《应用数学基础》教学基本修订稿.docx
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《应用数学基础》教学基本修订稿
说明：
1．本大纲适用各专业，一元微积分部分62学时，为各专业必修部分，新生入学第一学期讲授内容。
2．带*号部分，可根据各专业特点、要求，结合学时适当选取，学时可适当微调以符合各计划学时要求。
3．选定后将此说明部分删除。
基础部
2005年2月20日
基础课课程教学大纲
《应用数学基础》课程教学大纲
一、课程的地位、作用与任务
《应用数学基础》是三年制高等职业技术教育一门必修的公共课，是学生提高文化素质和学习有关专业知识、专门技术及获取新知识能力的重要基础，同时也是学生将来生活、工作实践中的一个重要工具。
1．教育学生掌握微积分学的基本知识、基本运算以及现代数学中的基本思想和基本方法。
2．培养学生具有建立生活和工作中实际问题的数学模型能力，并利用数学的方法完成必要的计算、分析和判断。
3．通过各个教学环节，利用各种教学手段引导学生在其他课程和实践中使用数学，使学生认识数学的实用价值和经济价值，逐步形成数学意识，提高学生分析和解决实际问题的能力。
让数学这一工具进入到学生的生活实践中去。
二、教学内容和教学要求
（I）微积分学模块
（一）一元函数微分学
1．知识点和教学要求
（1）掌握
函数的表示法，函数的定义域，函数的对应关系，极限的四则运算法则，利用函数的连续性求函数的极限，函数的和、差、积、商的求导法则，基本初等函数的求导公式，复合函数的求导法则，罗必达（L’Hospital）法则，函数单调性的判定法，函数极值的判定及其求法，函数的最值及其应用，微分法则，微分公式。
（2）理解
函数的定义，函数的记号，复合函数的概念，极限的描述性定义，函数连续的概念，导数的定义，导数的几何意义与物理意义，微分的概念。
（3）了解
函数的性质，初等函数，函数的左、右极限，极限存在的充要条件，分段函数，反函数，无穷小，无穷大，无穷小的性质，函数及其极限与无穷小的关系，两个重要极限，初等函数的连续性，函数的间断点，闭区间上连续函数的性质，可导与连续的关系，隐函数的导数，由参数方程确定的函数的导数，反函数的导数，对数求导法，高阶导数及其物理意义，微分的几何意义，微分形式的不变性，微分在近似计算中的应用，中值定理的几何解释，曲线的凸凹性，函数的作图等。
（4）其它
微分在误差中的应用，弧微分、曲率及其计算，曲率圆、曲率半径。
2．能力培养要求
（1）通过极限、导数、微分等概念的学习，使学生明确数学知识是来源于实践、服务于实践，培养学生辩证唯物主义的思想观点，认识客观世界的变化规律和联系。
（2）通过学习极限的运算、导数运算、微分法则、微分公式等知识，使学生具有一定的逻辑推理能力和极限、导数、微分的基本运算能力。
（3）通过函数图像的组合与分解、极限、导数、微分的几何意义，曲线的基本特性、函数图像描绘等知识的学习，逐步培养学生的数形结合能力。
（4）通过函数关系式的建立、最值的应用、微分在近似计算中的应用等知识的学习，使学生逐步具有分析和解决简单的实际问题的能力。
（二）一元函数积分学
1．知识点和教学要求
（1）掌握
基本积分公式，不定积分的性质，Newton-leibniz公式，简易积分表的使用，定积分在几何、物理上的应用。
（2）理解
原函数的概念，不定积分、定积分的定义，定积分的几何意义。
（3）了解
不定积分的几何意义，不定积分与导数的关系，定积分的性质，变上限积分函数的导数，积分的换元法、分部积分法，广义积分的定义及计算。
2．能力培养要求
（1）通过学习不定积分的性质，基本积分方法，牛顿（Newton）-莱布尼兹（Leibniz）公式等知识，使学生具有积分的基本运算能力和一定的逻辑思维能力。
（2）通过对不定积分几何意义，定积分的几何意义和定积分的应用等知识的学习，使学生具有一定的数形结合能力和空间想象力，并具有分析、解决实际问题的能力，逐步形成自觉运用数学这一工具的意识。
（3）通过学习简易积分表的使用，培养学生利用计算工具的能力。
（三）微分方程
1．知识点和教学要求
（1）掌握
可分离变量方程的解法，一阶线性方程的解法。
（2）理解
微分方程的基本概念。
（3）了解
可降阶微分方程的解法，齐次方程的解法，线性方程解的结构，二阶常系数线性方程的解法，常数变易法。
（4）其它
微分方程的简单应用。
2．能力培养要求
（1）通过学习微分方程的概念和解法，培养学生的微分与积分的综合计算能力和较强的逻辑思维能力。
（2）通过学习微分方程的简单应用，逐步培养学生的数学建模能力和分析、解决实际问题的能力。
（四）级数
1．知识点与教学要求
（1）掌握
正项级数的比较、比值、根值审敛法，P级数、几何级数的敛散条件，莱布尼兹（Leibniz）定理，函数的幂级数展开式。
（2）理解
无穷级数的概念，无穷级数敛散性概念，级数收敛的必要条件，绝对收敛与条件收敛的概念，级数与数列的关系。
（3）了解
无穷级数的基本性质，交错级数，幂级数的和的连续性，幂级数的收敛半径和收敛区间，逐项积分与逐项微分的性质，泰勒公式，函数的幂级数的应用，幂级数四则运算的性质，泰勒（Taylor）级数，傅立叶级数的应用。
（4）其它
函数的傅立叶（fourier）级数，奇函数和偶函数的傅立叶（Fourier）级数，函数展开为正弦级数或余弦级数，任意区间上的傅立叶级数，傅立叶级数的复数形式。
函数展开为傅立叶级数的充分条件。
2．能力培养要求
（1）通过学习无穷级数的概念，无穷级数收敛的概念，函数的幂级数展开等知识，使学生认识有限与无限的关系，具有用有限的知识去了解无限知识的科学方法。
（2）学习本章内容使学生对级数具有一定的运算、观察和分析能力。
（3）通过幂级数、傅立叶级数应用例题的教学，使学生初步认识到学习函数展开为幂级数、傅立叶级数的必要性。
（五）空间解析几何
1．知识点和教学要求
（1）掌握
方向余弦，两点间的距离公式，两矢量的夹角，两矢量垂直与平行的条件，平面方程的点法式、一般式、截距式，点到平面的距离，两平面夹角公式，直线方程的对称式、一般式，两直线的夹角公式，直线与平面的夹角公式。
（2）理解
矢量的概念，空间直角坐标系，矢量的线性运算，矢量的数量积、向量积，矢量的模，单位矢量，矢量的分解，矢量的坐标。
（3）了解
矢量在轴上的投影，直线方程的参数式，曲面与曲线方程的概念，球面方程。
（4）其它
空间曲线的参数方程，矢径，母线平行于坐标轴的柱面方程，旋转曲面，椭球面，椭圆抛物面，矢量的混合积。
2．能力培养要求
（1）通过对矢量知识的学习，使学生认识到矢量是解决问题的一种工具。
培养学生矢量的运算能力。
（2）通过对空间解析几何的学习，培养学生从几何直观方面分析和观察问题，解决问题的能力，进一步培养学生的数形结合方面的能力。
（六）多元函数的微积分
1．知识点与教学要求
（1）掌握
偏导数及应用，全微分，二重积分的计算，二元函数极值及条件极值的求法。
（2）理解
多元函数的概念，偏导数与全微分的概念，二元函数极值概念，二重积分的概念，条件极值的概念。
（3）了解
二元函数的几何表示，二元函数的极限与连续性，多元复合函数的求导法则，高阶偏导数，全微分的几何意义，有界闭区域上连续函数的性质，二重积分的性质。
（4）其它
混合偏导数可交换求导次序的条件，全微分存在的充分条件，三重积分的概念，全微分在近似计算中的应用，曲线积分的概念。
2．能力培养要求
（1）在一元函数微积分的基础上，通过对多元函数微积分概念的学习使学生进一步认识导数、微分、积分的概念，培养学生对客观事物深层思考和观察的能力。
（2）通过对多元函数导数、微分、积分方法的学习，进一步培养学生的运算能力和逻辑思维、推理的能力。
（3）通过对偏导数应用，二重积分应用的学习，使学生具有较强的分析解决实际问题的能力。
II技术数学模块
（一）线性代数
1．知识点与教学要求
（1）掌握
行列式的性质、计算，矩阵的运算，矩阵的初等变换，逆矩阵的求法（公式法、初等变换法）。
矩阵秩的求法，用初等变换法解线性方程组。
（2）理解
行列式的概念，矩阵的概念，逆矩阵的概念，矩阵的秩的概念。
（3）了解
行列式的代数余子式，行列式的转置，三角行列式，矩阵的转置，三角矩阵，阶梯形矩阵，行列式与方阵的关系，克莱姆（Cramer）法则，用逆矩阵法解线性方程组。
2．能力培养要求
（1）通过行列式性质、矩阵运算等知识的学习，使学生具有行列式、矩阵基本运算能力，掌握一种新的计算方法，具有更强的解决实际问题的能力。
（2）通过克莱姆法则，用矩阵的逆、初等变换解线性方程组，使学生掌握解线性方程组的新方法，结合计算机，使学生具有对复杂线性方程组的求解能力。
（二）概率初步
1．知识点与教学要求
（1）掌握
古典概型，概率的加法、乘法公式，0-1分布，二项分布，正态分布及其简单应用，数字特征计算。
（2）理解
随机事件，概率及其性质，条件概率，随机变量，概率分布，数字特征。
（3）了解
事件的运算，贝努里（Bernoulli）概型，泊松（S.D.Poisson）分布，均匀分布。
2．能力培养要求
（1）培养学生用随机变量描述随机事件的能力，并具备计算古典概率的能力。
（2）运用数字特征的基本性质分析实际问题的能力。
（三）数理统计初步
1．知识点与教学要求
（1）掌握
样本均值，方差的计算，点估计，区间估计的方法，假设检验的基本步骤。
（2）理解
总体、个体、样本、统计量、点估计，区间估计、假设检验。
（3）了解
常用统计量的分布，一元线性回归分析。
2．能力培养要求
利用观察所得资料对随机变量的数字特征、分布函数等进行估计、分析和推断。
三、学时分配
（一）微积分学部分
序号
教学内容名称
学时分配
理论教学
习题课
小计
1
一元函数微分数
26
2
28
2
一元函数积分学
22
4
26
3
微分方程
6
2
8
4
空间解析几何、矢量代数*
12
2
14
5
多元函数微积分*
16
2
18
总计
54+28*
8+4*
62+32*
（二）技术数学
序号
教学内容名称
学时分配
理论教学
习题课
小计
6
级数*
8
2
10
7
线性代数*
10
2
12
8
概率初步*
14
4
18
9
数理统计*
10
2
12
10
机动
6
4
10
总计
48*
14*
62*
四、几点说明
1．本教学基本要求适用于招收高中毕业生，学制为三年的高等职业技术教育各专业。
2．本课程包括微积分学、技术数学两部分，学时分别为94和62左右。
带*部分根据各专业特点选取不同内容。
3．考核方式：
微积分学中一元函数微分数、一元函数积分学、微分方程以目标控制为主，带*部分以过程控制为主。
4．各教学单元重点、难点、深广度的教学说明
（1）一元函数微分学
重点：
函数的概念和性质，导数的概念和计算，函数极值求法。
难点：
复合函数，极限概念，复合函数导数的计算。
（2）一元函数积分学
重点：
不定积分、定积分的公式，定积分的应用。
难点：
求积分，定积分的概念和应用。
（3）微分方程
重点：
一阶线性微分方程。
难点：
常数变易法。
（4）级数
重点：
常数项级数敛散性的判定。
难点：
将函数展开成幂级数。
（5）解析几何、矢量代数
重点：
矢量概念及用坐标进行矢量运算。
难点：
点、线、面之间的关系。
（6）多元函数微积分
重点：
偏导数、全微分、极值的求法。
难点：
复合函数求偏导，二重积分的定义及积分限的确定，二重积分计算。
（7）线性代数
重点：
行列式、矩阵的运算，初等变换、高斯（Gauss）消元法。
难点：
矩阵的秩，求线性方程组的解。
（8）概率初步
重点：
古典概型、随机变量的概念，正态分布及其简单应用，数字特征。
难点：
概率的加法、乘法公式，随机变量的概念。
（9）数理统计初步
重点：
样本均值方差、计算，区间估计，假设检验。
难点：
区间估计，假设检验。
5．作业
（1）结合讲授内容，加强基本概念和基本公式运用的练习，注意习题的典型性。
（2）题量根据内容选定，以中等程度的学生在1小时左右内完成为宜。
6.推荐教材和参考书目
（1）《应用数学基础》兵器工业出版社李文丰主编
（2）《高等数学》高等教育出版社同济大学应用数学系主编
（3）《高职高专数学教程》高等教育出版社谢国瑞主编
（4）《高等数学》高等教育出版社侯风波主编
（5）《概率论与数理统计》中央广播电视大学出版社李林曙主编
（6）《经济应用数学》重庆大学出版社何良材主编
数学教研室
2004年6月
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