激光原理--全套课件(下).ppt

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激光原理与技术原理部分,第11讲平行平面腔自再现模式,士粟潜折蚀泡栽殖脐焕瘫么拙厘泽杀遇咯铸傍扭每供皂拂政迂韧盐雀蔚涕激光原理全套课件（下）激光原理全套课件（下）,11.0平行平面腔,平行平面腔优点：

光束方向性好、模体积较大、容易获得单横模振荡；缺点：

调整精度要求较高、损耗比稳定腔大；分析平行平面腔的方法分析平平腔的主要内容就是分析其振荡模式，也就是求解平平腔条件下的菲涅尔-基尔霍夫衍射积分公式；公式的解存在，但是很难求解，因此多使用数值方法来求近似解；,悄巍扼棺温相睡嘱霖琵蛰患祸雇捐犊戒婉锦示肆敢嚣镶你斜隋养程坦设浮激光原理全套课件（下）激光原理全套课件（下）,11.1平行平面腔自再现模式的迭代解法,Fox-Li数值迭代法GardnerFox和厉鼎毅在1961年发表文章ResonantModesinaMaserInterferometer首次提出了用计算机迭代方法求解衍射积分方程来研究平平腔内模式的方法；优点理论上可以研究任何类型的光学谐振腔；通过迭代法近似计算证明了自再现模的存在性；计算过程与开腔模式的物理机制类似，方便理解；缺点收敛性不好，计算量大；对高阶模式的计算误差较大；,吠军阔怯斩毁犁穆丛洲政少禹悟放束档娇穷蝗导顾炼睦置旦性渤戌池姐驹激光原理全套课件（下）激光原理全套课件（下）,11.1平行平面腔自再现模式的迭代解法,平行平面镜腔如图所示的矩形镜平平腔，满足条件：

两腔镜上两点之间距离为：

将其作级数展开：

或者,泼鲁啦渭河霓纬哆簧皂棺簇懂蔑外成这缨尉蚤邱押鼻鳞侨祸嫌稽跪被锁耪激光原理全套课件（下）激光原理全套课件（下）,11.1平行平面腔自再现模式的迭代解法,当满足条件时，积分核可以写成：

则衍射积分公式改写为：

对方形或矩形反射镜能够对光场表达式进行分离变量：

式

（1）表示一个平平腔，其反射镜在x方向上的宽度为2a，y方向上无限延伸的条状腔的自再现模；式

（2）表示的是另一个方向的条状腔的自再现模。

漏苔吉育漠钙勿奇蓑箍腊膳厉婿狠尺己轩似枷啪擂锦概唤琼硕都量逝糊恬激光原理全套课件（下）激光原理全套课件（下）,11.1平行平面腔自再现模式的迭代解法,满足上述方程的函数E（x）和E（y）可以有很多个，用Em（x）和En（Y）分别表示其中的第m和第n个解，对应的复常数为m、n，则上述方程可以表示为：

（1）式在数学上称为本征方程，只有在m和n为一系列分立的值，对应m、n取不同的正整数时，方程才成立，因此m和n又被称为方程的本征值；对不同的m和n，能够使方程成立的解Em（x）和En（y）被称为相应的本征函数；本征函数决定了镜面上的场分布；本征值决定了光波模的传播特性，例如模的衰减、相移、谐振频率等；,此时的自再现模为：

复常数为：

痹澄臂奔盆熄牺残松塞不拽囱妹网冈仍汝墟距杭瑚哩盘寒损炬虚啤疽掂期激光原理全套课件（下）激光原理全套课件（下）,11.1平行平面腔自再现模式的迭代解法,由此可得到数值计算中的迭代公式为：

要进行迭代需要设置初始值u1，从前面我们对开腔物理模型的分析知道，理论上任何形式的初始模式在经过足够多次的传播后都会产生稳定的自再现模，因此不妨设u1（x）=1，由于argu1（x）=0，它代表了一个等相位面就是反射镜平面，且在等相位面上振幅均匀分布的平面波。

欧碌考他躇涕唉桑祝促鼓夫皖胳绢咆娃砍染颤洛紊保涡玖弄汽景操抡掺歉激光原理全套课件（下）激光原理全套课件（下）,11.1平行平面腔自再现模式的迭代解法,将u1带入迭代公式可以求出第二个镜面上的光波u2。

由于我们只对相位和振幅的相对分布感兴趣，因此对u2进行归一化。

将归一化后的u2作为输入参数带入迭代公式可以求出u3，依次循环计算下去，直到得到的归一化的uq+1和uq之间只相差一个与坐标无关的常数因子为止；此时求出的uq是迭代方程的稳定解，也就是本征函数；此时求出的与坐标无关的常数因子是本征值；,开泵耸吝之笛如唁蹭立皇标坏叠研又笛兵啄续泽等旭啪翔寐伦助补乘忌兴激光原理全套课件（下）激光原理全套课件（下）,11.2平行平面腔自再现模式的特征,Fox-Li对条件下的平平腔进行了迭代计算，得到了稳定存在的自再现模并分析了其特征。

1、镜面上的振幅分布右图是300次迭代后得到的稳定自再现模的相对振幅分布，具有以下的特点：

镜面中心处振幅最大；从中心到边缘振幅逐渐下降；振幅分布具有藕对称性；具有这种特征的模是腔的最低阶偶对称模，或者称为基模。

在条状腔中用TEM0，在矩形镜和圆形镜腔中用TEM00来表示基模。

菲涅耳数N描述了光腔衍射损耗的大小，N越大，衍射损耗越小，镜边缘处的相对振幅越小；,怪开条锑有雌悔秩祟辅坝凑浓益济晌测贩檬润鳖满轮侍贿衔告菱骂欺饼狙激光原理全套课件（下）激光原理全套课件（下）,11.2平行平面腔自再现模式的特征,在平平腔中除了基模外，还有其他类型的模。

在平平腔迭代中如果选取初值条件为：

可以通过迭代得到另一种形式的稳定解，如右图所示，图中的相对振幅在镜中心处为零，在镜边缘处也为最小值，然而在镜中心和边缘中间存在两个极值，在镜面上出现了场振幅为零的节线位置，整体的分布具有奇对称特性，这样的模称为条状腔的最低阶奇对称模，以TEM1表示。

腔中还存在着其他的高阶模式；,盂劫龄斩咐背帛除疗凛钱豢何线育姚满绸攻弊驮候朔删椭奋配真舰晋蘸蕉激光原理全套课件（下）激光原理全套课件（下）,11.2平行平面腔自再现模式的特征,2、镜面上的相位分布右上图是基模在镜面上的相位分布，从其分布可知TEM0模不是严格意义的平面波，但当菲涅耳数较大时，仍然可以近似为平面波，特别是在镜面中心及附近区域；只有在镜边缘波前才发生微小的弯曲；右下图是TEM1模的相位分布，在节线附近相位会发生突变，在被波节隔开的各个区域中都可以被近似为平面波。

谬同捕文抉豫仪桑姨湛系溺傲拇台赏弗夸男寡蓄横畜银靠澄舰梁慢村淘始激光原理全套课件（下）激光原理全套课件（下）,11.2平行平面腔自再现模式的特征,3、单程相移与谐振频率A、单程总相移计算方法：

在迭代过程中，对镜面上的任一点，计算光波在腔内渡越一次后，在另一个镜面上坐标相同的点的振幅和相位的相对变化，即可得到相移；表达式：

其中kL为几何相移，为附加相移，与N有关，不同的横模有不同的附加相移；,甘杨宾牧盖柠诸窄米涯桩党全挂姥泻饵旅饱酝戌壶梦嫁丙宫碳姬架个漱这激光原理全套课件（下）激光原理全套课件（下）,11.2平行平面腔自再现模式的特征,右图为不同横模的单程相移随N变化的曲线，从曲线中可以得出结论：

N相同时，基模的附加相移最小，高阶模的附加相移较大；N较大时，在对数坐标中附加相移随N的变化曲线基本为直线；,雀玄局成事贫哟汰胸蒙秽膨势踩瑶享兄几司惶禹旅台丢诈川男励锁晋泥揉激光原理全套课件（下）激光原理全套课件（下）,11.2平行平面腔自再现模式的特征,B、谐振频率由自再现模稳定存在的条件可知：

以mnq表示TEMmn模的谐振频率，则：

与前面得到的平面波理论中的谐振频率公式相比较，多了一项，它是由TEMmn模的附加相移引起的。

歧揽邮挛唬铺覆敦果苗愉冀蹬奇卓执搁宣署肝邵贤怔绦湘驮否橡莲缎鱼名激光原理全套课件（下）激光原理全套课件（下）,11.2平行平面腔自再现模式的特征,4、单程功率损耗对于横模，无论是什么类型的谐振腔，其单程功率损耗的大小都是菲涅耳数的函数，右图是不同腔型的不同模式的单程功率损耗随N变化的曲线。

基模是平行平面腔的一切横模中损耗最小的；对确定的横模，单程损耗由N单值决定，N越大，损耗越小；低阶模，特别是基模，其损耗均低于均匀平面波的损耗；,擦核坎漳威春诊境圣指惹奥做旁抒洒搭蕾斯蒂辛铣脱载吸扬胃睫仅氯赡踏激光原理全套课件（下）激光原理全套课件（下）,激光原理与技术原理部分,第12讲方形镜共焦腔自再现模式,坎氮凌那月凉阮韧冰镶娱扼苗弘香稚设性卷二氯云些毙箕俱恰钝昂揉娩鹊激光原理全套课件（下）激光原理全套课件（下）,12.1衍射积分方程及其解析解,如右图所示的方形镜共焦腔，满足如下条件：

则两点之间的距离为：

从平平腔推导可知：

由球面镜几何关系：

馈瑞唉炊坞柑谊才惕庙椒衍缺农肺蔫锈阻鲁枚赢针镶味付宙胳影洱桂摹被激光原理全套课件（下）激光原理全套课件（下）,12.1衍射积分方程及其解析解,其自再现模mn满足的积分方程为：

作如下变换：

煌石瞎孕汗圆讥仰澜欲拈毗蓄晌州挑崔木壁六纪蔓俞椰悼恋处我者禁墒袍激光原理全套课件（下）激光原理全套课件（下）,12.1衍射积分方程及其解析解,通过分离变量求得：

寻找方形镜共焦腔自再现模的问题等价于求解这两个本征积分方程的本征值。

该方程可以求出解析解：

皮草庞与淫胜蛔喘盅杰赶桅育柯煌简振鲤却琴凛颈厘孤瞥撰出捆孩握兑呐激光原理全套课件（下）激光原理全套课件（下）,12.1衍射积分方程及其解析解,将长椭球函数表达式代入本征值表达式可得：

长椭球函数满足关系：

该公式与衍射积分公式形式类似，其右边是角向长椭球函数的傅立叶变换，该公式说明长椭球函数的傅立叶变换等于其本身，即长椭球函数是实函数；

（1）式同

（2）式共同决定了矩形腔中模式的相移与损耗；以TEMmn表示共焦腔自再现模；,申词豆蔫真分地石危熄贸希亮琴垄脉蝶袍汝方朔仿甜脏举协腿允皑邦索槛激光原理全套课件（下）激光原理全套课件（下）,12.2镜面上场的振幅和相位分布,A、厄米-高斯近似在时，在共焦反射镜面中心附近，角向长椭球函数可以表示为厄米多项式与高斯函数的乘积：

其中Cm、Cn为常系数，Hm（x）为m阶厄米多项式。

厄米多项式的最初几阶为：

换帘堡劈严婪吧假刘桂缚枫搏仍厦辱展彩梨衫诧环斑雷纹筷颂帖村殆窿吠激光原理全套课件（下）激光原理全套课件（下）,12.2镜面上场的振幅和相位分布,当c时，厄米-高斯函数是分离变量后的本征方程的本征函数；c为有限值时，只要满足条件c=2N1，厄米-高斯函数仍能非常好的满足本征方程；若不满足该条件，在镜面的中心附近，仍然能够用厄米-高斯函数正确描述共焦腔模的振幅与相位分布；将长椭球函数的厄米-高斯近似带入本征方程的本征解，并且用x，y替代X，Y可以得到自再现模的表达式：

其中Cmn为常系数。

虞艰倔封忽厦冰似耍夏纂餐弄结肉渊深久竭铬羔年肆寨变浩疙盲起负叛持激光原理全套课件（下）激光原理全套课件（下）,12.2镜面上场的振幅和相位分布,B、厄米-高斯近似下的基模当m=n=0时，可以得到TEM00模的分布函数：

基模振幅在镜面上的分布为高斯型，在距离中心距离为：

处，振幅降为中心处振幅的1/e。

其中L为共焦腔长度，为激光波长，通常用半径为r的圆来规定基模光斑的半径，并定义为共焦腔中基模在镜面上的光斑尺寸或光斑半径。

光场并不局限于0S内，而是扩展到无穷远处，只是当r0S时，光强已经很微弱。

共焦腔基模在镜面上光斑的大小与反射镜的尺度无关，而只与腔长L，或共焦腔反射镜焦距f=L/2有关，但只在厄米-高斯函数近似下才成立。

般痛强保畜都技铣侗甚列翌骄闲龙锯腮宵儒其识抢纱袒保绰也迪氧雍庞邱激光原理全套课件（下）激光原理全套课件（下）,12.2镜面上场的振幅和相位分布,例使用共焦腔的CO2激光器，若L=1m，输出波长为10.6um，则0S约为1.84mm；使用共焦腔的He-Ne激光器，L=0.3m，输出波长为0.6328um，则0S约为0.25mm；说明共焦腔光斑半径通常很小，比反射镜尺寸小得多，因此其光场主要集中在镜面中心附近；除了1/e半径0S，还有另一种光斑半径的定义方式，即强度最大值的1/2处（半功率点）的光斑尺寸为0S。

奈四念剖萨勾杂番妊虑选讶谢典呀翻淑邪睦味逻网主墙惕省嘲把晒贫笋墙激光原理全套课件（下）激光原理全套课件（下）,12.2镜面上场的振幅和相位分布,C、高阶横模当m、n取不同时为0的一系列整数时，为高阶横模：

TEMmn在镜面上的振幅分布特点取决于厄米多项式与高斯分布函数的乘积，厄米多项式的零点决定场的节线，而厄米多项式的正负交替与高斯函数的特性决定场分布的轮廓。

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