求值域的常用方法.docx

1、求值域的常用方法求函数值域（最值）的方法函数是中学数学的一个重点，而函数值域（最值）的求解方法更是一个 常考点，对于如何求函数的值域，是学生感到头痛的问题，它所涉及到的 知识面广，方法灵活多样，在高考中经常出现，占有一定的地位，因此 能熟练掌握其值域（最值）求法就显得十分的重要，求解过程中若方法运用 适当，就能起到简化运算过程，避繁就简，事半功倍的作用。本文旨在 通过对典型例题的讲解来归纳函数值域（最值）的求法，希望对大家有所帮 助。一、值域的概念和常见函数的值域函数的值域取决于定义域和对应法则，不论采用什么方法球函数的值 域均应考虑其定义域.常见函数的值域：一次函数y = kx+b（kO）的

2、值域为R.二次函数，=尼+加+c（gO）,当0时的值域为 气pj,当*0时的值域为色二绡.，I 4a反比例函数y = -（k0）的值域为 e Ry丰0.A指数函数y = / （a 0且 H1）的值域为yy 0.对数函数y = log, xa 0且a H1）的值域为R.正，余弦函数的值域为正，余切函数的值域为R.二、求函数值域（最值）的常用方法适用类型：根据函数图象.性质能较容易得岀值域(最值)的简单函数例1、求函数y =丿一的值域f + 1解：x24-ll,.0-J0 /. yfx 0 2 Vx0),则原函数可化为：y = B .又因为/ = -v2 -6x-5 = -(x + 3)- +44

3、 ,所以 0S“S4,故，丽丘0,2,所以，=x-5的值域为0,2.3、判别式法 适用类型：分子.分母中含有二次项的函数类型，此函数经过变形后可 以化为A(y)，+3(y)x + C(y) = 0的形式，再利用判别式加以判断。 例5、求函数的值域v=20恒成立，二函数的定义域为R.由，= 得(y 2)卫+(y + l)x+y-2 = 0 。x +x + 1当 y-2 = 0只卩 y = 2 时，3x+0 = 0,.x = 0e7?;2当 y-20 即)V2 时，vxe/?时，方程(y-2)A：2+(y + l)x+y-2 = 0 恒有实根.=(y + l)2-4x(y-2)2 0 1 分 S5

4、且 y H 2.原函数的值域为1,5.例6、求函数y=x+Jx(2_x)的值域。解：两边平方整理得：2x2-2 (y+l) x+y2=0 (1)vxeR, A=4 (y+l) 2-8y0解得：1-V2y0,得：0x2o由?(),仅保证关于x的方程：2x2-2 (y+l) x+y2=0在实数集R有 实根，而不能确保其实根在区间0, 2上，即不能确保方程(1)有实根, 由()求出的范围可能比y的实际范围大，故不能确定此函数的值域为 *, |o可以采取如下方法进一步确定原函数的值域。 0x0,二儿in=，y=l+/2 代入方程（1）,解得：X严- - G 0, 2,即当x严土斗至时，原函数的值域为：

5、0, 1 +血。注：由判别式法来判断函数的值域时，若原函数的定义域不是实数集时, 应综合函数的定义域，将扩大的部分剔除。4、反函数法适用类型：分子.分母只含有一次项的函数（即有理分式一次型）,也可用 于其它易反解出自变量的函数类型。例7、求函数土的值域。X+1分析与解：由于木题中分子、分母均只含有自变量的一次型，易反解出X, 从而便于求出反函数。y =反解得x =宀即）匸宀x + 1 2-y 2-x知识回顾：反函数的定义域即是原函数的值域。故函数的值域为：）0-8,2） U （2,+s）。5、函数有界性法直接求函数的值域困难时，可以利用己学过函数的有界性，反客为 主来确定函数的值域。适用类型:

6、一般用于三角函数型，即利用sinxe-l,l,cosxc-l,l等。 例8、求函数y =的值域。e +1解：由原函数式可得：”=出)1”0, , 210y-i解得：-lylo故所求函数的值域为(-1,1).例9、求函数y =且一的值域。 sinx-3解：由原函数式可得：ysinx-cosx=3y可化为：yjy2 +1 sinx (x+卩)=3y即 sinx (x+p)=，+1VxeR, Asinx (x+p) e-i, 1。B|J-1=1解W： -#y0)配方得： f(x) = -(x - 2)2 + 4JW W/(x) e (0,4)由复合函数的单调性(同增异减)知： y e 一2,+s)

7、o例 11、求函数 y 二 2“+log(J口 (2x0,故原函数的值域为（0 , V2o7、换元法通过简单的换元把一个函数变为简单函数，其题型特征是函数解析 式含有根式或三角函数公式模型。换元法是数学方法中几种最主要方法 之一，在求函数的值域中同样发挥作用。适用类型:无理函数、三角函数（用三角代换）等。例13、求函数y = x + V7刁的值域。解：令 x-l=t, (t0)贝lj x=r+ 1Vy=/2+t+l =(/ + |)2 + |,又CO,由二次函数的性质可知 当 t=O 时，ymin= 1,当 t 0 时，y 一+8。故函数的值域为1 , +8)。例14、求函数y =x+2+Jl

8、-(x + l)2的值域解：因 1-(a + 1)20 ,即(% + 1)21故可令 x+l=cos卩，pe 0 , ni。y=cosP+1 + Vi-cos2 B =sinP+cosP+1= v,f2 sin(B+H/ 4)+1VOPn 0 SB+H/4S5H/4 罕Ssin (卩+口/4) SI0 V2 sin(P+f/4) +11+V2 o故所求函数的值域为0, l + v，f2o例15、求函数宁的值域x + 2,x +1解：原函数可变形为：2 1 + x 1 + f可令 x=tgp,则有丄n=sin23,匕厶=cos2(3 + x + x*. y=-siii2px cos2P= -丄

9、siii4p当戸 kn/2-n/sw, ymax=io4当卩二 kH/2+H/8 时，ymin=冷而此时tg卩有意义。故所求函数的值域为卜丄，丄。4 4例 16、求函数 y= (sinx+l) (cosx+1), xW卜H/12JJ/2的值域。 解： y= (sinx+l) (cosx+1) =sinxcosx+sinx+cosx+1 令 sinx+cosx=t,贝ij sinxcosx=- ( r-1)2y = - (r-1) +t+l= - (r + 1)22 2由 t=sinx+cosx= V2 sin (x+J/4)且 xW- IJ/12, J/2 可得：t0 ,可得丨x | 75故可

10、令 x =v/5cosp, 0, fly=、,S cosp+4+、你 sin卩=佰 sin( 0+口/4) + 4/ o pn， n/4p+n/4 | AB | =10故所求函数的值域为：10, +8)例19、求函数-6x + 13 + Jf + 4x + 5的值域解：原函数可变形为：y= J(x3)，+ (02) + l(x+2$+(0+1)上式可看成x轴上的点P (x, 0)到两定点A (3, 2), B (-2 , -1 )的距离之和，由图可知当点P为线段与x轴的交点时，ym.= I ab I = J(3+2)+(2+1)=局, 故所求函数的值域为屈，+8)。例20、求函数y= j-6X

11、 + 13 -Jf + 4x + 5的值域到点P (x, 0)的距离之差。BP： y= | AP | - I BP |由图可知：(1)当点P在x轴上且不是直线AB与x轴的交点时，如点P】，则构成AABPi,根据三角形两边之差小于第三边，有丨丨 API | - | BPI 丨丨 丨 AB 丨=J(3+2) + (21)= 726 BJ： -V26y，=上沁的值域.2-cosx分析与解:看到该函数的形式,我们可联想到直线中己知廊点求直线的 斜率的公式“gi,将原函数视为定点(2,3倒动点(cosx,sinx)的斜率，又“2 一 K知动点(cosx,smx)满足单位圆的方程，从而问题就转化为求点(2

12、, 3)到单 位圆连线的斜率问题，作出图形观察易得的最值在直线和圆上点的连线和 圆相切时取得，从而解得：“匕芈,竺遇9、不等式法适用类型：能利用几个重要不等式及推论来求得最值。(如：a2 +b2 2ab,a + b 2yab )其题型特征解析式是和式时要求积为定值，解析式是积时要求和为定值，不过有时须要用到拆项、添项和两边平方等技巧。例 22、求函 y= (sinx +l/sinx) + (cosx+1/cosx)的值域解：原函数变形为：y 分 乍y=(siri r+cos、)+1/sinA+1/cosx分， 2 7=1+ csc+secx +tgx+ctgx23 tg xctg 2x +2

13、=5当且仅当tgx=ctgx,即当x=kH/4时(kez),等号成立。例23、求函数y=2sinxsin2x的值域解：y=2sinxsinxcosx=4sin2 vC0SX24 ，y =16sin xcos=8sin2xsin x (2_2sinx)-8( sinx+sifx+2- sii?x)=8( sirf x+sirf+2- sinx)=6427当且当sin2A=2-2sin,即当Sin=时，等号成立。故原函数的值域为：半，罟)。例24、当x0时，求函数/(x) = 8x + 4的最值，并指出/(X)取最值时x的值。分析与解：因为/(x) = 8x + = 4x + 4x +丄可利用不等

14、式a + h + c 3abc B|J:f(x) 3*4x4xZ所以fx) 12当且仅当4x = 4即x = 1时取当x = 1时 V X- JC/(X)取得最小值12o例25、双曲线4-4 = 1的离心率为，双曲线4- = 1的离心率为6, a b b a则ex +e2的最小值是()oA 2/2 B 4 C 2 DV2分析与解：根据双曲线的离心率公式易得：5+“乂土 +斗兰， a b我们知道x + y 2历所以勺+ Q (当且仅当=丈卫 V ab a b时取=”)而a2+h22ab故 2血(当且仅当d = 时取“=) 所以(勺 +e2)mia = 22。10、导数法设函数芦在诃上连续，在()

15、上可导，则才在仏列上的最大 值和最小值为/(x)在仏。)内的各极值与/(), /(b)中的最大值与最小值。要求三次及三次以上的函数的最值，以及利用其他方法很难求的函数 似的最值，通常都用该方法。导数法往往就是最简便的方法,应该引起足够 重视。例26、求函数/(x) = ?-3x2+6x-2,xg-1,1的最大值和最小值。解：广(x) = 3/-6x+6,令广(x) = 0,方程无解.v/,(x) = 3x2-6x+6 =3(x-1)2+30 /.函数/在xg-1,1上是增函数.故当*-1 时，九= /(-1) = -12,当1 时,D = f(l) = 2 例27、求函数f(x)= 的最值.疋

16、 +2x + 2解析：函数/(Q是定义在一个开区间(-O+S)上的可导函数，得/(对的唯一驻点x = -l即为最点.XV-1时，广(x)0,函数递增，xv-l时，广(x)vo,函数递减，故/有最大值/(-I) = 1 【说明】 木函数是二次函数的复合函数，用配方法求最值也很简便.f(x) = U0),贝ij x+3=r2 + l(1)当t0时，= 丄，当且仅当匸1,即x=l时取等号 厂+ 1 r + 1/f 2所以0y0）,则 x=匕二V y=i!-+r= - （r1）2+12716=8V 20 V 400F答案84解析由韦达定理知/1+兀2=/1兀2=竺空，4*.X2+X22=(Xi+X2)

17、22xX2=m2 1,1 - =(/? I)2 ,2 4 16又 xi,%2 为实根，./N0 m2,y=(/? I)2在区间(一00,1)上是减函数，在2, +8)上是增函数,416一 1min答案又抛物线y开口向上且以匸土为对称轴 故加=1时，-1 12(1)利润y是指生产数量x的产品售出后的总收入&对与其总成本C(x)之差，由题意，当W5时，产品能全部售出，当x5时, 只能销售500台，所以1 .4.75% 一 一 x 0.5(0 x l)5x 丄工一 (0.5 + 0.25x)(0 x 5) 2(2)在0上5时，尸一丄工+4 75x-0 5,当x=-=4 75(百台)2 2d时，yma

18、x=10 78125(万元)，当 x5(百台)时,y512-0.25x00x012解得5AC4 75-V2L5625 -0 1(百台)或50对一切xWR恒成立，当C y / 1 nV(i 07 ， ，即 f , = (a +1)- 一 4(广-l)0 “ ：或a 一1.*.6/ 1 或3又a=1时，/(x)=0满足题意,a=时不合题意故a为彳所求(2)依题意只要匸21)工+(“+小+1能取到(0, +oo)上的任何值，I则/(X)的值域为R,故有严j,解得lt/0 3=2x+l符合题意而0=1时不.合题意，1乞三为所求7解 设每周生产空调器、彩电、冰箱分别为x台、，台、z台，由题意得x+y+Z=360-X + -Y