镜像法及其应用.docx

1、镜像法及其应用镜像法在静电场中， 如果在所考虑的区域内没有自由电荷分布时， 可用拉普拉斯方程求解场分 布；如果在所考虑的区域内有自由电荷分布时， 可用泊松方程求解场分布。 如果在所考虑的 区域内只有一个或者几个点电荷， 区域边界是导体或介质界面时， 一般情况下， 直接求解这 类问题比较困难，通常可采用一种特殊方法 镜象法来求解这类问题。镜像法是直接建立在唯一性定理基础上的一种求解静电场问题的方法。 适用于解决导体 或介质边界前存在点源或线源的一些特殊问题。 镜像法的特点是不直接求解电位函数所满足 的泊松或拉普拉斯方程， 而是在所求区域外用简单的镜像电荷代替边界面上的感应电荷或极 化电荷。 根据

2、唯一性定理， 如果引入镜像电荷后， 原求解区域所满足的泊松或拉普拉斯方程 和边界条件不变，该问题的解就是原问题的解。下面我们举例说明。1 导体平面的镜像例.1 在无限大的接地导电平面上方 h 处有一个点电荷 q ，如图 3.2.1 所示，求导电平板上 方空间的电位分布。解 建立直角坐标系。 此电场问题的待求场区为 z 0 ；场区的源是电量为 q 位于 P(0,0, h) 点的点电荷，边界为 xy面，由于导电面延伸到无限远，其边界条件为 xy 面上电位为零。图 3.2.1 导电平面上方的点电荷但感应电荷是未导电平板上场区的电位是由点电荷以及导电平面上的感应电荷产生的， 知的，因此，无法直接利用感

3、应电荷进行计算。现在考虑另一种情况，空间中有两个点电荷 q 和 q ，分别位于 P(0, 0,h )和点 P (0, 0, h )，使得 xy 面的电位为零，如图 3.2.2 。这种情况，对于 z 0 的空间区域，电 荷分布与边界条件都与前一种情况相同，根据唯一性定理，这两种情况 z 0 区域的电位是 相同的。 也就是说， 可以通过后一种情况中的两个点电荷来计算前种问题的待求场。 对比这 两种情况， 对 z 0区域的场来说， 后一种情况位于 P (0,0, h) 点的点电荷与前一种情况导 电面上的感应电荷是等效的。 由于这个等效的点电荷与待求场区的点电荷相对于边界面是镜 像对称的， 所以这个等

4、效的点电荷称为镜像电荷， 这种通过场区之内的电荷与其在待求场区 域之外的镜像电荷来进行计算电场的方法称为镜像法。 需要特别强调， 镜像法只是对特定的 区域才有效，镜像电荷一定是位于有效的场区之外。现在回到本例中来，所求场区的电位应满足以下方程：边界条件为：R 时，式（ 3.5 ） ，因此新系统对边界条件（ 3.3 ）自然满足。同时，式（ 3.5 ） 也满足式（ 3.4 ）的边界条件。在 z 0 的区域内的电位为q (1 14 0 R R式（ 3.6 ）既满足方程（ 3.2 ），又满足边界条件式（ 3.3 ）、（3.4 ），由解的唯一性定理 可知，它就是原问题所求的电位解。为了更好地理解镜像法的

5、物理含意，我们对此例再稍加讨论。由式 （3.6） 可求出上半空 间的电场为在 z 0的平面上， Ex Ey 0，只有 Ez 即法向电场分量 En存在，亦即上式表明， s 在导体表面上并不是均匀分布的，但它的总感应电荷为感应电荷总量与镜像电荷总量相等。 这一结论是合理的， 因为点电荷 q 所发出的电力线全部 终止在无限大的接地导体平面上。讨论：1)镜像电荷是一些假想的电荷，它的引入不能改变所研究区域的原有场分布，因此镜像电 荷应放在所研究的场区之外。2)镜像电荷的具体位置与量值大小、符号的确定，应满足给定的边界条件。不过很多时候 是根据界面的情况，先假定像电荷的位置，再由边界条件来决定像电荷的大

6、小。3)直角区有一点电荷 q ，如图 3.2.4 (a)既然用镜像电荷代替了感应电荷的作用，因此考虑了镜像电荷后，就认为导体面(或介 质面) 不存在了， 把整个空间看成是无界的均匀空间。 所求区域的电位等于给定电荷所产生 的电位和镜像电荷所产生的电位的叠加。例 2 两个半无限大的接地导电平面折成一直角区域， 所示。求直角区域中的电位分布。解 建立直角坐标系，使直角导电面与坐标平面相合，并使点电荷位于 xy 平面，设其坐标为 (a,b,0) 。现在，待求场区为 x 0,y 0的区域，边界面为 x 0面与 y 0 ，在边界面上电位为零。容易看出，对于如图 3.2.4 (b) 所示的空间有相对坐标面

7、对称分布的四个点电荷的情况， 在坐标的第一象限与原问题有相同的电荷分布和边 界条件。因此，可通过这四个点电荷求解待求场区 的场，即式中， r1 (x a)2 (y b)2 z2r2 (x a)2 (y b)2 z2r3 (x a)2 (y b)2 z2r4 (x a)2 (y b)2 z2( n 为正 n镜像法不仅可用于以上介绍的导电平面和直角形导电面的情况，所有相交成 整数 ）的两个接地导体平面间的场 （ n 2,3,4, ），都可用镜像法求解，其镜像电荷的个数为 2n 1 。2 导体球面的镜像d 处， 计算导电球外的电例 .3 有一点电荷 q 置于半径为 a 的接地导体球外， 距球心距离为

8、位分布。示，球外任意点处的电位为3.9)q q4 0R 4 0R由（ 3.12 ）、（3.13 ）两式可解得远处。将（ 3.14 ）式代入（ 3.9 ）式，即得到球外任意点的电位为电场强度为 E ，所以球面上感应电荷总量为q( d2 a2)a 2222 d(d 2 a2)感应电荷总和与镜像电荷 q 相等，这与预期的结果一致。点电荷 q 所受到的导体球的作用负号表示为吸力。讨论：1） 导体球不接地，则此时的边界条件是：导体球的电位不为零，导体球面为一等位面，而球面上的净电荷为零。为满足导体球面的边界条件，如图 3.2.6 所示，需在球心处再加上一个像电荷 q q ，以保持球面仍为等位面。此时，球

9、外任意点的电位为在球内 d 处放一像电荷 q ， q 和球外的 q 使球面上的电位为零，把电荷量 Q a q 放 da 在球上，则球面上的感应电荷总量为零，球上的电荷量便为 Q 了。根据叠加原理， Q qd 应均匀分布上球面上，对于球外点 P ，此电荷产生的电位等于它集中在球心所产生的电位， 即图 3.2.7 均匀电场中导体球的镜像4 1 0 ( 2RQ2 r cos 2RQ2 ra2 cos ) R r2Q 2当 R 时， E0 2 Q 2 0 E0 R24 0R2另一种解法：这里来研究一个导体球面的镜像问题。如图所示，1 2 24 0 r( 2 R 2 rR2 c o荷( q)放在球心 O

10、 与点电荷 q 的联线上，且距球心为 b。虽然有于是，球外任意点 P 的电位为荷 q，求空间的电场。设左半空间电位为 ，右半空间电位为这里使用这样的镜像系统：即认为左半空间的场由原来电荷 q 和在像点的像电荷 q所产生 (这时介电常数 的介质布满整个空间 )；又认为右半空间的场由位于原来点电荷 q处的像电荷 q单独产生 (这时介电常数为 的介质布满整个空间 ) 。故两介质中的电位表达式为1 80)1 81)图 3.2.8 不接地的空心导体球q1 可用一个镜像电荷 q1 等效代1 82) 1 83)例 4 不接地空心导体球的内、外半径分别为 a 和 b ，在空腔内距球心为 d1(d1 a) 处放

11、置点电荷 q1 ，在球外距球心为 d2(d2 b)处放置点电荷 q2 ， 且 q1 , q2与球心共线，如图 3.2.8 所示， 求点电荷 q1和 q2 分 别受到的电场力。解 由于球壳不接地， 点电荷 q1 在球壳的内表面上感应电荷为 q1 ，在球壳的外表面上感应电荷为 q1 ；而q2 则在球壳的 外表面上感应等量异号的电荷。球壳内表面上的感应电荷替，球壳外表面上的感应电荷可用三个镜像电荷 q2 , q2和q1 等效代替。 q1受到的电场力等于 q1 对 q1的作用力， q2受到的电场力则等于 q2, q2和q1对 q2 的作用力之和。根据镜像法，内表面上的感应电荷的镜像电荷为2 a aq1

12、 q1 ，位于 d1d1 d1如图 3.2.9 所示。外表面上的感应电荷的镜像电荷为 b bq2 q2 ，位于 d2d2 d2图 3.2.9 空心导体球内表面的镜像q2 q2 ，位于 d2 0d2q1 q1 ，位于 d1 0图 3.2.10 空心导体球外表面的镜如图 3.2.10 所示。点电荷 q1 受到的静电力为F1 Fq1 q1ad1q122 2 24 0 (a2 d12)2点电荷 q2 受到的静电力为F2 Fq1 q2 Fq2 q2 Fq2 q2qq1 qq2 qq2 2 2 24 0(d d1)2 4 0(d d2 )2 4 0(d d2 )221 q2 (bq2 d2q1) bd2q

13、2 ) 4 0 d22 (d22 b2)2 3线电荷对导体圆柱面的镜像例.5 在半径为 a 的无限长接地导体圆柱外有一根与圆柱轴线平行的无限长线电荷， 线电荷 密度为 l ，与圆柱轴线的距离为 d ，求柱外任意点的电位。解 无限长带电直线的电位为P l ln r1 (3.21 )2 0 r其中 r1为带电直线到电位零点的距离 , q 为带电直线到场点的距离。图 3.2.11 线电荷与导体圆柱的镜像如图 3.2.11 所示，设镜像线电荷为 l ，距 O点的距离为 d ，若取 B 点为无限长线电 荷的电位参考点，则有l ln MB l ln OB2 0 R 2 0 R3.23 )3.34 )对于柱

14、面外任意一点 P ，有R2 d2 r 2 2rd cosR2 d 2 r2 2rd cos将式( 3.22 )、( 3.23 )、(3.24 )代入边界条件( 3.21 )中，得lld a2 /d柱外任一点的电位为4 点电荷对无限大介质平面的镜像例 6 在无限空间中有两种介质， 介电常数分别为 1和 2 ，其分界面为平面 s，在上半空间时，用介质 1 中的镜像电荷 q 来代替点电荷 q 与分界面上的极化电荷，并把整个空间看作充满介电常数为 1的均匀介质，如图 3.2.14 所示。在介质 1、2 中任一点 P 的电位分别为上两式 联立求解，可得12q 1 2 q k12q122 2 q (1 k

15、12 )q12电位分别为第三类边值问题是指所给定的边界条件部分为电位值，部分为电位法向导数值，又 称为混合边值问题。如果边界是导体， 则上述三类问题变为： 已知各导体表面的电位； 已知各导体的总电量； 已知一部分导体表面的电位和另一部分导体的电荷量。注: 点位即电势。唯一性定理：在边值问题的求解中， 对于一维问题可以直接用积分方法求解， 但是二、 三维问题如果 用积分求解会变得非常复杂， 对于这一类问题一般可采用间接求解方法。 在讨论这些方法之 前，需要解决这样一个问题：满足泊松方程或拉普拉斯方程和给定的边界条件的解是否唯 一？在什么条件下是唯一的？答案是只有一个唯一解， 这就是唯一性定理。 此定理的表述十 分简单：满足泊松方程或拉普拉斯方程及所给的全部边界条件的解 是唯一的。也就是说，若要保证 为问题的唯一正确解， 必须满足两个条件。第一，要满足方程 2 或 2 0 ，这是必要条件；第二，在整个边界上满足所给定的边界条件。所谓边界条件包含了边值问题给出的三 种情况。