21 直线段的扫描转换算法.docx
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21直线段的扫描转换算法
2.1直线段的扫描转换算法
数值微分(DDA)法
设过端点P0(x0,y0)、P1(x1,y1)的直线段为L(P0,P1),则直线段L的斜率 L的起点P0的横坐标x0向L的终点P1的横坐标x1步进,取步长=1(个象素),用L的直线方程y=kx+b计算相应的y坐标,并取象素点(x,round(y))作为当前点的坐标。
因为:
yi+1=kxi+1+b
=k1xi+b+k∆x
=yi+k∆x
所以,当∆x=1;yi+1=yi+k。
也就是说,当x每递增1,y递增k(即直线斜率)。
根据这个原理,我们可以写出DDA画线算法程序。
DDA画线算法程序
voidDDALine(intx0,inty0,intx1,inty1,intcolor)
{intx;
floatdx,dy,y,k;
dx=x1-x0;dy=y1-y0;
k=dy/dx,;y=y0;
for(x=x0;x {drawpixel(x,int(y+0.5),color); y=y+k; }}注意:我们这里用整型变量color表示象素的颜色和灰度。举例:用DDA方法扫描转换连接两点P0(0,0)和P1(5,2)的直线段。xint(y+0.5)y+0.50 0 01 0 0.4+0.52 1 0.8+0.53 1 1.2+0.54 2 1.6+0.5 图2.1.1直线段的扫描转换 注意:上述分析的算法仅适用于|k|≤1的情形。在这种情况下,x每增加1,y最多增加1。当|k|>1时,必须把x,y地位互换,y每增加1,x相应增加1/k。在这个算法中,y与k必须用浮点数表示,而且每一步都要对y进行四舍五入后取整,这使得它不利于硬件实现。 中点画线法 假定直线斜率k在0~1之间,当前象素点为(xp,yp),则下一个象素点有两种可选择点P1(xp+1,yp)或P2(xp+1,yp+1)。若P1与P2的中点(xp+1,yp+0.5)称为M,Q为理想直线与x=xp+1垂线的交点。当M在Q的下方时,则取P2应为下一个象素点;当M在Q的上方时,则取P1为下一个象素点。这就是中点画线法的基本原理。 图2.1.2中点画线法每步迭代涉及的象素和中点示意图 下面讨论中点画线法的实现。过点(x0,y0)、(x1,y1)的直线段L的方程式为F(x,y)=ax+by+c=0,其中,a=y0-y1,b=x1-x0,c=x0y1-x1y0,欲判断中点M在Q点的上方还是下方,只要把M代入F(x,y),并判断它的符号即可。为此,我们构造判别式:d=F(M)=F(xp+1,yp+0.5)=a(xp+1)+b(yp+0.5)+c 当d<0时,M在L(Q点)下方,取P2为下一个象素; 当d>0时,M在L(Q点)上方,取P1为下一个象素; 当d=0时,选P1或P2均可,约定取P1为下一个象素;注意到d是xp,yp的线性函数,可采用增量计算,提高运算效率。 若当前象素处于d≥0情况,则取正右方象素P1(xp+1,yp),要判下一个象素位置,应计算d1=F(xp+2,yp+0.5)=a(xp+2)+b(yp+0.5)=d+a,增量为a。 若d<0时,则取右上方象素P2(xp+1,yp+1)。要判断再下一象素,则要计算d2=F(xp+2,yp+1.5)=a(xp+2)+b(yp+1.5)+c=d+a+b,增量为a+b。画线从(x0,y0)开始,d的初值d0=F(x0+1,y0+0.5)=F(x0,y0)+a+0.5b,因 F(x0,y0)=0,所以d0=a+0.5b。 由于我们使用的只是d的符号,而且d的增量都是整数,只是初始值包含小数。因此,我们可以用2d代替d来摆脱小数,写出仅包含整数运算的算法程序。中点画线算法程序:voidMidpointLine(intx0,inty0,intx1,inty1,intcolor){inta,b,d1,d2,d,x,y; a=y0-y1;b=x1-x0;d=2*a+b; d1=2*a;d2=2*(a+b); x=x0;y=y0; drawpixel(x,y,color); while(x {if(d<0) {x++;y++;d+=d2;} else {x++;d+=d1;} drawpixel(x,y,color); }/*while*/}/*midPointLine*/举例:用中点画线方法扫描转换连接两点P0(0,0)和P1(5,2)的直线段。a=y0-y1=-2;b=x1-x0=5;d0=2*a+b=1;d1=2*a=-4;d2=2*(a+b)=6,xy d00 110 -321 331 -1 42 5 图2.1.3中点画线法52 15问题1:若上述算法往下取二步(∆i=2),则算法和象素的取法将变成怎样?问题2:与DDA法相比,中点法的优点是什么?2.1直线段的扫描转换算法 Bresenham算法 Bresenham算法是计算机图形学领域使用最广泛的直线扫描转换算法。仍然假定直线斜率在0~1之间,该方法类似于中点法,由一个误差项符号决定下一个象素点。 算法原理如下:过各行各列象素中心构造一组虚拟网格线。按直线从起点到终点的顺序计算直线与各垂直网格线的交点,然后确定该列象素中与此交点最近的象素。该算法的巧妙之处在于采用增量计算,使得对于每一列,只要检查一个误差项的符号,就可以确定该列的所求象素。 如图2.1.4所示,设直线方程为yi+1=yi+k(xi+1-xi)+k。假设列坐标象素已经确定为xi,其行坐标为yi。那么下一个象素的列坐标为xi+1,而行坐标要么为yi,要么递增1为yi+1。是否增1取决于误差项d的值。误差项d的初值d0=0,x坐标每增加1,d的值相应递增直线的斜率值k,即d=d+k。一旦 d≥1,就把它减去1,这样保证d在0、1之间。当d≥0.5时,直线与垂线x=xi+1交点最接近于当前象素(xi,yi)的右上方象素(xi+1,yi+1);而当d<0.5时,更接近于右方象素(xi+1,yi)。为方便计算,令e=d-0.5,e的初值为-0.5,增量为k。当e≥0时,取当前象素(xi,yi)的右上方象素(xi+1,yi+1);而当e<0时,取(xi,yi)右方象素(xi+1,yi)。图2.1.4Bresenham算法所用误差项的几何含义 Bresenham画线算法程序:voidBresenhamline(intx0,inty0,intx1,inty1,intcolor){intx,y,dx,dy; floatk,e; dx=x1-x0;dy=y1-y0;k=dy/dx; e=-0.5;x=x0,;y=y0; for(i=0;i {drawpixel(x,y,color); x=x+1;e=e+k; if(e≥0) {y++;e=e-1;} }}举例:用Bresenham方法扫描转换连接两点P0(0,0)和P1(5,2)的直线段。xye00-0.510-0.121-0.731-0.342-0.9 图2.1.5Bresenham算法52-0.5 上述Bresenham算法在计算直线斜率与误差项时用到小数与除法。可以改用整数以避免除法。由于算法中只用到误差项的符号,因此可作如下替换:2*e*dx。 改进的Bresenham画线算法程序:voidInterBresenhamline(intx0,inty0,intx1,inty1,intcolor){dx=x1-x0,;dy=y1-y0,;e=-dx; x=x0;y=y0; for(i=0;i {drawpixel(x,y,color); x++;e=e+2*dy; if(e≥0){y++;e=e-2*dx;} }}2.2圆弧的扫描转换算法圆的特征 圆被定义为到给定中心位置(xc,yc)距离为r的点集。圆心位于原点的圆有四条对称轴x=0,y=0,x=y和x=-y。若已知圆弧上一点(x,y),可以得到其关于四条对称轴的其它7个点,这种性质称为圆的八对称性。因此,只要扫描转换八分之一圆弧,就可以求出整个圆弧的象素集。显示圆弧上的八个对称点的算法:voidCirclePoints(intx,inty,intcolor){drawpixel(x,y,color);drawpixel(y,x,color); drawpixel(-x,y,color);drawpixel(y,-x,color); drawpixel(x,-y,color);drawpixel(-y,x,color); drawpixel(-x,-y,color);drawpixel(-y,-x,color);}2.2圆弧的扫描转换算法中点画圆法 如果我们构造函数F(x,y)=x2+y2-R2,则对于圆上的点有F(x,y)=0,对于圆外的点有F(x,y)>0,对于圆内的点F(x,y)<0。与中点画线法一样,构造判别式:d=F(M)=F(xp+1,yp-0.5)=(xp+1)2+(yp-0.5)2-R2若d<0,则应取P1为下一象素,而且再下一象素的判别式为:d=F(xp+2,yp-0.5)=(xp+2)2+(yp-0.5)2-R2=d+2xp+3若d≥0,则应取P2为下一象素,而且下一象素的判别式为d=F(xp+2,yp-1.5)=(xp+2)2+(yp-1.5)2-R2=d+2(xp-yp)+5我们这里讨论的第一个象素是(0,R),判别式d的初始值为:d0=F(1,R-0.5)=1.25-R图2.2.1当前象素与下一象素的候选者中点画圆算法:MidPointCircle(intrintcolor){intx,y; floatd; x=0;y=r;d=1.25-r; circlepoints(x,y,color); while(x<=y){if(d<0) d+=2*x+3; else {d+=2*(x-y)+5;y--;} x++; circlepoints(x,y,color); }} 为了进一步提高算法的效率,可以将上面的算法中的浮点数改写成整数,将乘法运算改
{drawpixel(x,int(y+0.5),color);
y=y+k;
}
注意:
我们这里用整型变量color表示象素的颜色和灰度。
举例:
用DDA方法扫描转换连接两点P0(0,0)和P1(5,2)的直线段。
xint(y+0.5)y+0.5
0 0 0
1 0 0.4+0.5
2 1 0.8+0.5
3 1 1.2+0.5
4 2 1.6+0.5 图2.1.1直线段的扫描转换
上述分析的算法仅适用于|k|≤1的情形。
在这种情况下,x每增加1,y最多增加1。
当|k|>1时,必须把x,y地位互换,y每增加1,x相应增加1/k。
在这个算法中,y与k必须用浮点数表示,而且每一步都要对y进行四舍五入后取整,这使得它不利于硬件实现。
中点画线法
假定直线斜率k在0~1之间,当前象素点为(xp,yp),则下一个象素点有两种可选择点P1(xp+1,yp)或P2(xp+1,yp+1)。
若P1与P2的中点(xp+1,yp+0.5)称为M,Q为理想直线与x=xp+1垂线的交点。
当M在Q的下方时,则取P2应为下一个象素点;当M在Q的上方时,则取P1为下一个象素点。
这就是中点画线法的基本原理。
图2.1.2中点画线法每步迭代涉及的象素和中点示意图
下面讨论中点画线法的实现。
过点(x0,y0)、(x1,y1)的直线段L的方程式为F(x,y)=ax+by+c=0,其中,a=y0-y1,b=x1-x0,c=x0y1-x1y0,欲判断中点M在Q点的上方还是下方,只要把M代入F(x,y),并判断它的符号即可。
为此,我们构造判别式:
d=F(M)=F(xp+1,yp+0.5)=a(xp+1)+b(yp+0.5)+c
当d<0时,M在L(Q点)下方,取P2为下一个象素;
当d>0时,M在L(Q点)上方,取P1为下一个象素;
当d=0时,选P1或P2均可,约定取P1为下一个象素;
注意到d是xp,yp的线性函数,可采用增量计算,提高运算效率。
若当前象素处于d≥0情况,则取正右方象素P1(xp+1,yp),要判下一个象素位置,应计算d1=F(xp+2,yp+0.5)=a(xp+2)+b(yp+0.5)=d+a,增量为a。
若d<0时,则取右上方象素P2(xp+1,yp+1)。
要判断再下一象素,则要计算d2=F(xp+2,yp+1.5)=a(xp+2)+b(yp+1.5)+c=d+a+b,增量为a+b。
画线从(x0,y0)开始,d的初值d0=F(x0+1,y0+0.5)=F(x0,y0)+a+0.5b,因 F(x0,y0)=0,所以d0=a+0.5b。
由于我们使用的只是d的符号,而且d的增量都是整数,只是初始值包含小数。
因此,我们可以用2d代替d来摆脱小数,写出仅包含整数运算的算法程序。
中点画线算法程序:
voidMidpointLine(intx0,inty0,intx1,inty1,intcolor)
{inta,b,d1,d2,d,x,y;
a=y0-y1;b=x1-x0;d=2*a+b;
d1=2*a;d2=2*(a+b);
x=x0;y=y0;
drawpixel(x,y,color);
while(x {if(d<0) {x++;y++;d+=d2;} else {x++;d+=d1;} drawpixel(x,y,color); }/*while*/}/*midPointLine*/举例:用中点画线方法扫描转换连接两点P0(0,0)和P1(5,2)的直线段。a=y0-y1=-2;b=x1-x0=5;d0=2*a+b=1;d1=2*a=-4;d2=2*(a+b)=6,xy d00 110 -321 331 -1 42 5 图2.1.3中点画线法52 15问题1:若上述算法往下取二步(∆i=2),则算法和象素的取法将变成怎样?问题2:与DDA法相比,中点法的优点是什么?2.1直线段的扫描转换算法 Bresenham算法 Bresenham算法是计算机图形学领域使用最广泛的直线扫描转换算法。仍然假定直线斜率在0~1之间,该方法类似于中点法,由一个误差项符号决定下一个象素点。 算法原理如下:过各行各列象素中心构造一组虚拟网格线。按直线从起点到终点的顺序计算直线与各垂直网格线的交点,然后确定该列象素中与此交点最近的象素。该算法的巧妙之处在于采用增量计算,使得对于每一列,只要检查一个误差项的符号,就可以确定该列的所求象素。 如图2.1.4所示,设直线方程为yi+1=yi+k(xi+1-xi)+k。假设列坐标象素已经确定为xi,其行坐标为yi。那么下一个象素的列坐标为xi+1,而行坐标要么为yi,要么递增1为yi+1。是否增1取决于误差项d的值。误差项d的初值d0=0,x坐标每增加1,d的值相应递增直线的斜率值k,即d=d+k。一旦 d≥1,就把它减去1,这样保证d在0、1之间。当d≥0.5时,直线与垂线x=xi+1交点最接近于当前象素(xi,yi)的右上方象素(xi+1,yi+1);而当d<0.5时,更接近于右方象素(xi+1,yi)。为方便计算,令e=d-0.5,e的初值为-0.5,增量为k。当e≥0时,取当前象素(xi,yi)的右上方象素(xi+1,yi+1);而当e<0时,取(xi,yi)右方象素(xi+1,yi)。图2.1.4Bresenham算法所用误差项的几何含义 Bresenham画线算法程序:voidBresenhamline(intx0,inty0,intx1,inty1,intcolor){intx,y,dx,dy; floatk,e; dx=x1-x0;dy=y1-y0;k=dy/dx; e=-0.5;x=x0,;y=y0; for(i=0;i {drawpixel(x,y,color); x=x+1;e=e+k; if(e≥0) {y++;e=e-1;} }}举例:用Bresenham方法扫描转换连接两点P0(0,0)和P1(5,2)的直线段。xye00-0.510-0.121-0.731-0.342-0.9 图2.1.5Bresenham算法52-0.5 上述Bresenham算法在计算直线斜率与误差项时用到小数与除法。可以改用整数以避免除法。由于算法中只用到误差项的符号,因此可作如下替换:2*e*dx。 改进的Bresenham画线算法程序:voidInterBresenhamline(intx0,inty0,intx1,inty1,intcolor){dx=x1-x0,;dy=y1-y0,;e=-dx; x=x0;y=y0; for(i=0;i {drawpixel(x,y,color); x++;e=e+2*dy; if(e≥0){y++;e=e-2*dx;} }}2.2圆弧的扫描转换算法圆的特征 圆被定义为到给定中心位置(xc,yc)距离为r的点集。圆心位于原点的圆有四条对称轴x=0,y=0,x=y和x=-y。若已知圆弧上一点(x,y),可以得到其关于四条对称轴的其它7个点,这种性质称为圆的八对称性。因此,只要扫描转换八分之一圆弧,就可以求出整个圆弧的象素集。显示圆弧上的八个对称点的算法:voidCirclePoints(intx,inty,intcolor){drawpixel(x,y,color);drawpixel(y,x,color); drawpixel(-x,y,color);drawpixel(y,-x,color); drawpixel(x,-y,color);drawpixel(-y,x,color); drawpixel(-x,-y,color);drawpixel(-y,-x,color);}2.2圆弧的扫描转换算法中点画圆法 如果我们构造函数F(x,y)=x2+y2-R2,则对于圆上的点有F(x,y)=0,对于圆外的点有F(x,y)>0,对于圆内的点F(x,y)<0。与中点画线法一样,构造判别式:d=F(M)=F(xp+1,yp-0.5)=(xp+1)2+(yp-0.5)2-R2若d<0,则应取P1为下一象素,而且再下一象素的判别式为:d=F(xp+2,yp-0.5)=(xp+2)2+(yp-0.5)2-R2=d+2xp+3若d≥0,则应取P2为下一象素,而且下一象素的判别式为d=F(xp+2,yp-1.5)=(xp+2)2+(yp-1.5)2-R2=d+2(xp-yp)+5我们这里讨论的第一个象素是(0,R),判别式d的初始值为:d0=F(1,R-0.5)=1.25-R图2.2.1当前象素与下一象素的候选者中点画圆算法:MidPointCircle(intrintcolor){intx,y; floatd; x=0;y=r;d=1.25-r; circlepoints(x,y,color); while(x<=y){if(d<0) d+=2*x+3; else {d+=2*(x-y)+5;y--;} x++; circlepoints(x,y,color); }} 为了进一步提高算法的效率,可以将上面的算法中的浮点数改写成整数,将乘法运算改
{if(d<0) {x++;y++;d+=d2;}
else {x++;d+=d1;}
}/*while*/
}/*midPointLine*/
用中点画线方法扫描转换连接两点P0(0,0)和P1(5,2)的直线段。
a=y0-y1=-2;b=x1-x0=5;d0=2*a+b=1;d1=2*a=-4;d2=2*(a+b)=6,
xy d
00 1
10 -3
21 3
31 -1
42 5 图2.1.3中点画线法
52 15
问题1:
若上述算法往下取二步(∆i=2),则算法和象素的取法将变成怎样?
问题2:
与DDA法相比,中点法的优点是什么?
Bresenham算法
Bresenham算法是计算机图形学领域使用最广泛的直线扫描转换算法。
仍然假定直线斜率在0~1之间,该方法类似于中点法,由一个误差项符号决定下一个象素点。
算法原理如下:
过各行各列象素中心构造一组虚拟网格线。
按直线从起点到终点的顺序计算直线与各垂直网格线的交点,然后确定该列象素中与此交点最近的象素。
该算法的巧妙之处在于采用增量计算,使得对于每一列,只要检查一个误差项的符号,就可以确定该列的所求象素。
如图2.1.4所示,设直线方程为yi+1=yi+k(xi+1-xi)+k。
假设列坐标象素已经确定为xi,其行坐标为yi。
那么下一个象素的列坐标为xi+1,而行坐标要么为yi,要么递增1为yi+1。
是否增1取决于误差项d的值。
误差项d的初值d0=0,x坐标每增加1,d的值相应递增直线的斜率值k,即d=d+k。
一旦 d≥1,就把它减去1,这样保证d在0、1之间。
当d≥0.5时,直线与垂线x=xi+1交点最接近于当前象素(xi,yi)的右上方象素(xi+1,yi+1);而当d<0.5时,更接近于右方象素(xi+1,yi)。
为方便计算,令e=d-0.5,e的初值为-0.5,增量为k。
当e≥0时,取当前象素(xi,yi)的右上方象素(xi+1,yi+1);而当e<0时,取(xi,yi)右方象素(xi+1,yi)。
图2.1.4Bresenham算法所用误差项的几何含义
Bresenham画线算法程序:
voidBresenhamline(intx0,inty0,intx1,inty1,intcolor)
{intx,y,dx,dy;
floatk,e;
dx=x1-x0;dy=y1-y0;k=dy/dx;
e=-0.5;x=x0,;y=y0;
for(i=0;i {drawpixel(x,y,color); x=x+1;e=e+k; if(e≥0) {y++;e=e-1;} }}举例:用Bresenham方法扫描转换连接两点P0(0,0)和P1(5,2)的直线段。xye00-0.510-0.121-0.731-0.342-0.9 图2.1.5Bresenham算法52-0.5 上述Bresenham算法在计算直线斜率与误差项时用到小数与除法。可以改用整数以避免除法。由于算法中只用到误差项的符号,因此可作如下替换:2*e*dx。 改进的Bresenham画线算法程序:voidInterBresenhamline(intx0,inty0,intx1,inty1,intcolor){dx=x1-x0,;dy=y1-y0,;e=-dx; x=x0;y=y0; for(i=0;i {drawpixel(x,y,color); x++;e=e+2*dy; if(e≥0){y++;e=e-2*dx;} }}2.2圆弧的扫描转换算法圆的特征 圆被定义为到给定中心位置(xc,yc)距离为r的点集。圆心位于原点的圆有四条对称轴x=0,y=0,x=y和x=-y。若已知圆弧上一点(x,y),可以得到其关于四条对称轴的其它7个点,这种性质称为圆的八对称性。因此,只要扫描转换八分之一圆弧,就可以求出整个圆弧的象素集。显示圆弧上的八个对称点的算法:voidCirclePoints(intx,inty,intcolor){drawpixel(x,y,color);drawpixel(y,x,color); drawpixel(-x,y,color);drawpixel(y,-x,color); drawpixel(x,-y,color);drawpixel(-y,x,color); drawpixel(-x,-y,color);drawpixel(-y,-x,color);}2.2圆弧的扫描转换算法中点画圆法 如果我们构造函数F(x,y)=x2+y2-R2,则对于圆上的点有F(x,y)=0,对于圆外的点有F(x,y)>0,对于圆内的点F(x,y)<0。与中点画线法一样,构造判别式:d=F(M)=F(xp+1,yp-0.5)=(xp+1)2+(yp-0.5)2-R2若d<0,则应取P1为下一象素,而且再下一象素的判别式为:d=F(xp+2,yp-0.5)=(xp+2)2+(yp-0.5)2-R2=d+2xp+3若d≥0,则应取P2为下一象素,而且下一象素的判别式为d=F(xp+2,yp-1.5)=(xp+2)2+(yp-1.5)2-R2=d+2(xp-yp)+5我们这里讨论的第一个象素是(0,R),判别式d的初始值为:d0=F(1,R-0.5)=1.25-R图2.2.1当前象素与下一象素的候选者中点画圆算法:MidPointCircle(intrintcolor){intx,y; floatd; x=0;y=r;d=1.25-r; circlepoints(x,y,color); while(x<=y){if(d<0) d+=2*x+3; else {d+=2*(x-y)+5;y--;} x++; circlepoints(x,y,color); }} 为了进一步提高算法的效率,可以将上面的算法中的浮点数改写成整数,将乘法运算改
{drawpixel(x,y,color);
x=x+1;e=e+k;
if(e≥0)
{y++;e=e-1;}
用Bresenham方法扫描转换连接两点P0(0,0)和P1(5,2)的直线段。
xye
00-0.5
10-0.1
21-0.7
31-0.3
42-0.9 图2.1.5Bresenham算法
52-0.5
上述Bresenham算法在计算直线斜率与误差项时用到小数与除法。
可以改用整数以避免除法。
由于算法中只用到误差项的符号,因此可作如下替换:
2*e*dx。
改进的Bresenham画线算法程序:
voidInterBresenhamline(intx0,inty0,intx1,inty1,intcolor)
{dx=x1-x0,;dy=y1-y0,;e=-dx;
x=x0;y=y0;
for(i=0;i {drawpixel(x,y,color); x++;e=e+2*dy; if(e≥0){y++;e=e-2*dx;} }}2.2圆弧的扫描转换算法圆的特征 圆被定义为到给定中心位置(xc,yc)距离为r的点集。圆心位于原点的圆有四条对称轴x=0,y=0,x=y和x=-y。若已知圆弧上一点(x,y),可以得到其关于四条对称轴的其它7个点,这种性质称为圆的八对称性。因此,只要扫描转换八分之一圆弧,就可以求出整个圆弧的象素集。显示圆弧上的八个对称点的算法:voidCirclePoints(intx,inty,intcolor){drawpixel(x,y,color);drawpixel(y,x,color); drawpixel(-x,y,color);drawpixel(y,-x,color); drawpixel(x,-y,color);drawpixel(-y,x,color); drawpixel(-x,-y,color);drawpixel(-y,-x,color);}2.2圆弧的扫描转换算法中点画圆法 如果我们构造函数F(x,y)=x2+y2-R2,则对于圆上的点有F(x,y)=0,对于圆外的点有F(x,y)>0,对于圆内的点F(x,y)<0。与中点画线法一样,构造判别式:d=F(M)=F(xp+1,yp-0.5)=(xp+1)2+(yp-0.5)2-R2若d<0,则应取P1为下一象素,而且再下一象素的判别式为:d=F(xp+2,yp-0.5)=(xp+2)2+(yp-0.5)2-R2=d+2xp+3若d≥0,则应取P2为下一象素,而且下一象素的判别式为d=F(xp+2,yp-1.5)=(xp+2)2+(yp-1.5)2-R2=d+2(xp-yp)+5我们这里讨论的第一个象素是(0,R),判别式d的初始值为:d0=F(1,R-0.5)=1.25-R图2.2.1当前象素与下一象素的候选者中点画圆算法:MidPointCircle(intrintcolor){intx,y; floatd; x=0;y=r;d=1.25-r; circlepoints(x,y,color); while(x<=y){if(d<0) d+=2*x+3; else {d+=2*(x-y)+5;y--;} x++; circlepoints(x,y,color); }} 为了进一步提高算法的效率,可以将上面的算法中的浮点数改写成整数,将乘法运算改
x++;e=e+2*dy;
if(e≥0){y++;e=e-2*dx;}
2.2圆弧的扫描转换算法
圆的特征
圆被定义为到给定中心位置(xc,yc)距离为r的点集。
圆心位于原点的圆有四条对称轴x=0,y=0,x=y和x=-y。
若已知圆弧上一点(x,y),可以得到其关于四条对称轴的其它7个点,这种性质称为圆的八对称性。
因此,只要扫描转换八分之一圆弧,就可以求出整个圆弧的象素集。
显示圆弧上的八个对称点的算法:
voidCirclePoints(intx,inty,intcolor)
{drawpixel(x,y,color);drawpixel(y,x,color);
drawpixel(-x,y,color);drawpixel(y,-x,color);
drawpixel(x,-y,color);drawpixel(-y,x,color);
drawpixel(-x,-y,color);drawpixel(-y,-x,color);
中点画圆法
如果我们构造函数F(x,y)=x2+y2-R2,则对于圆上的点有F(x,y)=0,对于圆外的点有F(x,y)>0,对于圆内的点F(x,y)<0。
与中点画线法一样,构造判别式:
d=F(M)=F(xp+1,yp-0.5)=(xp+1)2+(yp-0.5)2-R2
若d<0,则应取P1为下一象素,而且再下一象素的判别式为:
d=F(xp+2,yp-0.5)=(xp+2)2+(yp-0.5)2-R2=d+2xp+3
若d≥0,则应取P2为下一象素,而且下一象素的判别式为
d=F(xp+2,yp-1.5)=(xp+2)2+(yp-1.5)2-R2=d+2(xp-yp)+5
我们这里讨论的第一个象素是(0,R),判别式d的初始值为:
d0=F(1,R-0.5)=1.25-R
图2.2.1当前象素与下一象素的候选者
中点画圆算法:
MidPointCircle(intrintcolor)
{intx,y;
floatd;
x=0;y=r;d=1.25-r;
circlepoints(x,y,color);
while(x<=y)
{if(d<0) d+=2*x+3;
else {d+=2*(x-y)+5;y--;}
x++;
为了进一步提高算法的效率,可以将上面的算法中的浮点数改写成整数,将乘法运算改
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