集合的包含关系判断及应用+高中数学知识点讲解含答案.docx
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集合的包含关系判断及应用+高中数学知识点讲解含答案
集合的包含关系判断及应用（北京习题集）（教师版）
一．选择题（共7小题）
1．（2018•西城区二模）若集合{|01}，，则下列结论中正确的是
AxxB{x|x22x0}（）
AIBAUBRABBAA．B．C．D．
2．（2018秋•海淀区校级月考）集合Pmm„，Q{mR|mx24mx40对任任意实数x恒成立}，则下
{|10}
列关系中成立的是（ ）
A．PÜQB．QPC．PQD．QÜP
3．（2018•海淀区一模）已知集合A{0，a}，B{x|1x2}，且AB，则a可以是（ ）
A．1B．0C．1D．2
4．（2018秋•通州区期中）已知集合A{1，0，1，2}，则下列表示正确的是（ ）
A．AB．C．D．
{1}A{1}A1A
5．（2018秋•海淀区校级月考）已知集合A{1，3}，B{2，3，4}，则（ ）
A．B．C．D．
ABAIBABBA
6．（2017秋•昌平区校级期中）已知集合M{x|2x3}，则下列结论正确的是（ ）
A．2.5MB．0M
C．MD．集合M是有限集
7．（2016•东城区一模）集合{|}，，若，则的取值范围是
Axx„aB{x|x25x0}AIBBa（）
A．a…5B．a…4C．a5D．a4
二．填空题（共8小题）
8．（2020春•海淀区校级期中）设集合A{x||xa|1，xR}，B{x|1x5，xR}，若AÜB，则a的取值
范围为 ．
9．（2015春•北京校级月考）已知集合Aa，B{x|x2x0}，若AB，则实数a的取值范围为 ．
{}
10．（2015•通州区一模）已知集合A，2，3，4}，B{1，3，m}，且BA，那么实数m ．
{1
11．（2014春•宣武区校级期中）设{|230}，，，则实数 ．
AxxxB{x|ax10}AIBBa
2
12．（2014•房山区二模）设集合P{1，2，，n}，nN*，设集合A同时满足以下三个条件：
①AP；②若
nn
xA，则2xA；
第1页（共9页）
③若，则．当时，写出一个满足条件的集合 ；当时，满足条件的集合的个数
xðA2xðAn4AN9A
Pp
nn
为 ．
13．（2012秋•西城区期末）已知集合P{x|1x1}，M{a}．若MP，则a的取值范围是 ．
14．（2011•顺义区二模）给定集合A，若对于任意a，bA，有abA，且abA，则称集合A为闭集合，给
出如下四个结论：
①集合A{4，2，0，2，4}为闭集合；
②集合A{n|n3k，kZ}为闭集合；
AUA
③若集合A，A为闭集合，则为闭集合；
1212
④若集合，为闭集合，且AR，AR，则存在cR，使得（）．
AA
cAUA121212
其中正确结论的序号是 ．
15．（2010春•丰台区期末）若{1，2}ÜA{1，2，3，4，5}，则满足条件的集合A共有 个．
第2页（共9页）
集合的包含关系判断及应用（北京习题集）（教师版）
参考答案与试题解析
一．选择题（共7小题）
1．（2018•西城区二模）若集合{|01}，，则下列结论中正确的是
AxxB{x|x22x0}（）
AIBAUBRABBAA．B．C．D．
【分析】先分别求出集合和，由此能求出结果．
AB
【解答】解：
集合，
QA{x|0x1}
Bxx2xxx
{|20}{|02}，
AB
．
故选：
C．
【点评】本题考查命题真假的判断，考查集合的包含关系等基础知识，考查函数与方程思想，考查函数与方程思想，
是基础题．
2．（2018秋•海淀区校级月考）集合，对任任意实数恒成立，则下
P{m|1m„0}Q{mR|mx24mx40x}
列关系中成立的是（ ）
A．PÜQB．QPC．PQD．QÜP
【分析】推导出集合P{m|1m„0}，Q{m|1m„0}，由此得到QÜP．
【解答】解：
集合，
QP{m|1m„0}
QmRmx2mxx}{m|16m216m0m0}{m|1m„0}
{|440对任任意实数恒成立△或，
PQ
．
故选：
C．
【点评】本题考查两个集合的包含关系的判断，考查一元二次不等式的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基
础题．
3．（2018•海淀区一模）已知集合A，a}，B{x|1x2}，且AB，则a可以是（ ）
{0
A．B．0C．1D．2
1
【分析】由集合A{0，a}，B{x|1x2}，且AB，得到1a2，由此能求出结果．
【解答】解：
集合，，，且，
QA{0a}B{x|1x2}AB
第3页（共9页）
1a2
，
a
可以是1．
故选：
C．
【点评】本题考查实数值的可能取值的求法，考查子集、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与
方程思想，是基础题．
4．（2018秋•通州区期中）已知集合A{1，0，1，2}，则下列表示正确的是（ ）
A．AB．C．D．
{1}A{1}A1A
【分析】利用集合与集合的关系、元素与集合的关系直接求解．
【解答】解：
由集合A{1，0，1，2}，知：
在中，，故错误；
AAA
在B中，{1}A，故B错误；
在C中，{1}A，故C正确；
在中，，故错误．
D1AD
故选：
C．
【点评】本题考查命题真假的判断，考查集合与集合的关系、元素与集合的关系等基础知识，考查运算求解能力，
是基础题．
5．（2018秋•海淀区校级月考）已知集合A{1，3}，B{2，3，4}，则（ ）
A．B．C．D．
ABAIBABBA
【分析】根据集合中运算的特点，即可判断集合与集合的关系．
【解答】解：
集合A{1，3}，B{2，3，4}，
AIB则{3}，
故选：
．
B
【点评】本题考查了集合与集合之间的关系，属于基础题．
6．（2017秋•昌平区校级期中）已知集合M{x|2x3}，则下列结论正确的是（ ）
A．2.5MB．0M
C．MD．集合M是有限集
【分析】根据题意，依次分析选项可得：
对于、由元素与集合的关系可得正确，对于、元素与集合间用，
AAB
可以判断错误；对于、集合与集合之间用，则错误；对于、集合为无限集，错误；即可得答
BCCDMD
第4页（共9页）
案．
【解答】解：
根据题意，依次分析选项可得：
对于A、2.5是集合M的元素，则2.5M，则A正确；
对于、0是集合的元素，应有，而不是，错误；
BM0M0MB
对于、空集是任何集合的子集，应有，错误；
CMC
对于、集合为无限集，错误；
DMD
故选：
．
A
【点评】本题考查集合、元素间关系的判断，是简单题，解题时注意分清与区别即可．
7．（2016•东城区一模）集合{|}，，若，则的取值范围是
Axx„aB{x|x25x0}AIBBa（）
A．a…5B．a…4C．a5D．a4
【分析】由，可得，再利用集合的运算性质即可得出．
x25x0B（0,5）
【解答】解：
由x25x0，解得0x5，
B（0,5）
，
QIa…5
ABB，．
则的取值范围是．
aa…5
故选：
．
A
【点评】本题考查了集合的运算性质、不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
二．填空题（共8小题）
8．（2020春•海淀区校级期中）设集合A{x||xa|1，xR}，B{x|1x5，xR}，若AÜB，则a的取值
范围为 [2，4] ．
【分析】先化简集合A，再根据AÜB，得到关于a的不等式求出a的取值范围．
【解答】解：
由，得，，
|xa|11xa1a1xa1
a11
由得，．
AÜB2a4
a15
又当a2时，A{x|1x3}，满足AÜB，a4时，A{x|3x5}，满足AÜB，
2„a„4
．
故答案为：
[2，4]．
【点评】本题主要考查集合的化简和关系运算，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力．利用数轴处
第5页（共9页）
理集合的交集、并集、补集运算时，要注意端点是实心还是空心，在含有参数时，要注意验证区间端点是否符合题
意，属于基础题．
9．（2015春•北京校级月考）已知集合A{a}，B{x|x2x0}，若AB，则实数a的取值范围为 [0，
1] ．
【分析】先求得集合，然后根据来求的取值范围．
BABa
【解答】解：
{|0}{|1或．
Bxxxxxx0}
2
QAaAB
{}，，
0„a„1
．
a[01]
的取值范围为：
，．
故答案是：
[0，1]．
【点评】本题考查了集合的包含关系判断及应用．在解答的过程中要仔细体会集合运算的特点、几何元素的特点、
方程的思想以及问题转化的思想在题目当中的应用．此题属于集运算与方程、不等式于一体的综合问题，值得同
学们认真反思和归纳．
10．（2015•通州区一模）已知集合A{1，2，3，4}，B{1，3，m}，且BA，那么实数m 2或4 ．
【分析】利用元素与集合之间的关系即可得出．
【解答】解：
Q集合A{1，2，3，4}，B{1，3，m}，且BA，
mA
，
m2或4．
故答案为：
2或4．
【点评】本题考查了元素与集合之间的关系，属于基础题．
11．（2014春•宣武区校级期中）设{|230}，，，则实数 或0或
AxxxB{x|ax10}AIBBa1
2
1
3
．
【分析】本题可先对集合A进行研究，弄清集合A中的元素，再对集合B中的参数a进行讨论，利用集合A、B的
关系，从而得出本题的解．
【解答】解：
Qx22x30，
（x1）（x3）0
，
x1或x3．
23}
A{x|x2x30}{1，．
第6页（共9页）
QI
ABB
，
BA
．
QB{x|ax10}
，
a0ax10B
当时，方程无解，，适合题意；
当时，方程的解，
aax10x1
0
a
Q
1
a
A
，
11
或11
13a或a
，．
aa3
1
实数a1或0或．
3
1
故答案为：
1或0或．
3
【点评】本题考查了集合与集合的关系、元素与集合的关系，集合B为空集的情况容易遗漏．本题难度不大，属于
基础题．
12．（2014•房山区二模）设集合P{1，2，，n}，nN*，设集合A同时满足以下三个条件：
①AP；②若
nn
xA2xA
，则；
③若xðA，则2xðA．当n4时，写出一个满足条件的集合A {2}或{1，4}或{2，3}或{1，3，4} ；
Pp
nn
当9时，满足条件的集合的个数为 ．
NA
【分析】
（1）由题意可得4{1，2，3，，符合条件的集合为：
，，，，，，3，，故可求
P4}A{2}{14}{23}{14}
f（4）；
（2）任取偶数xp，将x除以2，若商仍为偶数，再除以2，经过k次后，商必为奇数，此时记商为m，可知，
n
若mA，则xA，k为偶数；若mA，则xAk为奇数，求出f（n）的解析式，将9代入可得答案．
【解答】解：
（1）当n4时，P4{1，2，3，4}，
符合条件的集合A为：
{2}，{1，4}，{2，3}，{1，3，4}，
故答案为：
{2}或{1，4}或{2，3}或{1，3，4}；
（2）任取偶数xp，将x除以2，若商仍为偶数，再除以2，经过k次后，商必为奇数，此时记商为m，
n
于是xmg2k，其中m为奇数，kN*
由条件可知，若mA，则xAk为偶数；
若mA，则xAk为奇数；
第7页（共9页）
于是是否属于由是否属于确定，设是中所有的奇数的集合，
xAmAQP
nn
1n1
因此f（n）等于Q的子集个数，当n为偶数时（或奇数时），P中奇数的个数是n（或），
nn
22
n
2,n为偶数
2
fn
n1
2,n为奇数
2
，
故当N9时，f（9）2532，
故答案为：
32．
【点评】本题主要考查了集合之间包含关系的应用，解题的关键是准确应用题目中的定义．
13．（2012秋•西城区期末）已知集合Pxx，M{a}．若MP，则a的取值范围是
{|11}
{a|1a1}
．
【分析】M是P的子集，元素aP，1a1
【解答】解：
，，
QMP1a1
故答案为；
{a|1a1}
【点评】本题考查集合间的包含关系，及集合语音的理解．
14．（2011•顺义区二模）给定集合A，若对于任意a，bA，有abA，且abA，则称集合A为闭集合，给
出如下四个结论：
①集合A{4，2，0，2，4}为闭集合；
②集合A{n|n3k，kZ}为闭集合；
AUA
③若集合A，A为闭集合，则为闭集合；
1212
④若集合A，A为闭集合，且AR，AR，则存在cR，使得cAUA．
（）121212
其中正确结论的序号是 ②④ ．
【分析】本题考查的是新定义和集合知识综合的问题，在解答时首先要明确闭集合是什么，然后严格按照题目当中
对“闭集合”的定义逐一验证即可．
【解答】解：
对于①：
4
（2）6A，故不是闭集合，故错；
对于②：
由于任意两个3的倍数，它们的和、差仍是3的倍数，故是闭集合，故正确；
对于③：
假设1{|3，，2{|5，，，，但是，，则
AnnkkZ}AnnkkZ}3A5A35AUA
1212
AUA
12
不是闭集合，故错．
对于④：
设集合AAR，都为闭集合，存在cR，使得c（AUA）；故④正确．
1212
第8页（共9页）
正确结论的序号是②．
故答案为：
②④．
【点评】本题考查的是集合知识和新定义的问题．在解答过程当中应充分体会新定义问题概念的确定性，与集合子
集个数、子集构成的规律．此题综合性强，值得同学们认真总结和归纳．
15．（2010春•丰台区期末）若，，2，3，4，，则满足条件的集合共有 7 个．
{12}ÜA{15}A
【分析】利用集合间的关系可知：
集合A中除了含有1，2两个元素以外，至少必须含有另外一个元素，据此即可求
出．
【解答】解：
Q{1，2}ÜA{1，2，3，4，5}，集合A中除了含有1，2两个元素以外，至少必须含有另外一个
元素，
因此满足条件的集合A为{1，2，3}，{1，2，4}，{1，2，5}，{1，2，3，4}，{1，2，3，5}，{1，2，4，5}，
{1，2，3，4，5}共7个．
故答案为7．
【点评】熟练掌握集合间的关系是解题的关键．
第9页（共9页）
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