口/4）+4

•/o

当（3=H/4时，）仏=4+、而，当卩时，『圖=4"o故所求函数的值域为:

[4-^5,4+Vio]o

8数形结合法

其题型是函数解析式具有明显的某种几何意义，如两点的距离公

式直线斜率等等，这类题目若运用数形结合法，往往会更加简单，一目

了然，赏心悦目。

适用类型:

函数本身可和其几何意义相联系的函数类型.

例18、求函数y=J（x—2）'+\心+8）‘的值域。

解：

原函数可化简得：

y=Ix-2|+|x+8I

BF.A、

-802

上式可以看成数轴上点P（x）到定点A

（2）,B（-8）间的距离之和。

由上图可知：

当点P在线段AB±时，

y=Ix-2|+Ix+8I=IABI=10

当点P在线段AB的延长线或反向延长线上时，

y=Ix-2|+Ix+8|>|AB|=10

故所求函数的值域为：

［10,+8）

例19、求函数-6x+13+Jf+4x+5的值域

解：

原函数可变形为：

y=J（x—3），+（0—2）'+\l（x+2$+（0+1）'

上式可看成x轴上的点P（x,0）到两定点A（3,2）,B（-2,-1）的

距离之和，

由图可知当点P为线段与x轴的交点时，

ym.„=IabI=J（3+2）'+（2+1）'=局,故所求函数的值域为[屈，+8）。

例20、求函数y=j£-6X+13-Jf+4x+5的值域

到点P（x,0）的距离之差。

BP：

y=|AP|-IBP|

由图可知：

（1）当点P在x轴上且不是直线AB与x轴的交点时，如点

P】，则构成AABPi,根据三角形两边之差小于第三边，

有丨丨API|-|BPI丨丨<丨AB丨=J（3+2）'+（2—1）'=726B[J：

-V26

（2）当点P恰好为直线AB与x轴的交点时，有

IIAP|-IBPI|=IAB|=V26o

综上所述，可知函数的值域为：

（-届，-V26]o

注：

由例17,18可知，求两距离之和时，要将函数式变形，

使A,B两点在x轴的两侧，而求两距离之差时，则要使两点A,B

在x轴的同侧。

如：

例17的A,B两点坐标分别为：

（3,2）,（・2,・1）,在x

轴的同侧;

例18的A,B两点坐标分别为：

（3,2）,（2,-1）,在x轴的同侧。

例21、求函数>，=上沁的值域.

2-cosx

分析与解:

看到该函数的形式,我们可联想到直线中己知廊点求直线的斜率的公式“gi,将原函数视为定点（2,3倒动点（cosx,sinx）的斜率，又

“2一K

知动点（cosx,smx）满足单位圆的方程，从而问题就转化为求点（2,3）到单位圆连线的斜率问题，作出图形观察易得的最值在直线和圆上点的连线和圆相切时取得，从而解得：

“[匕芈,竺遇]

9、不等式法

适用类型：

能利用几个重要不等式及推论来求得最值。

（如：

a2+b2>2ab,a+b>2y[ab）

其题型特征解析式是和式时要求积为定值，解析式是积时要求和为定

值，不过有时须要用到拆项、添项和两边平方等技巧。

例22、求函y=（sinx+l/sinx）+（cosx+1/cosx）的值域

解：

原函数变形为：

y分乍

y=（sirir+cos、）+1/sin'A+1/cos~x

分，27

=1+csc'+secx^+tg~x+ctg~x

23^tgxctg2x+2=5

当且仅当tgx=ctgx,即当x=kH±[]/4时（kez）,等号成立。

例23、求函数y=2sinxsin2x的值域

解：

y=2sinxsinxcosx=4sin2vC0SX

24，

y=16sinxcos

=8sin2xsinx（2_2sin'x）

-8（sin'x+sifx+2-sii?

x）

=8[（sirfx+sirf'+2-sin'x）⑶

=64

~27

当且当sin2A=2-2sin\,即当Sin\=时，等号成立。

故原函数的值域为：

［半，罟）。

例24、当x>0时，求函数/（x）=8x+4的最值，并指出/（X）取最值时x的

值。

分析与解：

因为/（x）=8x+—=4x+4x+丄可利用不等式a+h+c>3\[abcB|J:

f（x）>3*4x・4x・Z所以f{x）>12当且仅当4x=4即x=1时取当x=1时VX-JC

/（X）取得最小值12o

例25、双曲线4-4=1的离心率为©，双曲线4-^=1的离心率为6,a~b~b~a~

则ex+e2的最小值是（）o

A2>/2B4C2D

V2

分析与解：

根据双曲线的离心率公式易得：

5+“乂土+斗兰，ab

我们知道x+y>2历所以勺+Q（当且仅当=丈卫

■Vabab

时取"=”）而a2+h2>2ab故»2血（当且仅当d=〃时取“="）所以（勺+e2）mia=2^2。

10、导数法

设函数芦⑴在［诃上连续，在（"）上可导，则才⑴在［仏列上的最大值和最小值为/（x）在仏。

）内的各极值与/（«）,/（b）中的最大值与最小值。

要求三次及三次以上的函数的最值，以及利用其他方法很难求的函数似的最值，通常都用该方法。

导数法往往就是最简便的方法,应该引起足够重视。

例26、求函数/（x）=?

-3x2+6x-2,xg［-1,1］的最大值和最小值。

解：

广（x）=3/-6x+6,令广（x）=0,方程无解.

v/,（x）=3x2-6x+6=3（x-1）2+3>0/.函数/⑴在xg［-1,1］上是增函数.

故当*-1时，九⑴=/（-1）=-12,当"1时,D=f（l）=2例27、求函数f（x）=—的最值.

疋+2x+2

解析：

函数/（Q是定义在一个开区间（-O+S）上的可导函数，

得/（对的唯一驻点x=-l即为最点.

XV-1时，广（x）>0,函数递增，

xv-l时，广（x）vo,函数递减，

故/⑴有最大值/（-I）=1•

【说明】木函数是二次函数的复合函数，用配方法求最值也很简

便.

f（x）=U——<1，等号成立条件是X=-1.

（x+\y+\

注：

最值寻根的导数判定

若定义在一个开区间上的函数y=fM有导函数f\x）=sM存在，那么/（X）是否有最值的问题可转化为/（X）的导函数g（x）是否有最根的问题来研究：

（1）若导函数g（x）无根,即g（x）HO,则/（x）无最值；

（2）若导函数g（x）有唯一的根心，即八忑）=0,贝IJ/3有最值fM，此时，导函数广（X）的根心即是函数/（X）最根心

（3）若导函数g（x）有多个的根，则应从多个驻点中依次判定极点、最点的存在性.

11、多种方法综合运用

例28、求函数的值域

解：

令t=Vx+2（t>0）,贝ijx+3=r2+l

（1）当t>0时，=丄，当且仅当匸1,即x=l时取等号厂+1r+1/f2

所以0

（2）当t=0时，y=0。

综上所述，函数的值域为：

［0,［］。

2

注：

先换元，后用不等式法。

例29、求函数y=L的值域。

1+2工+兀

W：

尸上仝；+亠匚=（匕£）+亠

1+2兀+兀1+2X+X1+v21+无

〃22

令x=tg亍贝ij（—）=COS0，=—sin/7,

2i+/r2

212J

y=COS^/?

+ySinsjn^+亍Sin0+1

2

=-（sin0-》+恬

・••当sin0=］时，ymax=|—。

当sin/7=-1时，ymin=-2。

416

此时tg£都存在，故函数的值域为：

［一2,卩］。

216

注：

此题先用换元法。

后用配方法，然后再运用sin0的有界性。

总之，在具体求某个函数的值域时，首先要仔细、认真观察其题型特征，然后再选择恰当的方法，一般优先考虑直接法，函数单调性法和基本不等式法，然后才考虑用其他各种特殊方法。

学生巩固练习

1函数y**丄（疋一片）的值域是（）

A（-s,-f］B［—£+s）C［半,+8）D（—0—扌迈］

2函数y=x+Vmi的值域是（）

A（—8,1]B（—8,—1]CRD[1、+Q）

3—批货物随17列货车从A市以V千米/小时匀速直达3市，己知

两地铁路线长400千米，为了安全，两列货车间距离不得小于（箱尸千米，那么这批物资全部运到B市，最快需要小时（不计货车的车身

长）

4设X]、也为方程4工一4九丫+加+2=0的两个实根，当m-

时，xi2+%22有最小值

5某企业生产一种产品时，固定成本为5000元，而每生产100台产品时直接消耗成本要增加2500元，市场对此商品年需求量为500台，销售的收入函数为万元）（0工5）,其中x是产品售出的数量（单位百台）

（1）把利润表示为年产量的函数；

（2）年产量多少时，企业所得的利润最大？

（3）年产量多少时，企业才不亏本？

6己知函数f（x）=\g[（a2—1）工+（“+1）x+1]

⑴若冷）的定义域为（一8,+8）,求实数“的取值范围；

（2）若.心）的值域为（一8,+oo）,求实数a的取值范围

7某家电生产企业根据市场调查分析，决定调整产品生产方案，准备每周（按120个工时计算）生产空调器、彩电、冰箱共360台，且冰箱至少生产60台己知生产家电产品每台所需工时和每台产值如下表

家电名称

空调器

彩电

冰箱

工时

1

2

1

3

1

4

产值（千元）

4

3

2

问每周应生产空调器、彩电、冰箱各多少台，才能使产值最高？

最高产值是多少？

（以千元为单位）

8在RtAABC中，ZC=90°,以斜边AB所在直线为轴将ZVIBC旋转一周生成两个圆锥，设这两个圆锥的侧面积之积为S|,AABC的内切圆面积为S2,记竺仝力

AB

⑴求函数.心）=寻的解析式并求./W的定义域

（2）求函数.心）的最小值

参考答案

1解析°・•加1=工在（一8,—秒）上是减函数，〃辺=丄在（一°°,—£）上

2x2

是减函数，.•・）‘=工+丄在%e（—00,—*）上为减函数，

•X厶

.•・〉=工+丄（疋一£）的值域为[一+8）

x24

答案B

2解析令Ji-2x=/（r>0）,则x=匕二

Vy=i—!

-+r=—-（r—1）2+1<1

丿22

・••值域为（一8,1]

答案A

3解析^=^+16x（—）2/V=—+—>2716=8

V20V400

F

答案8

4解析由韦达定理知/1+兀2=/"1兀2=竺空，

4

•*.X\2+X22=（Xi+X2）2~2x\X2=m2—1,1~"-=（/?

?

—I）2——,

2416

又xi,%2为实根，••./N0m<—1或w>2,

y=（/?

?

—I）2——在区间（一00,1）上是减函数，在［2,+8）上是增函数,

416

一1

}min——

答案

又抛物线y开口向上且以"匸土为对称轴故加=1时，

-11

2

（1）利润y是指生产数量x的产品售出后的总收入&对与其

总成本C（x）之差，由题意，当W5时，产品能全部售出，当x>5时,只能销售500台，所以

1.

4.75%一一x'—0.5（0

12-0.25j（x>l）

5x—丄工一（0.5+0.25x）（0

v_2）」］1,

（5x5-一x5"）-（0.5+0.25x）（x>5）

»2

（2）在0上5时，尸一丄工+475x-05,当x=-—=475（百台）

22d

时，ymax=1078125（万元），当x>5（百台）时,y<12~025x5=1075（万

元）,

所以当生产475台时，利润最大

x>5

12-0.25x>0

0

（3）要使企业不亏本，即要求1，,或-f+4.75x-0.5>0

12

解得5AC475-V2L5625-01（百台）或5

业年产量在10台到4800台之间时，企业不亏本

6解

（1）依题意（cr—1）x2+（a+1）x4-1>0对一切xWR恒成立，当

Cy//>1nV（i<—1

以一1和时，其充要条件是pr_1>07，，即f,

△=（a+1）-一4（（广-l）<0“：

或a<一1

.*.6/<—1或

3

又a=—1时，/（x）=0满足题意,a=\时不合题意

故a<—1或。

>为彳所求

（2）依题意只要匸@2—1）工+（“+小+1能取到（0,+oo）上的任何值，

I・

则/（X）的值域为R,故有严j>°,解得l03

=2x+l符合题意而0=—1时不.合题意，・・・1乞三为所求

7解设每周生产空调器、彩电、冰箱分别为x台、〉，台、z台，由

题意得

x+y+Z=360

-X+-Y