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半导体论文pn结的数值解
PN结的I-V特性的有限差分法的数值仿真
路小龙
（四川大学物理科学与技术学院微电子2012222020045）
摘要：
本文选取电注入条件下的非平衡PN结为研究对象。
从器件内部载流子和电场的分布情况以及状态和运动出发，依据器件的几何结构及杂质分布，在小注入条件，突变耗尽层条件，通过耗尽层的电子空穴电流为常量条件，波尔兹曼边界条件下建立严格的物理模型，并选取有限差分法进行运算得到器件的性能参数图。
通过这种方法能深刻理解器件内部的工作原理、能定量分析器件性能参数与设计参数之间的关系。
关键词：
PN结，内部电场，数值计算，有限差分法
1869年阴极射线管的发明成为了电子技术的发展起点，1904年真空电子二极管的诞生打开了电子技术的发展的大门，在这之后真空电子三极管，半导体PN结和其他半导体器件的发展为快速发展的电子信息技术奠定了基础，人们的生活随着这些半导体技术和微电子技术发展发生了天翻地覆的变化。
从早期的收音机、电话到现在的电脑手机等，都能感受到微电子技术带给人们生活上的极大便利。
自从IC芯片的诞生以来，其发展基本上遵循了因特尔公司创始人之一的摩尔1965年预言的摩尔定律。
芯片上可容纳的晶体管数目每18个月便可增加一倍，即芯片集成度18个月翻一番。
随着晶体管数目的增加，晶体管的尺寸越来越小，导致晶体管的电流电压方程变的越来越复杂，研发一种新的芯片的成本越来越高，为了节约成本提高效率，在芯片投产之前都要进行大量的计算机仿真，以确保电路功能的准确性和稳定性。
有很多著名公司也致力于电子技术自动化软件的研发，如Cadences，Synopsys等。
本文通过分析半导体二极管的原理，建立相应的物理器件模型，并对其电流电压关系进行数值计算，使二极管器件的计算机仿真成为一种可能。
一、物理模型和数学模型
半导体的导电性能介于导体和绝缘体之间，我们通常选择硅（Si）作为现代半导体器件的主体材料，没有经过掺杂的纯净的半导体的导电能很差。
在实际应用中的半导体一般是经过掺入元素周期表中的第三主族的硼或第五主族的磷元素分别形成P型半导体和N型半导体。
掺入杂质硼的硅材料，一个硼原子代替原来的一个硅原子，硼原子有三个价电子，当它与周围的四个硅原子形成共价键的时候还缺少一个电子，必须从别处的硅原子夺取一个价电子，于是在硅材料形成一个带正电的空穴。
掺入杂质磷的硅材料，一个磷原子代替原来的一个硅原子，磷原子有五个价电子，当它与周围的四个硅原子形成共价键的时候多出一个被束缚在磷原子周围电子，当这个电子获取少量的能量就能脱离磷原子的束缚形成自由移动的电子。
在一块N型半导体单晶上，用适当的工艺方法把P型杂质掺入其中，使这块单晶的不同区域分别具有N型和P型的导电类型，在两者交界处形成PN结如图1所示。
当两块不同导电类型的半导体形成PN结时，由于它们之间存在着载流子的浓度梯度，导致空穴从P区到N区，电子从N区到P区的扩散。
P型区的空穴离开后留下了不能移动的负离子，N型区的电子离开后留下了不能移动的正离子，形成了空间电荷区，空间电荷区的电场方向由Ｎ型区指向P型区。
空间电荷区的存在使空穴电子做漂移运动，当扩散运动和漂移运动相等使，PN结达到热平衡，这时PN结内部就不存在电流，只有外加电场打破这种平衡时才有新的电流产生。
[1]
图1--PN结空间电荷结构图
半导体器件中的电磁场运动规律应遵循Maxwell方程，从Maxwell方程出发，可以导出半导体器件的基本方程如下。
[2]
公式组
（2）
公式组
（1）
公式组
（1）中E为电场强度，D为电位移矢量，H为磁场强度，B为磁感应强度，J为传导电流密度，ρ为电荷密度。
在低频或静电场条件下公式组
（1）变为公式组
（2）其中ε和μ分别是半导体材料的介电常数和磁导率。
根据Poisson方程
；
；
我们可以得到
在半导体中
则在同一材料的半导体器件中Poisson方程可以简化成
在半导体中传导电流密度J是由电子电流密度Jn和空穴电流密度Jp两部分组成，则得到
单位时间、单位体元内流出以及增加的正电荷数等于单位时间、单位体元内流入以及减少的的负电荷数。
综上所述我们得到半导体中载流子的输运方程为
方程的前半部分为漂移电流，后半部分为扩散电流。
式中q是单位荷量，
、
分别是电子和空穴迁移率，n、p是电子和空穴浓度。
其中，
；
电子和空穴的迁移率
、
涉及到晶格的热振动，离化杂质、中性杂质、定位、填隙原子、位错，表面以及电子和空穴自身引起的散射等微观机理。
由于它们的相互作用是极其复杂的，因而给出精确的模型是困难的。
我们采用目前已发表的用唯象表示式作为各种各样实验上观察到的迁移率现象的模型。
这些参数和参数间的相互关系，共同决定了半导体中的电场、电磁、电流等特性。
对于PN结二极管的一维结构，如图2所示，在这种结构中0到L为势垒区，为了简化分析和模拟计算，我们做一下假设：
[3]
图2--PN结的一维结构
1、多次碰撞假设：
载流子在外电场的漂移用漂移迁移率表示，载流子运动平均行为偏离用扩散系数表示。
它们都是电场E的函数。
这里的含义是：
无论电场变化多快，载流子都能在新的电场值上达到新的平衡态，从而具有新的平均漂移速度和扩散系数，这就只有通过载流子经受多次碰撞才能实现。
2、低场条件：
在漂移扩散模型中，Jn、Jp的表达式和爱因斯坦关系实际上是玻尔兹曼方程在低场假设条件下采用微扰法所得的近似解。
如果器件有很强的不均匀电场、时间上快速的场强变化，就使之与低场假设不相容。
3、单能谷假设：
在漂移扩散模型中，使用平均漂移和扩散的概念描述电荷输运，没有涉及多能谷半导体的考虑。
4、小注入假设：
注入的少数载流子浓度比平衡多数载流子小得多。
5、常量假设：
通过耗尽层的电子和空穴为常量，不考虑耗尽层中载流子的产生和复合作用。
根据上面推导的半导体中的电流输运方程，我们以载流子浓度n、p以及电势
为自变量的基本方程为
当PN结外加正向偏执电压V时（即P区接电源正极，N区接电源负极），因势垒区内载流子浓度很小，电阻值很大，势垒区外的P区和N区中载流子的浓度很大，电阻很小，所以外加的正向偏执基本上降落在势垒区。
正向偏执电压在势垒区中产生了与内建电场方向相反的电场，因而减弱了势垒区中的电场强度，这就表明空间电荷区的电荷相应减少。
故势垒高度也相应的减小，势垒高度由qVD下降为q（VD-V）。
其中内建电势VD是由于N区的电子扩散到P区剩下带正电的离子，与P区的空穴扩散到N区剩下带附件的离子形成的由N区指向P区的电场。
其大小VD大小如下，其中ND是N区掺杂浓度，NA是P区掺杂浓度。
势垒区电场的减弱，破坏了载流子的扩散运动与漂移运动之间原有的平衡，削弱了漂移运动，使扩散运动大于漂移运动。
所以在外加正向偏压时，产生了电子从n区向p区以及空穴从p区向n区的净扩散电流，其电流方程的第二项由漂移运动型的电流为零。
电子通过势垒区扩散进入P区，在边界x=0处形成电子的积累，成为P区的非平衡少数载流子，结果使x=0处的电子浓度比P区内部高，形成了从x=0处向P区内部的电子扩散电流。
非平衡少子边扩散边与P区的空穴复合，经过比扩散长度大若干倍的距离后被复合，这段区域称之为扩散区其大小称之为扩散长度。
扩散区内的少子形成一定的稳定分布，从而在PN结中形成持续的电流，同理在势垒边界x=L处也形成向n区内部流动的空穴扩散电流。
PN结的电流密度就是电子电流和空穴电流的总和。
为了计算PN结的电流的大小，我们可以按照下面的步骤进行
1、根据准费米能级计算势垒区边界x=0和x=L处注入的非平衡少数载流子的浓度；
2、以边界x=0和x=L处的非平衡少数载流子浓度作为边界条件，接扩散区中载流子的连续性方程，得到扩散区中非平衡少数载流子的分布；
3、将非平衡少数载流子的浓度分布带入扩散方程，算出扩散流密度后，在算数少数载流子的电流密度。
4、将两种载流子的扩散电流密度相加就得到了PN结的电流密度。
通过对物理模型中方程的求解变换，得到x=0处的少数载流子的浓度如下，其中V为外加电势差，在仿真中V的取值范围为0~~~3伏特，步长为0.02伏特，VD为内建电势差。
在少子数量在深P区时（超过少子的扩散长度x
）对应的Np=Np0；
同理可得x=L处的少数载流子的浓度为
在少子数量在深N区时（超过少子的扩散长度x
）对应的Pn=Pn0；
这将是连续性方程的边界条件
在稳定时，空穴扩散区中非平衡少子的连续性方程为，
我们在小注入的假设下，dEx/dx项很小，可忽略，根据前面的假设电势差只落在势垒区，所以n型扩散区的Ex=0，连续性方程就变如下所示，其中Pn是关于Vx的函数，Vx是关于x的比例函数。
我们通过有限差分法将上式计算出Pn的数值解，在通过空穴电流密度公式
就可以得到相应的空穴电流，同样的方法可以得到相应的电子电流如下
最终的PN结电流为
二、有限差分法
对于复杂的微分方程或者偏微分方程，往往在数学上得不到相应的解析解，所以我们以变量离散取值后对应的函数值来近似微分方程中独立变量的连续取值。
其基本思想是放弃了微分方程中独立变量连续值的特征，把连续的定解区域用有限离散点来代替，把原方程和定解条件中的微商用差商来近似，积分用积分和来近似，于是原定解条件的微分方程就近似地代之以代数方程组，即有限差分方程组，解此方程组就可以得到原问题在离散点上的近似解。
然后再利用插值方法便可以从离散解得到定解问题在整个区域上的近似解。
从原则上说，这种方法仍然可以达到任意满意的计算精度。
因为方程的连续数值解可以通过减小独立变量离散取值的间格，或者通过离散点上的函数值插值计算来近似得到。
这种方法是随着计算机的诞生和应用而发展起来的。
它的实际应用已经构成了计算数学和计算物理的重要组成部分。
有限差分法的具体操作分为两个部分：
[4]
（1）用差分代替微分方程中的微分，将连续变化的变量离散化，从而得到差分方程组的数学形式。
我们通过所谓的网络分割法，将函数定义域分成大量相邻而不重合的子区域。
通常采用的是规则的分割方式。
这样可以便于计算机自动实现和减少计算的复杂性。
网络线划分的交点称为节点。
若与某个节点P相邻的节点都是定义在场域内的节点，则P点称为正则节点；反之，若节点P有处在定义域外的相邻节点，则P点称为非正则节点。
（2）求解差分方程组。
这一步中数值求解的关键就是要应用适当的计算方法，求得特定问题在所有这些节点上的离散近似值。
一个函数在x点上的一阶和二阶微商，可以近似地用它所临近的两点上的函数值的差分来表示。
如对一个单变量函数f（x），x为定义在区间[a,b]的连续变量。
以步长h=Δx将[a,b]区间离散化，我们得到一系列节点x=a,x=x+h,x=x+h=a+212132Δx,...,x=x+h=b，然后求出f（x）在这些点上的近似值。
显然步长h越小，近似解的精度就越好。
在化为微分的时候我们可以选择向前、向后、中心差分法。
我们以向前差分法分别得到一阶和二阶的微分表示如下；
在构造差分格式时，究竟应该选择向前，向后还是中间差分或差商来代替微分方程中的微分或微商，应当根据由此得到的差分方程解的稳定性和收敛性来考虑。
同时兼顾到差分格式的简单和求解的方便。
对于二介微分方程的边值问题的有限差分法如下,方程形式如下[5]
现求未知函数y（x）在区间[a,b]上的n个点（包括端点）等距离散点上的近似解，其中n个等距离散点为：
;h=（b-a）/（n-1）
显然，y（x0）=y（a）=
;y（xn-1）=y（b）=
用中心差值法近似
与
，即
整理后可到到如下关于yi（i=0,1,2…，n-1）的方程组
y0=
piyi-1+qiyi+riyi-1=di
yn-1=
其中pi,qi,ri,di如下，
pi=u（xi）-hv（xi）/2
qi=h2w（xi）-2u（xi）i=1,2,3……n-2
ri=u（xi）+hv（xi）/2
di=h2f（xi）
表示成矩阵形式如下
q0r00……0y0d0
p1q1r10……0y1d1
...
...=
...
0……0pn-2qn-2rn-2yn-2dn-2
0……0pn-1qn-1yn-1dn-1
其中q0=1，r0=0，d0=
；pn-1=0，qn-1=1，dn-1=
这样我们就把二介微分方程的离散解转换成线性方程组的解。
本文中对于需要求解的方程来说
对于少数载流子Pn来说，其边界条件是在x=L处，
；在10倍扩散长度处x=10Lp近似认为
，其中u（x）=
，w（x）=1/
，其余项为零；
对于少数载流子np来说，其边界条件是在x=0处，
；在10倍扩散长度x=10Ln近似认为np=np0，其中u（x）=
，w（x）=1/
，其余项为零。
三、计算误差分析
物理模型误差：
（1）在建立物理模型时我们做出来很多假设，当外加电压很多时将不符合我们的小注入假设，少数平衡载流子和平衡多数载流子可以比拟时，我们的模拟结果将不符合实际特性，需要重新建立物理模型。
（2）在实际的PN结中，在耗尽层既有新的电子空穴对的产生，又有电子空穴对的复合，不可能是常量，但是种产生和复合无法定量计算只能达到平衡，所以我的常量假设，引入的误差不可避免。
方法误差：
这是由于采用的计算方法所引起的误差。
上述有限差分法中，我们采用的泰勒展开式展开的方式得到相应的一阶、二阶差分公式，我们舍弃了相应的高阶的展开式。
这种误差的大小决于在离散化时的近似阶数。
因此若改进算法就可以减小截断误差。
舍入误差：
这是由于我们在计算时，计算机的有限字长而造成数据在计算机中的表示出现误差。
在计算机运算的过程中，随着运算次数的增加舍入误差会积累得很大。
如果在多次运算后，舍入误差的精度影响是有限的，那么这个算法是稳定的，否则是不稳定的。
不稳定的算法是不能用的。
四、程序和计算
采用matlab语言编程，分别计算了pn和np的数值解，在计算过程中采用了有限差分法将微分方程转换为线性方程，再通过高斯消元法解线性方程，最后得到结果。
由于n型扩散区和p型扩散区中间还有一段空间电荷区，无法直接画出其pn和np的分布图像，数据图像处理软件origin进行了最后的画图处理。
最后通过外加电压从0V开始，步长0.03V，扫描到3V，进行了pn结电流的仿真。
其具体程序如下：
计算pn的程序，保存为pn.m
tp=1.3*10^4;
pn0=1.225*10^12;
vd=0.7;
kT=0.026;
Dp=13;
lp=（Dp*tp）^0.5;
h=10*lp/25;
a=zeros（26,26）;
for（i=1;i<=26;i++）
a（i,i）=h*h/tp-2*Dp;
for（i=1;i<=25;i++）
a（i+1,i）=Dp;
a（i,i+1）=Dp;
end
b=zeros（26,1）;
pn（26,1）=gaussian（a,b,26）;
end
计算np的程序如下，保存为np.m
tn=1.3*10^4;
np0=1.225*10^14;
vd=0.7;
kT=0.026;
Dn=35;
ln=（Dn*tn）^0.5
h=ln/25;
a=zeros（25,25）;
for（i=1;i<=25;i++）
a（i,i）=h*h/tn-2*Dn;
for（i=1;i<=24;i++）
a（i+1,i）=Dn;
a（i,i+1）=Dn;
end
b=zeros（25,1）;
np（25,1）=gaussian（a,b,25）;
end
其中调用的函数function为高斯消元法解，程序如下，保存为function.m
function[X]=gaussian（A,B,n）
C=[AB];
fori=2:
n
[r,c]=max（abs（C（i-1:
n,i-1）））;
VEC=C（i-1,:
）;C（i-1,:
）=C（c+i-2,:
）;C（c+i-2,:
）=VEC;
ifC（i-1,i-1）==0
return
end
fork=（i-1）:
（n-1）
C（k+1,:
）=C（i-1,:
）*-C（k+1,i-1）/C（i-1,i-1）+C（k+1,:
）;
end
end
D=C;
B2=C（:
n+1）;
D（:
n+1）=[];
X=zeros（1,n）;
fori=1:
n
X（n+1-i）=（B2（n+1-i）-D（n+1-i,:
）*X'）/C（n+1-i,n+1-i）;
end
五、结果分析和结论
由于实际上PN结的扩散长度非常小，只有um级，所以画图中对横左边做了归一化处理，纵坐标的数量级变化较大我们采用对数坐标，我们得到如下关于Pn和np的分布图，如图3所示。
并得到PN结的电流随外加偏执电压变化曲线如图4所示。
图3----np、pn分布图
图3中0~3Lp（空穴扩散长度）代表P区，实践长度远大于3Lp，13Lp~18LP代表PN结的势垒宽度，实践长度也大于5LP。
从图中我们可以看出，电子穿过势垒区后到达P区后，少数载流子np随着继续向P区扩散，其数量随着扩散距离呈负指数关系衰减。
图4----PN结的电流随外加电压的变化
图4中为PN结外加电压为正的情况，当外加电压为负并且绝对值不大时，其电流为平行于横坐标轴的一条直线。
从图中我们可以得到，随着外加电压的增加，PN结的电流呈指数关系增加，实际上PN结的电流受很多因素的影响，并不能像图中所示的那样增加的快，并且施加在PN结两端的电压也有限制，并不像图中所示无限加大下去。
通过对PN结的I-V特性的数值分析，进一步熟悉了解了PN结的工作原理和特性。
更为重要的是通过这次模拟，从直观上对本门课程有了新的认识，在实际计算过程中需要认真分析选取哪种计算方法更能高效迅速的完成复杂的运算，
参考文献
[1]刘恩科，朱秉升，罗晋生半导体物理学[M]：
电子工业出版社，2009.
[2]BhagSinghGuru，HuseyinR.HizirogluElectromagneticFieldTheoryFundamentals（SecondEdition）[M]:
机械工业出版社，2008
[3]王以铭关于pn结正向大注入特性[J].北京工业大学学报.1984（03）
[4] 吕同富，康兆敏，方秀男数值计算方法[M]清华大学出版社（2008-10出版）
[5]田敏羊丹平热传导方程的一类新型重叠型并行区域分解有限差分算法[J]高等学校计算数学学报2008（01）
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