巧用梅涅劳斯定理求解向量的线性相关系数.doc
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巧用梅涅劳斯定理求解向量的线性相关系数
河南平顶山市第三高级中学金小欣467000
一、梅涅劳斯(Menelaus)定理简介:
如果一直线顺次与三角形ABC的三边AB、BC、CA或其延长线交于M、N、K三点,则:
B
K
N
M
A
C
E
。
证明:
过顶点B作AC的平行线与截线交于E,
则有:
,,
∴
M
A
B
N
P
O
对该定理的几点说明:
①证明的方法:
过其中一个顶点作其对边的平行线与截线相交,利用“平行线截线段成比例定理”或相似Δ性质,将其中的两个比例式等价转化。
②定理的实质:
三个比例式的乘积等于1,每一个比例式的三个字母是共线的两个顶点和一个分点;其结构特征为:
,呈现“首尾相接”;整体看,从某一个顶点出发,最后又回到该顶点。
③该定理常与“塞瓦定理”结合使用。
二、梅涅劳斯定理的一个应用例子
题目:
在△OAB的边OA、OB上分别取点M、N,使||∶||=1∶3,||∶||=1∶4,设线段AN与BM交于点P,记=,=,用,表示向量.
先给出高中常规解法(待定系数法)如下:
解法一:
∵B、P、M共线∴记=s
∴--------①
同理,记,得:
=--------②
∵,不共线∴由①、②得解之得:
∴
上述解法的基本思想是:
先设法求出点P分AN、BM的比,理论依据:
一个是教材例题的结论(可作为定理直接使用),一个就是平面向量基本定理。
利用该定理中两个系数的唯一性,得到关于s,t的方程。
由于梅涅劳斯定理、塞瓦定理与比例线段、定比分点有着密切联系,故尝试本题能否用这两个定理来解决。
解法二:
ΔOAN被直线MPB所截,由梅涅劳斯定理,得:
A
B
M
N
P
O
即,
∴∴
或者,ΔOBM被直线NPA所截,得:
∴
可见,只要选对了被截的三角形,用梅涅劳斯定理只列一个式子就可以了,非常便利。
三、用梅涅劳斯定理求解向量线性相关系数的要点总结
以上例为例,经认真思考和实验,其规律性体现为:
欲求P分之比,则考察为一边的三角形被直线所截。
若去掉线段AB,则截线显然为
四、变式练习
(1)题目条件不变,若延长OP与AB交于点D,求向量与的线性关系。
D
A
B
M
N
P
O
分析:
由“塞瓦定理”得:
,即:
∴,下面只要求出P分OD的比即可。
由三之要点,考察POD所在ΔOAD被直线所截,由梅氏定理,
得:
,即:
,
∴.
从而,
(2)题目条件不变,求用的表示式。
(答案:
)
可见,用梅涅劳斯定理可快速得到向量线性相关的相关系数,尤其对于选择、填空题,极大提高了解题速度和质量。
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