正向思维与逆向思维.docx
《正向思维与逆向思维.docx》由会员分享,可在线阅读,更多相关《正向思维与逆向思维.docx(11页珍藏版)》请在冰豆网上搜索。
![正向思维与逆向思维.docx](https://file1.bdocx.com/fileroot1/2023-4/28/d03c55bd-d090-48f1-8795-5cb7bff1a625/d03c55bd-d090-48f1-8795-5cb7bff1a6251.gif)
正向思维与逆向思维
正向思维与逆向思维
数学思维能力培养系列谈③
正向思维与逆向思维
厦门第一中学郑辉龙姚丽萍
一、正向思维与逆向思维
正向思维是指按常规习惯去分析问题,按常规进程进行思考、推测,是一种从已知进到未知的逻辑顺序来揭示问题本质的思维方法。
正向思维与逆向思维只是相对而言的,逆向思维是指背逆人们的习惯路线行进的思维。
听过“1美元”的故事吗?
一天,犹太富翁哈德走进纽约花旗银行的贷款部。
看到这位气度非凡的绅士,贷款部的经理不敢怠慢,赶紧招呼:
“先生,您有什么事情需要我帮忙的吗?
”“哦,我想借些钱。
”“好啊,你要借多少?
”“1美元。
”“只需要1美元?
”“不错,只借1美元,可以吗?
”“当然可以,像您这样的绅士,只要有担保多借点也可以。
”“那这些担保可以吗?
”犹太
方程的定义“求出”结果,仅有少数“偷懒”的学生逆用定义带入验证---观察口算即可获解。
(2)逆用公式。
在公式教学中应让学生明白:
所有公式都是恒等式,都可以逆用。
案例2:
简便计算
(1)
(2)
。
点评:
两道类型题摆在一起,明显结果是:
学生做题
(1)很顺,做题
(2)困难,原因在于对平方差公式a2-b2=(a+b)(a-b)的逆用感觉“不习惯”。
(3)逆用法则。
法则就是规律,中学数学法则大多数是可以用等式表达的运算规律,同样关注其逆用。
例如幂的运算法则用数学符号语言可表示为四个恒等式:
am·an=am+n,am÷an=am-n,(am)n=amn,(ab)m=am·bm。
案例3:
(1)计算:
(0.25)100·(-2)200;
(2)已知2m=a,32n=b,求23m+10n;
(3)已知
,
,求
。
点评:
这里的三道小题,需要学生熟练地逆用上述四个法则。
在试题命制中,经验告诉我们,凡仅仅顺用这些法则就够的题肯定是普遍都会的“送分题”,反之,只要涉及逆用这些法则的题都会成为有一定区分度的“中档题”。
事实上,只要适度的训练,提升逆向思维能力,所谓中档题也是可以转化为送分题的。
(4)注重逆命题教学。
在逆定理教学中,首先让学生明白:
不是每个定理都有逆定理的。
最经典的是“对顶角相等”就没有逆定理。
在此基础上,采用“矫枉过正”策略---偏重逆定理的应用。
在定理(包括其他命题)的教学中,可经常设置逆命题类的问题,有助于提升学生逆向思维的意识。
案例4:
我们已经学习了三角形中位线定理,如果将定理中的部分条件和结论对调后成为逆命题,是否还成立呢?
请分别判断以下两题的结论是否正确,如果正确,证明之;如果不正确,举一个反例说明。
逆命题
(1):
如图1,△ABC中,如果点D是AB中点,DE交AC于E,DE∥BC,那么点E是AC中点,且DE=
BC。
逆命题
(2):
△ABC中,如果点D是AB中点,DE交AC于E,DE=
BC,那么点E是AC中点,且DE∥BC。
点评:
这是开放题,没有明确结论,需要学生自己判断;这是初中几何核心定理的逆命题;这是类型相同而结论不同的“题组题”,题
(1)为真,可以证明,题
(2)为假,可以举反例。
同时,举反例训练也是培养逆向思维的重要手段。
2.习题讲评课中的培养方式。
习题讲评,应该给学生展示思维的过程。
在此,重点向学生讲清楚分析与综合的两种思维过程。
所谓综合,是从“已知”看“可知”,逐步推向“未知”,即由因导果,是正向思维;所谓分析,是从“未知”看“须知”,逐步靠近“已知”,即执果索因,是逆向思维。
案例5:
如图2,△ABC中,∠B=2∠A,a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边,求证:
b2=a2+ac。
点评:
已知中只有角的关系,没有任何边的关系,如何由“角”推向“边”?
感觉很困难,正向的综合思维路难行。
不妨用逆向的分析思维:
要证:
b2=a2+ac,
只需:
b2=a(a+c),
只需:
b∶a=(a+c)∶b,
易知,线段比问题找相似,联想含b为公共边的“基本图形”(详见系列谈②),故延长CB至D,使BD=BA,连DA,因此,
只需:
△ABC∽△DAC,因∠C已是公共角,所以,
只需:
∠CAB=∠D,贴近已知的“角”了。
由于BD=BA,故∠DAB=∠D,所以,
只需:
∠CAB=
∠CBA,其实,这就是已知条件---思路接通了。
如果不细细展示分析思维,最关键的辅助项的添法学生会觉得莫名其妙。
不过书写建议还是以综合法表达妥当。
对于解题思维中分析与综合的程序,牛顿说得好:
“在自然科学里,应该像在数学里一样,在研究困难的事物时,都是应当先用分析的方法,然后才用综合的方法”。
前文指出,仅数学运算就有许多正反两向的互逆运算,现以“通分”为例,请看几道逆向思维训练示例。
案例6:
计算:
。
点评:
这个过程是通分,逆过来
这过程不妨称之为“裂项”,于是原式=
,这就是“逆通分”的裂项相消法。
类似的例子还有,化简:
(原式=
=
)。
案例7:
将分数
按从小到大的顺序排列好。
点评:
分子的最小公倍数为较小的数60,故本题另辟蹊径“不通分母通分子”,轻松地比出大小。
类似的例子还有,比大小:
与
,采用的策略是与“分母有理化”相反的“分子有理化”,
=
,
=
,两数大小一目了然。
案例8:
化简:
。
点评:
不用通常的整体通分,而是分三次“逐步通分”简便多了。
类似的例子还有,化简:
。
采用的策略则是“分组通分”。
3.复习课中的培养方式。
利用复习课,综合各种知识,介绍采用逆向思维的多种解题方法和策略。
案例9:
求证:
是无理数。
点评:
采用反证法,证明
不是有理数。
案例10:
如图3,已知E是正方形ABCD内部一点,∠ECD=∠EDC=15°,求证:
△ABE是等边三角形。
点评:
采用同一法:
如图,在正方形ABCD内部取一点E',使△ABE'是等边三角形,连DE'、CE',证点E'与点E重合。
类似例子还有勾股定理逆定理的证明等。
案例11:
求使得关于x的方程ax2+2(2a-1)x+4a-7=0至少有一个整数解的正整数a的值。
点评:
本题的主元无疑是x,正向思维则很容易走向求根公式或韦达定理,由于不确定有两个整数解,所以,尽管绞尽脑汁也是徒劳的。
逆向思维,聚焦于所求的是a值!
应用“不求主元求辅元”的策略:
易得a=
,由正整数a≥1得-3≤x≤1,依题意取整数x=-3,-1,0,1,所以正整数a=1或5。
案例12:
设
为互不相等的非零实数,且
,
求证:
。
点评:
看到已知条件中等量关系不少,大多数学生从正向思维出发,将连等式列成含三个方程的方程组,认为肯定可以直接求出
的值,结果总是以失败告终。
事实上,连等式是一个轮换对称式,只能列成含两个方程的不定方程组,在此,永远无法直接求出
的值。
采用华罗庚教授教给青少年学生的一种解题策略:
“退,退到不能退为止”。
先退为二元问题:
设
为互不相等的非零实数,且
,求证:
。
减元后容易多了:
移项,得
,去分母,得
,由
得
,于是
。
原命题与此结构完全相同,用类似的方法“移项、去分母”就可得证。
培养逆向思维的解题策略还有“直接不行改间接”。
比如适合选择、判断、填空题型的特值排除法、极端值验证法以及割补法、换元法等。
4.综合与实践课中的培养。
逆向思维是反其道而行之的思考方式。
反映了思维过程的间断性、突发性、反联结性,是摆脱思维定势,突破旧思想框架,产生新思想,发现新问题的重要思维方式。
司马光砸缸---不能“让人离水”就“让水离人”,是典型的逆向思维案例,曹冲称象也有异曲同工之妙。
案例13:
第二次世界大战后期,在攻打柏林的战役中,一天晚上,苏军必须向德军发起进攻。
可那天夜里天上偏偏有星星,大部队出击很难做到保持高度隐蔽而不被敌人察觉。
苏军元帅朱可夫思索了许久,猛然想到并做出决定:
把全军所有的大型探照灯都集中起来。
在向德军发起进攻的时刻,苏军的140台大探照灯同时射向德军阵地,极强的亮光把隐蔽在防御工事里的德军照得睁不开眼,什么也看不见,只有挨打而无法还击,苏军很快突破了德军的防线获得胜利。
点评:
既然无法让天色变暗,朱可夫元帅反过来在“亮”上做文章,同样达到让敌军“看不见”的目的。
类似的案例有:
问:
让你从一把椅子下通过,你打算怎样过去?
答:
将椅子举过头顶后昂首挺胸而过。
逆向思维,出奇制胜。
案例14:
聪明的猪。
从前,有个叫二愣的养殖大户,一天,二愣要杀猪了。
哪知那头猪刚被掀翻在地,就狠狠地咬了二愣一口,急急地跑进猪圈了。
这还了得!
二愣气呼呼地追进猪圈里,可是圈里有1000头猪,怎么认得出那头猪呢!
“杀!
”随着二愣一声吼,1000头猪全部被强行赶进屠宰场。
“都杀了吗?
”伙计们怯生生地问。
“不。
”二愣忽然想出个怪主意,“把这1000头猪排成一行,先杀第一头,然后隔一头杀一头;杀完第一遍后,还是原来的队形,再用同样的方法杀第二遍;这样一遍一遍地杀下去…”二愣停了停说,“最后只留下一头猪。
”二愣心想,1000头猪最后只留下一头,看你还能活!
哪里知道,这是一头聪明的猪,趁着混乱,它很快找到了避难的位置,居然躲过了这一刀。
请问,这头猪到底排在什么位置上呢?
点评:
若正向思维,则写1000个数字,一笔一笔一次一次地划去奇数,够繁够乱的。
倒过来想,这只聪明的猪最后一轮必在2号位,倒数第二轮必在4号位,倒数第三轮必在8号位,…,规律出来了,倒数n轮必在2n号位,由512=29<1000<210=1024,得,这只聪明的猪排在512号位。
类似的例子还有“睡莲满池问题”:
池塘里的睡莲面积每天长大一倍。
100天长满整个池塘,那么第98天长到()个池塘?
案例15:
95名乒乓球运动员进行单淘汰赛,最后决出冠军,共需打多少场球?
点评:
常规解答要列许多行算式,还要考虑有人轮空。
逆向思维,每场比赛淘汰1人,决出冠军,要淘汰94人,所以共需打94场球。
规律:
若有n人参赛,则共需打n-1场球。
“1美元”故事中哈德先生的回答是“啊,是这样的:
我来贵行之前,问过好几家金库,他们保险箱的租金都很昂贵。
而您这里的租金很便宜,一年才花6美分。
”类似的案例还有许多。
比如:
1985年的一天,英航排除各种声音,坚持按既定航班把仅有的一位乘客从东京运到伦敦。
结果是该航空公司名声鹊起,旅客大增。
这是观念逆向,谁说学数学没用呢!