立体几何各种角.docx
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立体几何各种角
1、异面直线所成的角
（1）定义：
a、b是两条异面直线，经过空间任意一点0,分别引直线a'//a,b'//b,则a'和b'所成的锐角（或直角）叫做异面直线a和b所成的角.
（2）取值范围：
0°<0<90°.
（3）求解方法
1根据定义，通过平移，找到异面直线所成的角0;
2解含有0的三角形，求出角0的大小.
例1.如图，在四面体ABCD中，已知所有棱长都为a,点E、F、G分别是ABCDBC的中点.
（1）、求证：
EG//平面ACD
（2）、求线段EF的长；
（3）、求异面直线BCAD所成角的大小.
例1.证明：
（1）TE、G分别为ABBC的中点，•••EG//AC,
又•••AC平面ACD，EG二平面ACD
•••EG//平面ACD••…（6分）
（2）连CE、DE,在等边△ABC中，EC=DE仝a，
2
•••EF是等腰△ECD底边上的高，EF丄CD,
（3）方法一：
连AGDG易知BC丄AGBC丄DQ
•••BC丄面AGD贝UBC丄AD•••BCAD所成角为90°,方法二：
取AC中点H,连EHFH,
则9二/EHF是BCAD所成的角
EH=1BC=1a,FH=1AD=1a,由
（1）知EF=鼻a
22222
•••eX+fH^eF2•••9=90°.……（6分）
2、直线和平面所成的角一一斜线和射影所成的锐角
（1）取值范围0°<9<90°
（2）求解方法
1作出斜线在平面上的射影，找到斜线与平面所成的角9.
2解含9的三角形，求出其大小.
例2.如图，在四棱锥P-ABCD中，PA、AB、AD两两互相垂直，BCIIAD，且AB=AD=2BC,E,F分别是PB、PD的中点。
例2.（I）证明：
EF//平面ABCD;
（H）若PA=AB，求PC与平面PAD所成的角的正弦值
（I）证明：
连结BD'
•••在△PBD中，E，F分别为PB、PD中点，•••EF//BD
又EF二平面ABCD,BD平面ABCD
•••EF//平面ABCD
（n）解：
取AD中点G,连接CG、PG
•••四边行ABCD中，BC//AD,AD=2BC
•••CG//AB
又•••AB丄AD,AB丄AP,APQAD=A
•••AB丄平面PAD
•••CG丄平面PAD,
•••/GPC是PC与平面PAD所成的角
设PA=2a,贝》AB=CG=2a,BC=AG=a,AC=5a
PC—,pa2ac2=3a
PC3a
在RTAPGC中,sin/GPC=cg二2a
3、二面角及二面角的平面角
（1）半平面直线把平面分成两个部分，每一部分都叫做半平面.
（2）二面角一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角.这条直线叫做二面角的棱，这两个平面叫做二面角的面，即二面角由半平面一棱一半平面组成•
以二面角棱上任意一点为端点，分别在两个面内作垂直于棱的射线，这两条射线所组成的角叫做二面角的平面角.
二面角的大小用它的平面角来度量，通常认为二面角的平面角e的取值范围是
o°ve<180°
（3）二面角大小的常见方法
先找（或作）出二面角的平面角e，再通过解三角形求得e的值.
例3、如图：
已知直三棱柱ABC—AiBiCiaB
ZB厂900，4—1,AA厂「2，
（1）证明：
CQ一平面AqBqBA；
连结AB1>ACq，设D为A1B1的中点，
（两种方法）
（2）求面ACqBq与面AqABq所成的二面角正切值
例3、证明：
（1）TA1A丄面AiBiCi,A1A面A1B1BA
•••面A1B1BA丄面A1B1C1。
又•••在等腰直角三角形A1B1G中，D为斜边A1B1的中点
•GDIA1B1，而面A1B1BA面A1B1G=A1B1
C〔D一平面A1B1BA,•GD丄AB1且DE丄AB,GDrDE=D
•AB丄平面DEG•GE丄AB
故/G1ED为二面角C1-AB1-A1的平面角
在Rt-:
:
AA]B1中，A1A=-2,A1B〔=、2,故DB1=¥，/A「B」A-45°
•DE=1，又SD呻，所以
面面垂直性质定理：
两平面互相垂直，在一个平面内垂
直于交线的直线垂直于另一平面
面面垂直判定定理：
一个平面经过另一个平面的一条垂
线，则两个平面互相垂直练习：
某高速公路收费站入口处的安全标识墩如图4
示。
墩的上半部分是正四棱锥P-EFGH,下半部分是长方体ABCD-EFGH。
图5、图6分别是该标识墩的正（主）视图和俯视图。
（1）求该安全标识墩的体积；
（2）证明：
直线BD丄平面PEG.
丿2\
Cm
3
解：
该安全标识墩的体积为:
V=Vp—EFGH+VaBCD-EFGH
122
40604020=3200032000二64000
（2）如图，连结EGHF及BD,EG与HF相交于O,连结PO.
由正四棱锥的性质可知，PO丄平面EFGH,
PO—HF
又EG-HFEGAPO=O
HF-平面PEG
又BD//HFbd—平面PEG;
下图是一个几何体的三视图（单位：
cm）,求此几何体的表面积和体积
俯视图
2
答案：
表面积（80+16\2）体积64+3
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