人教版八年级上册第11章 《三角形》培优训练题.docx

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人教版八年级上册第11章《三角形》培优训练题

《三角形》培优训练题

一．选择题

1．△ABC中，如果∠A+∠B＝∠C，那么△ABC形状是（　　）

A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．不能确定

2．下列每组数分别表示三根木棒的长，将它们首尾连接后，能摆成三角形的一组是（　　）

A．1、2、3B．2、3、6C．4、6、8D．5、6、12

3．一个正多边形的内角和为720°，则这个正多边形的每一个外角等于（　　）

A．50°B．60°C．70°D．80°

4．以线段a＝7，b＝8，c＝9，d＝10为边作四边形，可以作（　　）

A．1个B．2个C．3个D．无数个

5．若一个多边形减去一个角后，内角和为720°，则原多边形不可能是几边形（　　）

A．四边形B．五边形C．六边形D．七边形

6．如图所示的图形中，三角形共有（　　）

A．3个B．4个C．5个D．6个

7．数学活动课上，小聪将一副三角板按图中方式叠放，则∠a的度数为（　　）

A．30°B．45°C．60°D．75°

8．如图将三角形纸板的直角顶点放在直尺的一条边上，∠1＝30°，∠2＝60°，则∠3为（　　）

A．50°B．40°C．30°D．20°

9．如图，△ABC中，∠B＝55°，∠C＝63°，DE∥AB，则∠DEC等于（　　）

A．63°B．113°C．55°D．62°

10．如图，则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G＝（　　）

A．360°B．540°C．720°D．900°

11．已知三角形的三边长分别为a、b、c，化简|a+b﹣c|﹣2|a﹣b﹣c|+|a+b+c|得（　　）

A．4a﹣2cB．2a﹣2b﹣cC．4b+2cD．2a﹣2b+c

12．如图，∠A＝65°，∠B＝75°，将纸片的一角折叠，使点C落在△ABC外，若∠2＝18°，则∠1的度数为（　　）

A．50°B．98°C．75°D．80°

二．填空题

13．一个正n边形的内角和是它外角和的4倍，则n＝　　．

14．如图，△ABC为直角三角形，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，与∠1相等的角是　　．

15．已知直角三角形ABC中，∠A＝（2x﹣10）°，∠B＝（3x）°，则x＝　　．

16．如图，△ADC是45°的直角三角板，△ABE是30°的直角三角板，若CD与BE交于点F，则∠DFB的度数为　　．

三．解答题

17．已知：

△ABC中，D为BC上一点，满足：

∠B＝∠C＝∠BAD，∠ADC＝∠DAC，AE是△ABC中BC边上的高．

（1）补全图形．

（2）求∠DAE的度数．

18．如图，在△ABC中，∠BAC：

∠B：

∠C＝3：

5：

7，点D是BC边上一点，点E是AC边上一点，连接AD、DE，若∠1＝∠2，∠ADB＝102°．

（1）求∠1的度数；

（2）判断ED与AB的位置关系，并说明理由．

19．用两种方法证明“三角形的外角和等于360°”．如图，∠BAE、∠CBF、∠ACD是△ABC的三个外角．

求证：

∠BAE+∠CBF+∠ACD＝360°．

证法1：

∵∠BAE、∠CBF、∠ACD是△ABC的三个外角．

∴　　．

∴∠BAE+∠CBF+∠ACD＝2（∠1+∠2+∠3），

∵　　．

∴∠BAE+∠CBF+∠ACD＝360°

请把证法1补充完整，并用不同的方法完成证法2．

20．数学概念

XX百科这样定义凹四边形：

把四边形的某些边向两方延长，其他各边有不在延长所得直线的同一旁，这样的四边形叫做凹四边形．

如图①，在四边形ABCD中，画出DC所在直线MN，边BC、AD分别在直线MN的两旁，则四边形ABCD就是凹四边形．

性质初探

（1）在图①所示的凹四边形ABCD中，求证：

∠BCD＝∠A+∠B+∠D．

深入研究

（2）如图②，在凹四边形ABCD中，AB与CD所在直线垂直，AD与BC所在直线垂直，∠B、∠D的角平分线相交于点E．

①求证：

∠A+∠BCD＝180°；

②随着∠A的变化，∠BED的大小会发生变化吗？

如果有变化，请探索∠BED与∠A的数量关系；如果没有变化，请求出∠BED的度数．

参考答案

一．选择题

1．解：

∵在△ABC中，∠A+∠B＝∠C，∠A+∠B+∠C＝180°，

∴2∠C＝180°，解得∠C＝90°，

∴△ABC是直角三角形．

故选：

B．

2．解：

A、1+2＝3，不能摆成三角形；

B、2+3＜6，不能摆成三角形；

C、4+6＞8，能摆成三角形；

D、5+6＜12，不能摆成三角形．

故选：

C．

3．解：

设这个正多边形的边数为n，

∵一个正多边形的内角和为720°，

∴180（n﹣2）＝720，

解得：

n＝6，

∴这个正多边形的每一个外角是：

360°÷6＝60°．

故选：

B．

4．解：

四条线段组成的四边形可有无数种变化．

故选：

D．

5．解：

设内角和为720°的多边形的边数是n，则（n﹣2）•180＝720，

解得：

n＝6．

∵截去一个角后边数可能增加1，不变或减少1，

∴原多边形的边数为5或6或7．

故选：

A．

6．解：

三角形的个数有△BED，△AED，△ADC，△ABD，△ABC，

故选：

C．

7．解：

∠DBC＝∠ABC﹣∠ABD＝90°﹣45°＝45°．

所以∠α＝∠DBC+∠C＝45°+30°＝75°．

故选：

D．

8．解：

∵∠1＝30°，∠2＝60°，

∴∠3＝60°﹣30°＝30°，

故选：

C．

9．解：

∵AB∥CD，

∴∠DEC＝∠A，

∵∠A＝180°﹣∠B﹣∠C＝180°﹣55°﹣63°＝62°，

∴∠DEC＝62°

故选：

D．

10．解：

连接DG，则∠1+∠2＝∠F+∠E，

∴∠A+∠B+∠C+∠CDE+∠E+∠F+∠AGF

＝∠A+∠B+∠C+∠1+∠2+∠CDE+∠AGF

＝（5﹣2）×180°

＝540°．

故选：

B．

11．解：

∵△ABC的三边长分别是a、b、c，

∴必须满足两边之和大于第三边，两边的差小于第三边，则a+b﹣c＞0，a﹣b﹣c＜0，a+b+c＞0

∴|a+b﹣c|﹣2|a﹣b﹣c|+|a+b+c|＝a+b﹣c+2a﹣2b﹣2c+a+b+c＝4a﹣2c．

故选：

A．

12．解：

∵∠A＝65°，∠B＝75°，

∴∠C＝180°﹣∠A﹣∠B＝180°﹣65°﹣75°＝40°；

又∵将三角形纸片的一角折叠，使点C落在△ABC外，

∴∠C′＝∠C＝40°，

∵∠3+∠2+∠5+∠C′＝180°，∠5＝∠4+∠C＝∠4+40°，∠2＝18°，

∴∠3+18°+∠4+40°+40°＝180°，

∴∠3+∠4＝82°，

∴∠1＝180°﹣82°＝98°．

故选：

B．

二．填空题（共4小题）

13．解：

多边形的外角和是360°，根据题意得：

180°•（n﹣2）＝360°×4，

解得n＝10．

故答案为：

10．

14．解：

∵∠ACB＝90°，

∴∠A+∠B＝90°，

∵CD⊥AB，

∴∠ADC＝90°，

∴∠A+∠1＝90°，

∴∠B＝∠1，

故答案为：

∠B．

15．解：

①若∠C＝90°，则∠A+∠B＝90°，

∴2x﹣10+3x＝90，

解得x＝20，

此时∠A＝30°，∠B＝60°，符合题意；

②若∠A＝90°，则2x﹣10＝90，

解得x＝50，

此时∠B＝150°，不符合题意，舍去；

③若∠B＝90°，则3x＝90，

解得x＝30，

此时∠A＝50°，符合题意；

综上x＝20或30，

故答案为：

20或30．

16．解：

∵∠ADC＝45°，∠B＝30°，

∴∠DFB＝∠ADC﹣∠B＝15°，

故答案为15°．

三．解答题（共4小题）

17．解：

（1）如图所示，AE即为所求；

（2）∵∠ADC＝∠B+∠BAD，∠B＝∠C＝∠BAD，∠ADC＝∠DAC，

∴∠B+∠C+∠BAD+∠DAC＝180°，

∴5∠B＝180°，

解得∠B＝36°，

∴∠ADC＝72°．

∵AE⊥BC，

∴∠DAE＝90°﹣∠ADE＝90°﹣72°＝18°．

18．解：

（1）∵∠BAC：

∠B：

∠C＝3：

5：

7，

∴设∠BAC＝3x，∠B＝5x，∠C＝7x，

∴3x+5x+7x＝180°，

解得：

x＝12°，

∴∠BAC＝36°，∠B＝60°，∠C＝84°，

∵∠ADB＝102°，

∴∠1＝∠ADB﹣∠C＝102°﹣84°＝18°；

（2）ED∥AB．理由：

∵∠1＝∠2，

∴∠2＝18°，

∵∠BAC＝36°，

∴∠BAD＝∠BAC﹣∠1＝36°﹣18°＝18°，

∴∠2＝∠BAD，

∴ED∥AB．

19．证明：

证法1：

∵∠BAE、∠CBF、∠ACD是△ABC的三个外角．

∴∠BAE＝∠2+∠3，∠CBF＝∠1+∠3，∠ACD＝∠1+∠2．

∴∠BAE+∠CBF+∠ACD＝2（∠1+∠2+∠3），

∵∠1+∠2+∠3＝180°．

∴∠BAE+∠CBF+∠ACD＝360°；

证法2：

∵平角等于180°，

∴∠BAE+∠1+∠CBF+∠2+∠ACD+∠3＝180°×3＝540°，

∴∠BAE+∠CBF+∠ACD＝540°﹣（∠1+∠2+∠3）．

∵∠1+∠2+∠3＝180°，

∴∠BAE+∠CBF+∠ACD＝540°﹣180°＝360°．

故答案为：

∠BAE＝∠2+∠3，∠CBF＝∠1+∠3，∠ACD＝∠1+∠2；∠1+∠2+∠3＝180°．

20．

（1）证明：

如图①，延长DC交AB于点E，

∵∠BEC是△AED的一个外角，

∴∠A+∠D＝∠BEC，

同理，∠B+∠BEC＝∠BCD，

∴BCD＝∠A+∠B+∠D．

（2）①证明：

如图②，延长BC、DC分别交AD、BC于点F、G，

由题意可知，∠AFC＝∠AGC＝90°，

∵在四边形AFCG中，∠AFC+∠AGC+∠A+∠FCG＝360°，

∴∠A+∠FCG＝180°，

∵∠FCG＝∠BCD，

∴∠A+∠BCD＝180°；

②解：

由

（1）可知，在凹四边形ABED中，

∠A+∠ABE+∠ADE＝∠BED①，

同理，在凹四边形EBCD中，

∠BED+∠EBC+∠EDC＝∠BCD②，

∵BE平分∠ABC，

∴∠ABE＝∠EBC，

同理，∠ADE＝∠EDC，

①﹣②得∠A+∠BCD＝2∠BED，

由

（2）①可知，在凹四边形ABCD中，∠A+∠BCD＝180°，

∴2∠BED＝180°，

∴∠BED＝90°．