高三 一轮复习 对数及对数函数 教案.docx

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高三一轮复习对数及对数函数教案

对数与对数函数

1．对数的定义

如果ax＝N（a>0且a≠1），那么数x叫做以a为底N的对数，记作x＝logaN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数．

2．对数的性质与运算及换底公式

（1）对数的性质（a>0且a≠1）：

①loga1＝0；②logaa＝1；③alogaN＝N.

（2）对数的换底公式

基本公式：

logab＝

（a，c均大于0且不等于1，b>0）．

（3）对数的运算法则：

如果a>0且a≠1，M>0，N>0，那么

①loga（M·N）＝logaM＋logaN，

②loga

＝logaM－logaN，

③logaMn＝nlogaM（n∈R）．

3．对数函数的图像与性质

a>1

0

图像

定义域

（0，＋∞）

值域

R

定点

过点（1,0）

单调性

在（0，＋∞）上是增函数

在（0，＋∞）上是减函数

函数值正负

当x>1时，y>0；

当0

当x>1时，y<0；

当00

4．反函数

指数函数y＝ax（a>0且a≠1）与对数函数y＝logax（a>0且a≠1）互为反函数，它们的图像关于直线y＝x对称．

1．在运算性质logaMn＝nlogaM中，易忽视M>0.

2．解决与对数函数有关的问题时易漏两点：

（1）函数的定义域；

（2）对数底数的取值范围．

[试一试]

1．（2013·苏中三市、连云港、淮安二调）“M>N”是“log2M>log2N”成立的____________条件（填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分又不必要”）．

2．（2014·常州期末）函数f（x）＝log2（4－x2）的值域为________．

1．对数值的大小比较的基本方法

（1）化同底后利用函数的单调性；

（2）作差或作商法；

（3）利用中间量（0或1）；（4）化同真数后利用图像比较．

2．明确对数函数图像的基本点

（1）当a>1时，对数函数的图像“上升”；

当0

（2）对数函数y＝logax（a>0，且a≠1）的图像过定点（1,0），且过点（a,1）

，函数图像只在第一、四象限．

[练一练]

1．函数y＝loga（3x－2）（a>0，a≠1）的图像经过定点A，则A点坐标是________．

2．（2013·全国卷Ⅱ改编）设a＝log32，b＝log52，c＝log23，则a，b，c的大小关系为________．

考点一

对数式的化简与求值

计算下列各题：

（1）lg

＋lg70－lg3－

；

（2）

lg

－

lg

＋lg

[类题通法]

对数运算的一般思路

（1）首先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后正用对数运算性质化简合并．

（2）将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的运算性质，转化为同底对数真数的积、商、幂的运算．

考点二

对数函数的图像及应用

[典例]　

（1）（2014·南通期末）如图，矩形ABCD的三个顶点A，B，C分别在函数y＝log

x，y＝x

，y＝

x的图像上，且矩形的边分别平行于两坐标轴．若点A的纵坐标为2，则点D的坐标为________．

（2）当0

时，4x

若本例

（2）变为：

若不等式（x－1）2

[类题通法]

应用对数型函数的图像可求解的问题

（1）对一些可通过平移、对称变换作出其图像的对数型函数，在求解其单调性（单调区间）、值域（最值）、零点时，常利用数形结合思想．

（2）一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图像问题，利用数形结合法求解．

[针对训练]

已知函数f（x）＝

若a，b，c互不相等，且f（a）＝f（b）＝f（c），则a＋b＋c的取值范围是________．

考点三

对数函数的性质及应用

[典例]　已知函数f（x）＝log4（ax2＋2x＋3）．

（1）若f

（1）＝1，求f（x）的单调区间；

（2）是否存在实数a，使f（x）的最小值为0？

若存在，求出a的值；若不存在，说明理由．

[类题通法]

求复合函数y＝f（g（x））的单调区间的步骤

（1）确定定义域；

（2）将复合函数分解成基本初等函数y＝f（u），u＝g（x）；

（3）分别确定这两个函数的单调区间；

（4）若这两个函数同增或同减，则y＝f（g（x））为增函数，若一增一减，则y＝f（g（x））为减函数，即“同增异减”．

[针对训练]

已知f（x）＝loga（ax－1）（a>0且a≠1）．

（1）求f（x）的定义域；

（2）判断函数f（x）的单调性．

[课堂练通考点]

1．（2014·深圳第一次调研）设f（x）为定义在R上的奇函数，当x>0时，f（x）＝log3（1＋x），则f（－2）＝________.

2．（2013·广东高考改编）函数y＝

的定义域是________．

3．（2013·苏北四市二调）已知函数f（x）＝alog2x－blog3x＋2，若f

＝4，则f（2014）的值为________．

4．设函数f（x）＝

则满足f（x）≤2的x的取值范围是________．

5．（2014·南京模拟）若log2a

<0，则a的取值范围是________．　

6．（2013·北京高考）函数f（x）＝

的值域为________．

[课下提升考能]

第Ⅰ组：

全员必做题

1．函数y＝

的定义域为________．

2．若函数y＝f（x）是函数y＝ax（a＞0，且a≠1）的反函数，且f

（2）＝1，则f（x）＝________.

3．（2013·全国卷Ⅱ改编）设a＝log36，b＝log510，c＝log714，则a，b，c的大小关系为________．

4．设函数f（x）＝

若f（m）

5．（2014·常州期末）设函数y＝f（x）在R内有定义，对于给定的正数k，定义函数fk（x）＝

若函数f（x）＝log3|x|，则当k＝

时，函数fk（x）的单调减区间为________．

6．计算：

（log29）·（log34）＝________.

7．函数y＝log

（x2－6x＋17）的值域是________．

8．设2a＝5b＝m，且

＋

＝2，则m＝________.

9．（2014·长春模拟）设f（x）＝loga（1＋x）＋loga（3－x）（a>0，a≠1），且f

（1）＝2.

（1）求a的值及f（x）的定义域．

（2）求f（x）在区间

上的最大值．

10．已知f（x）＝logax（a>0且a≠1），如果对于任意的x∈

都有|f（x）|≤1成立，试求a的取值范围．

第Ⅱ组：

重点选做题

1．（2013·徐州联考）函数y＝loga（x－1）＋1（a>0，且a≠1）的图像恒过定点A，若点A在一次函数y＝mx＋n的图像上，其中m，n>0，则

＋

的最小值为________．

2．（2014·无锡模拟）若f（x）＝lgx，g（x）＝f（|x|），则g（lgx）>g

（1），x的取值范围是________．