立体几何各种角.docx

1、立体几何各种角1、异面直线所成的角(1)定义：a、b是两条异面直线，经过空间任意 一点0,分别引直线a/ a,b / b,则a和b所成 的锐角(或直角)叫做异面直线a和b所成的角.(2)取值范围：0 0 90 .(3)求解方法1根据定义，通过平移，找到异面直线所成的角 0 ;2解含有0的三角形，求出角0的大小.例1.如图，在四面体 ABCD中，已知所有棱长都为 a,点E、 F、G分别是AB CD BC的中点.(1)、求证：EG/平面ACD(2)、求线段EF的长；(3)、求异面直线BC AD所成角的大小.例1.证明：(1)TE、G分别为AB BC的中点， EG/ AC,又 AC 平面ACD，EG

2、二平面ACD EG/平面 ACD(6 分)(2)连 CE、DE,在等边 ABC中，EC=DE仝a，2 EF是等腰 ECD底边上的高，EF丄CD,(3)方法一：连AG DG 易知 BC丄AG BC丄DQ BC丄面AGD贝U BC丄AD BC AD所成角为90, 方法二：取AC中点H ,连EH FH,则9二/ EHF是BC AD所成的角EH= 1BC= 1a, FH= 1AD=1a,由（1）知 EF=鼻 a2 2 2 2 2 eX+fHeF2 9 =90.（6 分）2、直线和平面所成的角一一斜线和射影所成的锐角(1)取值范围0 9 90(2)求解方法1作出斜线在平面上的射影，找到斜线与平面所 成的

3、角9 .2解含9的三角形，求出其大小.例2.如图，在四棱锥 P-ABCD中，PA、AB、AD两两互相 垂直，BC II AD，且 AB=AD=2BC , E, F 分别是 PB、PD 的中点。例2. (I)证明：EF /平面ABCD ;(H)若PA=AB，求PC与平面PAD所成的角的正弦值(I)证明：连结BD 在 PBD 中，E，F 分别为 PB、PD 中点， EF / BD又EF二平面ABCD , BD 平面 ABCD EF/平面 ABCD(n)解：取AD中点G,连接CG、PG四边行 ABCD 中，BC / AD , AD=2BC CG / AB又 AB 丄 AD , AB 丄 AP , A

4、P Q AD=A AB丄平面PAD CG丄平面PAD,/ GPC是PC与平面PAD所成的角设 PA=2a,贝AB=CG=2 a , BC=AG= a, AC= 5aPC, pa2 ac2 =3aPC 3a在 RTA PGC中, sin / GPC=cg 二2a3、二面角及二面角的平面角(1)半平面直线把平面分成两个部分，每一部分 都叫做半平面.(2)二面角一条直线出发的两个半平面所组成 的图形叫做二面角.这条直线叫做二面角的棱，这两个 平面叫做二面角的面，即二面角由 半平面一棱一半平 面组成以二面角棱上任意一点为端点，分别在两个面内 作垂直于棱的射线，这两条射线所组成的角叫做二面 角的平面角.

5、二面角的大小用它的平面角来度量，通常认为二 面角的平面角e的取值范围是ov e AC q，设D为A1B1的中点，(两种方法)(2)求面ACqBq与面AqABq所成的二面角正切值例 3、证明：(1) T A1A 丄面 AiBiCi, A1A 面 A1B1BA面 A1B1BA 丄面 A1B1C1。又在等腰直角三角形 A1B1G中，D为斜边A1B1的中点 GDI A1B1，而面 A1B1BA 面 A1B1G= A1B1CD 一 平面 A1B1BA , GD 丄 AB1 且 DE 丄AB, GDrDE=D AB丄平面DEG GE丄AB故/ G1ED为二面角C1-AB1-A1的平面角在 Rt -:AA

6、B1 中，A1 A= - 2 , A 1B=、2 , 故 DB1=，/ ABA-4 5 DE=1，又SD呻，所以面面垂直性质定理：两平面互相垂直，在一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一平面面面垂直判定定理：一个平面经过另一个平面的一条垂线，则两个平面互相垂直 练习：某高速公路收费站入口处的安全标识墩如图4示。墩的上半部分是正四棱锥 P-EFGH ,下半 部分是长方体ABCD - EFGH。图5、图6分别 是该标识墩的正(主)视图和俯视图。(1)求该安全标识墩的体积；(2)证明：直线BD丄平面PEG.丿 2 Cm3解：该安全标识墩的体积为:V = Vp EFGH+ VaBCD - EFGH1 2 240 60 40 20 = 32000 32000 二 64000(2)如图，连结EGHF及BD , EG与HF相交 于O,连结PO.由正四棱锥的性质可知，PO丄平面EFGH ,P O H F又EG - HF EGA PO= OHF -平面PEG又 BD/ HF bd平面 PEG;下图是一个几何体的三视图(单位：cm),求此几 何体的表面积和体积俯视图2答案：表面积(80 +16 2 ) 体积 6 4 + 3