概率论和数理统计复旦大学课后题答案1.docx

概率论和数理统计复旦大学课后题答案1.docx

《概率论和数理统计复旦大学课后题答案1.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《概率论和数理统计复旦大学课后题答案1.docx（21页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。

概率论和数理统计复旦大学课后题答案1

1概率论与数理统计习题及答案

习题一

1．略.见教材习题参考答案.

2.设A，B，C为三个事件，试用A，B，C的运算关系式表示以下事件：

（1）A发生，B，C都不发生；

（2）A与B发生，C不发生；

（3）A，B，C都发生；

（4）A，B，C至少有一个发生；

（5）A，B，C都不发生；

（6）A，B，C不都发生；

（7）A，B，C最多有2个发生；

（8）A，B，C至少有2个发生.

【解】

（1）A

（2）AB（3）ABC

（4）A∪B∪C=C∪B∪A∪BC∪AC∪AB∪ABC=

（5）=（6）

（7）BC∪AC∪AB∪C∪A∪B∪==∪∪

（8）AB∪BC∪CA=AB∪AC∪BC∪ABC

3.略.见教材习题参考答案

4.设A，B为随机事件，且P（A）=,P（A-B）=，求P（）.

【解】P（）=1-P（AB）=1-[P（A）-P（A-B）]

=1-[-]=

5.设A，B是两事件，且P（A）=,P（B）=,求：



（1）在什么条件下P（AB）取到最大值？



（2）在什么条件下P（AB）取到最小值？

【解】

（1）当AB=A时，P（AB）取到最大值为.

（2）当A∪B=Ω时，P（AB）取到最小值为.

6.设A，B，C为三事件，且P（A）=P（B）=1/4，P（C）=1/3且P（AB）=P（BC）=0，P（AC）=1/12，求A，B，C至少有一事件发生的概率.

【解】P（A∪B∪C）=P（A）+P（B）+P（C）-P（AB）-P（BC）-P（AC）+P（ABC）

=++-=

7.从52张扑克牌中任意掏出13张，问有5张黑桃，3张红心，3张方块，2张梅花的概率是多少？

【解】p=

8.对一个五人学习小组考虑生日问题：

（1）求五个人的生日都在礼拜日的概率；

（2）求五个人的生日都不在礼拜日的概率；

（3）求五个人的生日不都在礼拜日的概率.

【解】

（1）设A1={五个人的生日都在礼拜日}，大体事件总数为75，有利事件仅1个，故

P（A1）==（）5（亦可用独立性求解，下同）

（2）设A2={五个人一辈子日都不在礼拜日}，有利事件数为65，故

P（A2）==（）5

（3）设A3={五个人的生日不都在礼拜日}

P（A3）=1-P（A1）=1-（）5

9.略.见教材习题参考答案.

10.一批产品共N件，其中M件正品.从中随机地掏出n件（n



（1）n件是同时掏出的；

（2）n件是无放回逐件掏出的；

（3）n件是有放回逐件掏出的.

【解】

（1）P（A）=

（2）由于是无放回逐件掏出，可用排列法计算.样本点总数有种，n次抽取中有m次为正品的组合数为种.关于固定的一种正品与次品的抽取顺序，从M件正品中取m件的排列数有种，从N-M件次品中取n-m件的排列数为种，故

P（A）=

由于无放回慢慢抽取也能够看成一次掏出，故上述概率也可写成

P（A）=

能够看出，用第二种方式简便得多.

（3）由于是有放回的抽取，每次都有N种取法，故所有可能的取法总数为Nn种，n次抽取中有m次为正品的组合数为种，关于固定的一种正、次品的抽取顺序，m次取得正品，都有M种取法，共有Mm种取法，n-m次取得次品，每次都有N-M种取法，共有（N-M）n-m种取法，故

此题也可用贝努里概型，共做了n重贝努里实验，每次取得正品的概率为，那么取得m件正品的概率为

11.略.见教材习题参考答案.

12.50只铆钉随机地取来用在10个部件上，其中有3个铆钉强度太弱.每一个部件用3只铆钉.假设将3只强度太弱的铆钉都装在一个部件上，那么那个部件强度就太弱.求发生一个部件强度太弱的概率是多少？

【解】设A={发生一个部件强度太弱}

13.一个袋内装有大小相同的7个球，其中4个是白球，3个是黑球，从中一次抽取3个，计算至少有两个是白球的概率.

【解】设Ai={恰有i个白球}（i=2,3），显然A2与A3互斥.

故

14.有甲、乙两批种子，发芽率别离为和，在两批种子中各随机取一粒，求：

（1）两粒都发芽的概率；

（2）至少有一粒发芽的概率；

（3）恰有一粒发芽的概率.

【解】设Ai={第i批种子中的一粒发芽}，（i=1,2）

（1）

（2）

（3）

15.掷一枚均匀硬币直到显现3次正面才停止.

（1）问正好在第6次停止的概率；

（2）问正好在第6次停止的情形下，第5次也是显现正面的概率.

【解】

（1）

（2）

16.甲、乙两个篮球运动员，投篮命中率别离为及，每人各投了3次，求二人进球数相等的概率.

【解】设Ai={甲进i球}，i=0,1,2,3,Bi={乙进i球},i=0,1,2,3,那么

=

17．从5双不同的鞋子中任取4只，求这4只鞋子中至少有两只鞋子配成一双的概率.

【解】

18.某地某天下雪的概率为，下雨的概率为，既下雪又下雨的概率为,求：

（1）在下雨条件下下雪的概率；

（2）此日下雨或下雪的概率.

【解】设A={下雨}，B={下雪}.

（1）

（2）

19.已知一个家庭有3个小孩，且其中一个为女孩，求至少有一个男孩的概率（小孩为男为女是等可能的）.

【解】设A={其中一个为女孩}，B={至少有一个男孩}，样本点总数为23=8，故

或在缩减样本空间中求，现在样本点总数为7.

20.已知5%的男人和%的女人是色盲，现随机地挑选一人，这人恰为色盲，问这人是男人的概率（假设男人和女人各占人数的一半）.

【解】设A={这人是男人}，B={这人是色盲}，那么由贝叶斯公式

21.两人约定上午9∶00~10∶00在公园会面，求一人要等另一人半小时以上的概率.

题21图题22图

【解】设两人抵达时刻为x,y,那么0≤x,y≤60.事件“一人要等另一人半小时以上”等价于|x-y|>30.如图阴影部份所示.

22.从（0，1）中随机地取两个数，求：

（1）两个数之和小于的概率；

（2）两个数之积小于的概率.

【解】设两数为x,y，那么0

（1）x+y<.

（2）xy=<.

23.设P（）=,P（B）=,P（A）=，求P（B｜A∪）

【解】

24.在一个盒中装有15个乒乓球，其中有9个新球，在第一次竞赛中任意掏出3个球，竞赛后放回原盒中；第二次竞赛一样任意掏出3个球，求第二次掏出的3个球均为新球的概率.

【解】设Ai={第一次掏出的3个球中有i个新球}，i=0,1,2,={第二次掏出的3球均为新球}

由全概率公式，有

25.按以往概率论考试结果分析，尽力学习的学生有90%的可能考试合格，不尽力学习的学生有90%的可能考试不合格.据调查，学生中有80%的人是尽力学习的，试问：

（1）考试合格的学生有多大可能是不尽力学习的人？

（2）考试不合格的学生有多大可能是尽力学习的人？

【解】设A={被调查学生是尽力学习的}，那么={被调查学生是不尽力学习的}.由题意知P（A）=，P（）=，又设B={被调查学生考试合格}.由题意知P（B|A）=，P（|）=，故由贝叶斯公式知

（1）

即考试合格的学生中不尽力学习的学生仅占%

（2）

即考试不合格的学生中尽力学习的学生占%.

26.将两信息别离编码为A和B传递出来，接收站收到时，A被误收作B的概率为，而B被误收作A的概率为.信息A与B传递的频繁程度为2∶1.假设接收站收到的信息是A，试问原发信息是A的概率是多少？

【解】设A={原发信息是A}，那么={原发信息是B}

C={收到信息是A}，那么={收到信息是B}

由贝叶斯公式，得

27.在已有两个球的箱子中再放一白球，然后任意掏出一球，假设发觉这球为白球，试求箱子中原有一白球的概率（箱中原有什么球是等可能的颜色只有黑、白两种）

【解】设Ai={箱中原有i个白球}（i=0,1,2），由题设条件知P（Ai）=,i=0,1,2.又设B={抽出一球为白球}.由贝叶斯公式知

28.某工厂生产的产品中96%是合格品，检查产品时，一个合格品被误以为是次品的概率为，一个次品被误以为是合格品的概率为，求在被检查后以为是合格品产品确是合格品的概率.

【解】设A={产品确为合格品}，B={产品被以为是合格品}

由贝叶斯公式得

29.某保险公司把被保险人分为三类：

“谨慎的”，“一样的”，“莽撞的”.统计资料说明，上述三种人在一年内发生事故的概率依次为,和；若是“谨慎的”被保险人占20%，“一样的”占50%，“莽撞的”占30%，现知某被保险人在一年内出了事故，那么他是“谨慎的”的概率是多少？

【解】设A={该客户是“谨慎的”}，B={该客户是“一样的”}，

C={该客户是“莽撞的”}，D={该客户在一年内出了事故}

那么由贝叶斯公式得

30.加工某一零件需要通过四道工序，设第一、二、三、四道工序的次品率别离为,,,，假定各道工序是彼此独立的，求加工出来的零件的次品率.

【解】设Ai={第i道工序出次品}（i=1,2,3,4）.

31.设每次射击的命中率为，问至少必需进行多少次独立射击才能使至少击中一次的概率不小于?

【解】设必需进行n次独立射击.

即为

故n≥11

至少必需进行11次独立射击.

32.证明：

假设P（A｜B）=P（A｜），那么A，B彼此独立.

【证】即

亦即

因此

故A与B彼此独立.

33.三人独立地破译一个密码，他们能破译的概率别离为，，，求将此密码破译出的概率.

【解】设Ai={第i人能破译}（i=1,2,3），那么

34.甲、乙、丙三人独立地向同一飞机射击，设击中的概率别离是,,，假设只有一人击中，那么飞机被击落的概率为；假设有两人击中，那么飞机被击落的概率为；假设三人都击中，那么飞机必然被击落，求：

飞机被击落的概率.

【解】设A={飞机被击落}，Bi={恰有i人击中飞机}，i=0,1,2,3

由全概率公式，得

=××+××+××+

××+××+××+××

=

35.已知某种疾病患者的痊愈率为25%，为实验一种新药是不是有效，把它给10个病人服用，且规定假设10个病人中至少有四人治好那么以为这种药有效，反之那么以为无效，求：

（1）尽管新药有效，且把治愈率提高到35%，但通过实验被否定的概率.

（2）新药完全无效，但通过实验被以为有效的概率.

【解】

（1）

（2）

36.一架起落机开始时有6位乘客，并等可能地停于十层楼的每一层.试求以下事件的概率：

（1）A=“某指定的一层有两位乘客离开”；

（2）B=“没有两位及两位以上的乘客在同一层离开”；

（3）C=“恰有两位乘客在同一层离开”；

（4）D=“至少有两位乘客在同一层离开”.

【解】由于每位乘客都可在10层楼中的任一层离开，故所有可能结果为106种.

（1），也可由6重贝努里模型：

（2）6个人在十层中任意六层离开，故

（3）由于没有规定在哪一层离开，故可在十层中的任一层离开，有种可能结果，再从六人当选二人在该层离开，有种离开方式.其余4人中不能再有两人同时离开的情形，因此可包括以下三种离开方式：

①4人中有3个人在同一层离开，另一人在其余8层中任一层离开，共有种可能结果；②4人同时离开，有种可能结果；③4个人都不在同一层离开，有种可能结果，故

（4）D=.故

37.n个朋友随机地围绕圆桌而坐