镜像法及其应用.docx

镜像法及其应用.docx

《镜像法及其应用.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《镜像法及其应用.docx（17页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。

镜像法及其应用

镜像法

在静电场中，如果在所考虑的区域内没有自由电荷分布时，可用拉普拉斯方程求解场分布；如果在所考虑的区域内有自由电荷分布时，可用泊松方程求解场分布。

如果在所考虑的区域内只有一个或者几个点电荷，区域边界是导体或介质界面时，一般情况下，直接求解这类问题比较困难，通常可采用一种特殊方法—镜象法来求解这类问题。

镜像法是直接建立在唯一性定理基础上的一种求解静电场问题的方法。

适用于解决导体或介质边界前存在点源或线源的一些特殊问题。

镜像法的特点是不直接求解电位函数所满足的泊松或拉普拉斯方程，而是在所求区域外用简单的镜像电荷代替边界面上的感应电荷或极化电荷。

根据唯一性定理，如果引入镜像电荷后，原求解区域所满足的泊松或拉普拉斯方程和边界条件不变，该问题的解就是原问题的解。

下面我们举例说明。

1导体平面的镜像

例.1在无限大的接地导电平面上方h处有一个点电荷q，如图3.2.1所示，求导电平板上方空间的电位分布。

解建立直角坐标系。

此电场问题的待求场区为z0；场区的源是电量为q位于P（0,0,h）点的点电荷，边界为xy面，由于导电面延伸到无限远，其边界条件为xy面上电位为零。

图3.2.1导电平面上方的点电荷

但感应电荷是未

导电平板上场区的电位是由点电荷以及导电平面上的感应电荷产生的，知的，因此，无法直接利用感应电荷进行计算。

现在考虑另一种情况，空间中有两个点电荷q和q，分别位于P（0,0,h）和点P（0,0,h），使得xy面的电位为零，如图3.2.2。

这种情况，对于z0的空间区域，电荷分布与边界条件都与前一种情况相同，根据唯一性定理，这两种情况z0区域的电位是相同的。

也就是说，可以通过后一种情况中的两个点电荷来计算前种问题的待求场。

对比这两种情况，对z0区域的场来说，后一种情况位于P（0,0,h）点的点电荷与前一种情况导电面上的感应电荷是等效的。

由于这个等效的点电荷与待求场区的点电荷相对于边界面是镜像对称的，所以这个等效的点电荷称为镜像电荷，这种通过场区之内的电荷与其在待求场区域之外的镜像电荷来进行计算电场的方法称为镜像法。

需要特别强调，镜像法只是对特定的区域才有效，镜像电荷一定是位于有效的场区之外。

现在回到本例中来，所求场区的电位应满足以下方程：

边界条件为：

R时，式（3.5），因此新系统对边界条件（3.3）自然满足。

同时，式（3.5）也满足式（3.4）的边界条件。

在z0的区域内的电位为

q（11

40RR

式（3.6）既满足方程（3.2），又满足边界条件式（3.3）、（3.4），由解的唯一性定理可知，它就是原问题所求的电位解。

为了更好地理解镜像法的物理含意，我们对此例再稍加讨论。

由式（3.6）可求出上半空间的电场为

在z0的平面上，ExEy0，只有Ez即法向电场分量En存在，亦即

上式表明，s在导体表面上并不是均匀分布的，但它的总感应电荷为

感应电荷总量与镜像电荷总量相等。

这一结论是合理的，因为点电荷q所发出的电力线全部终止在无限大的接地导体平面上。

讨论：

1）镜像电荷是一些假想的电荷，它的引入不能改变所研究区域的原有场分布，因此镜像电荷应放在所研究的场区之外。

2）镜像电荷的具体位置与量值大小、符号的确定，应满足给定的边界条件。

不过很多时候是根据界面的情况，先假定像电荷的位置，再由边界条件来决定像电荷的大小。

3）

直角区有一点电荷q，如图3.2.4（a）

既然用镜像电荷代替了感应电荷的作用，因此考虑了镜像电荷后，就认为导体面（或介质面）不存在了，把整个空间看成是无界的均匀空间。

所求区域的电位等于给定电荷所产生的电位和镜像电荷所产生的电位的叠加。

例2两个半无限大的接地导电平面折成一直角区域，所示。

求直角区域中的电位分布。

解建立直角坐标系，使直角导电面与坐标平面相合，并使点电荷位于xy平面，设其坐标

为（a,b,0）。

现在，待求场区为x0,y0的区域，边界面为x0面与y0，在边界面

上电位为零。

容易看出，对于如图3.2.4（b）所示的

空间有相对坐标面对称分布的四个点电荷的情况，在坐标的第一象限与原问题有相同的电荷分布和边界条件。

因此，可通过这四个点电荷求解待求场区的场，即

式中，r1（xa）2（yb）2z2

r2（xa）2（yb）2z2

r3（xa）2（yb）2z2

r4（xa）2（yb）2z2

（n为正n

镜像法不仅可用于以上介绍的导电平面和直角形导电面的情况，所有相交成整数）的两个接地导体平面间的场（n2,3,4,），都可用镜像法求解，其镜像电荷的个数

为2n1。

2导体球面的镜像

d处，计算导电球外的电

例.3有一点电荷q置于半径为a的接地导体球外，距球心距离为

位分布。

示，球外任意点处的电位为

3.9）

qq'

40R40R'

由（3.12）、（3.13）两式可解得

远处。

将（3.14）式代入（3.9）式，即得到球外任意点的电位为

电场强度为E，所以

球面上感应电荷总量为

q（d2a2）a2

22

2d（d2a2）

感应电荷总和与镜像电荷q相等，这与预期的结果一致。

点电荷q所受到的导体球的作用

负号表示为吸力。

讨论：

1）导体球不接地，则此时的边界条件是：

导体球的电位不为零，导体球面为一等位面，而

球面上的净电荷为零。

为满足导体球面的边界条件，如图3.2.6所示，需在球心处再加

上一个像电荷qq，以保持球面仍为等位面。

此时，球外任意点的电位为

在球内d处放一像电荷q，q和球外的q使球面上的电位为零，把电荷量Qaq放d

a在球上，则球面上的感应电荷总量为零，球上的电荷量便为Q了。

根据叠加原理，Qq

d应均匀分布上球面上，对于球外点P，此电荷产生的电位等于它集中在球心所产生的电位，即

图3.2.7均匀电场中导体球的镜像

410（2RQ2rcos2RQ2ra2cos）Rr

2Q2

当R时，E02Q20E0R2

40R2

另一种解法：

这里来研究一个导体球面的镜像问题。

如图所示，

1{22

40r（2R2rR2co

荷（—q`）放在球心O与点电荷q的联线上，且距球心为b。

虽然有

于是，球外任意点P的电位为

荷q，求空间的电场。

设左半空间电位为，右半空间电位为

这里使用这样的镜像系统：

即认为左半空间的场由原来电荷q和在像点的像电荷q`所

产生（这时介电常数的介质布满整个空间）；又认为右半空间的场由位于原来点电荷q处的

像电荷q``单独产生（这时介电常数为的介质布满整个空间）。

故两介质中的电位表达式为

1－80）

1－81）

图3.2.8不接地的空心导体球

q1可用一个镜像电荷q1等效代

1－82）1－83）

例4不接地空心导体球的内、外半径分别为a和b，在空腔内距球心为d1（d1a）处放置

点电荷q1，在球外距球心为d2（d2b）处放置点电荷q2，且q1,q2与球心共线，如图3.2.8所示，求点电荷q1和q2分别受到的电场力。

解由于球壳不接地，点电荷q1在球壳的内表面上感应电荷

为q1，在球壳的外表面上感应电荷为q1；而q2则在球壳的外表面上感应等量异号的电荷。

球壳内表面上的感应电荷

替，球壳外表面上的感应电荷可用三个镜像电荷q2,q2和q1等效代替。

q1受到的电场力等

于q1对q1的作用力，q2受到的电场力则等于q2,q2和q1

对q2的作用力之和。

根据镜像法，内表面上的感应电荷的镜像电荷为

2

'a'a

q1q1，位于d1

d1d1

如图3.2.9所示。

外表面上的感应电荷的镜像电荷为

'b'b

q2q2，位于d2

d2d2

图3.2.9空心导体球内表面的镜像

q2q2，位于d20

d2

q1"q1，位于d1"0

图3.2.10空心导体球外表面的镜

如图3.2.10所示。

点电荷q1受到的静电力为

F1Fq'1q1

ad1q12

222

40（a2d12）2

点电荷q2受到的静电力为

F2Fq"1q2Fq'2q2Fq"2q2

qq1"qq"2qq"2

"2'2"2

40（dd1"）240（dd2'）240（dd2"）2

2

1[q2（bq2d2q1）bd2q2）]

40[d22（d22b2）2]

3．线电荷对导体圆柱面的镜像

例.5在半径为a的无限长接地导体圆柱外有一根与圆柱轴线平行的无限长线电荷，线电荷密度为l，与圆柱轴线的距离为d，求柱外任意点的电位。

解无限长带电直线的电位为

Pllnr1（3.21）

20r

其中r1为带电直线到电位零点的距离,q为带电直线到场点的距离。

图3.2.11线电荷与导体圆柱的镜像

如图3.2.11所示，设镜像线电荷为l，距O点的距离为d，若取B点为无限长线电荷的电位参考点，则有

llnMBllnOB

20R20R

3.23）

3.34）

对于柱面外任意一点P，有

R2d2r22rdcos

R2d2r22rdcos

将式（3.22）、（3.23）、（3.24）代入边界条件（3.21）中，得

ll

da2/d

柱外任一点的电位为

4点电荷对无限大介质平面的镜像

例6在无限空间中有两种介质，介电常数分别为1和2，其分界面为平面s，在上半空间

时，用介质1中的镜像电荷q来代替点电荷q与分界面上的极化电荷，并把整个空间看作

充满介电常数为1的均匀介质，如图3.2.14所示。

在介质1、2中任一点P的电位分别为

上两式联立求解，可得

12

q12qk12q

12

22q（1k12）q

12

电位分别为

第三类边值问题是指所给定的边界条件部分为电位值，部分为电位法向导数值，又称为混合边值问题。

如果边界是导体，则上述三类问题变为：

已知各导体表面的电位；已知各导体的总电量；已知一部分导体表面的电位和另一部分导体的电荷量。

注:

点位即电势。

唯一性定理：

在边值问题的求解中，对于一维问题可以直接用积分方法求解，但是二、三维问题如果用积分求解会变得非常复杂，对于这一类问题一般可采用间接求解方法。

在讨论这些方法之前，需要解决这样一个问题：

满足泊松方程或拉普拉斯方程和给定的边界条件的解是否唯一？

在什么条件下是唯一的？

答案是只有一个唯一解，这就是唯一性定理。

此定理的表述十分简单：

满足泊松方程或拉普拉斯方程及所给的全部边界条件的解是唯一的。

也就是说，若要保证为问题的唯一正确解，必须满足两个条件。

第一，

要满足方程2或20，这是必要条件；

第二，

在整个边界上满足所给定的边界条件。

所谓边界条件包含了边值问题给出的三种情况。