数量关系解题技巧.docx
《数量关系解题技巧.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《数量关系解题技巧.docx（51页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。
数量关系解题技巧
数量关系中行程问题常用公式汇总
【阅读提示】行程问题是反映物体匀速运动的应用题，是公务员录用考试行政职业能力测验考试数量关系中数学运算部分的常考题。
国家公务员网老师在其所著的针对公务员录用考试行政职业能力测验辅导的《数量关系模块宝典》一书中对行程问题的常用公式进行了汇总，并通过历年各地公务员录用考试真题进行了实例讲解。
数量关系之行程问题解题原理及方法
两个速度不同的人或车，慢的先行（领先）一段，然后快的去追，经过一段时间快的追上慢的。
这样的问题一般称为追及问题。
有时，快的与慢的从同一地点同时出发，同向而行，经过一段时间快的领先一段路程，我们也把它看作追及问题，因为这两种情况都满足
速度差×时间=追及（或领先的）路程
对于有三个以上人或车同时参与运动的行程问题，在分析其中某两个的运动情况的同时，还要弄清此时此刻另外的人或车处于什么位置，他（它）与前两者有什么关系。
分析复杂的行程问题时，最好画线段图帮助思考
理解并熟记下面的结论，对分析、解答复杂的行程问题是有好处的。
（3）甲的速度是a，乙的速度是b，在相同时间内，甲、乙一共行的
【例1】甲、乙两人分别从A、B两地同时出发，相向而行。
如果两人都按原定速度行进，那么4小时相遇；现在两人都比原计划每小时少走1千米，那么5小时相遇。
A、B两地相距多少千米？
【分析】可以想象，如果甲、乙两人以现在的速度（比原计划每小时少走1千米）仍然走4小时，那么他们不能相遇，而是相隔一段路。
这段路的长度是多少呢？
就是两人4小时一共比原来少行的路。
由于以现在的速度行走，他们5小时相遇，换句话说，再行1小时，他们恰好共同行完这段相隔的路。
这样，就能求出他们现在的速度和了。
【解】1×4×2÷（5-4）×5=40（千米）
这道题属于相遇问题，它的基本关系式是：
速度和×时间=（相隔的）路程。
但只有符合“同时出发，相向而行，经过相同时间相遇”这样的特点才能运用上面的关系式。
不过，当出现“不同时出发”或“没有相遇（而是还相隔一段路）”的情况时，应该通过转化条件，然后应用上面的关系式。
【例2】小王、小张步行的速度分别是每小时4.8千米和5.4千米。
小李骑车的速度为每小时10.8千米。
小王、小张从甲地到乙地，小李从乙地到甲地，他们三人同时出发，在小张与小李相遇5分钟后，小王又与小李相遇。
小李骑车从乙地到甲地需多长时间？
【分析】为便于分析，画出线段图36-1：
图中C点表示小张与小李相遇地点，D点表示他们相遇时小王所在地点。
根据题意，小王从D点、小李从C点同时出发，相向而行，经过5分钟相遇。
因此，DC的长为
这段长度也是相同时间内，小张比小王多行的路程。
这里的“相同时间”指从三人同时出发到小张与小李相遇所经过的时间。
这段时间为
1.3÷（5.4-4.8）×60=130（分）
这就是说，小张行完AC这段路（也就是小李行完CB这段路）用了130分钟，而小李的速度是小张速度的2（=10.8÷5.4）倍，所以小李行完AC这段路只需小张的一半时间（65分）。
【例3】上午8点8分，小明骑自行车从家里出发，8分钟后，爸爸骑摩托车去追他，在离家4千米的地方追上小明。
然后爸爸立即回家，到家后又立即回头去追小明，再追上小明的时候，离家恰好是8千米。
问这时是几点几分？
【分析】先画出示意图图37-1如下（图37-1中A点表示爸爸第一次追上小明的地方，B点表示他第二次追上小明的地方）。
从图37-1上看出，在相同时间（从第一次追上到第二次追上）内，小明从A点到B点，行完（8-4=）4千米；爸爸先从A点到家，再从家到B点，行完（8+4=）12千米。
可见，爸爸的速度是小明的（12÷4=）3倍。
从而，行完同样多的路程（比如从家到A点），小明所用的时间就是爸爸的3倍。
由于小明从家出发8分钟后爸爸去追他，并且在A点追上，所以，小明从家到A点比爸爸多用8分钟。
这样可以算出，小明从家到A所用的时间为
8÷（3-1）×3=12（分）
【解】8÷（3-1）×3×2=24（分）
数量关系中浓度和配比基本问题一
（1）浓度为10％，重量为80克的糖水中，加入多少克水就能得到浓度为8％的糖水？
（2）浓度为20％的糖水40克，要把它变成浓度为40％的糖水，需加多少克糖？
解：
（1）浓度10％，含糖80×10％＝8（克），有水80-8＝72（克）。
如果要变成浓度为8％，含糖8克，糖和水的总重量是8÷8％＝100（克），其中有水100-8＝92（克）。
还要加入水92-72＝20（克）。
（2）浓度为20％，含糖40×20％＝8（克），有水40-8＝32（克）。
如果要变成浓度为40％，32克水中，要加糖x克，就有x∶32＝40％∶（1-40％），
数量关系中浓度和配比基本问题二
20％的食盐水与5％的食盐水混合，要配成15％的食盐水900克。
问：
20％与5％食盐水各需要多少克？
解：
20％比15％多（20％-15％），5％比15％少（15％-5％），多的含盐量 （20％-15％）×20％所需数量
要恰好能弥补少的含盐量 （15％-5％）×5％所需数量。
也就是
画出示意图：
相差的百分数之比与所需数量之比恰好是反比例关系。
答：
需要浓度20％的600克，浓度5％的300克。
例19甲容器中有8％的食盐水300克，乙容器中有12.5％的食盐水120克，往甲、乙两个容器分别倒入等量的水，使两个容器的食盐水浓度一样，问倒入多少克水？
解：
要使两个容器中食盐水浓度一样，两容器中食盐水重量之比，要与所含的食盐重量之比一样
甲中含盐量：
乙中含盐量
=300×8％∶120×12.5％
=8∶5
现在要使（300克+倒入水）∶（120克+倒入水）＝8∶5.
把“300克+倒入水”算作8份，“120克+倒入水”算作5份，每份是（300-120）÷（8-5）=60（克）。
倒入水量是60×8-300＝180（克）。
答：
每一容器中倒入180克水。
例20 甲容器有浓度为2％的盐水180克，乙容器中有浓度为9％的盐水若干克，从乙取出240克盐水倒入甲.再往乙倒入水，使两个容器中有一样多同样浓度的盐水.问：
（1）现在甲容器中食盐水浓度是多少？
（2）再往乙容器倒入水多少克？
解：
（1）现在甲容器中盐水含盐量是180×2％＋240×9％＝25.2（克）。
浓度是25.2÷（180＋240）×100％=6％
（2）“两个容器中有一样多同样浓度的盐水”，也就是两个容器中含盐量一样多，在乙中也含有25.2克盐，因为后来倒入的是水，所以盐只在原有的盐水中。
在倒出盐水240克后，乙的浓度仍是9％，要含有25.2克盐，乙容器还剩下盐水25.2÷9％＝280（克），还要倒入水420-280＝140（克）。
答：
（1）甲容器中盐水浓度是6％；
（2）乙容器再要倒入140克水。
数量关系之浓度问题方程法
了解溶液浓度的基本公式：
溶液浓度＝溶质的质量/溶液的质量×100％
解得时，只要求出各变量的值就可求出溶液浓度。
数量关系之工程问题专项训练
数量关系之工程问题解题方法及例题详解
在日常生活中，做某一件事，制造某种产品，完成某项任务，完成某项工程等等，都要涉及到工作量、工作效率、工作时间这三个量，它们之间的基本数量关系是
工作量=工作效率×时间
在数学中，探讨这三个数量之间关系的应用题，我们都叫做“工程问题”
举一个简单例子
一件工作，甲做10天可完成，乙做15天可完成.问两人合作几天可以完成？
一件工作看成1个整体，因此可以把工作量算作1.所谓工作效率，就是单位时间内完成的工作量，我们用的时间单位是“天”，1天就是一个单位，
再根据基本数量关系式，得到所需时间=工作量÷工作效率
=6（天）
两人合作需要6天
这是工程问题中最基本的问题，这一讲介绍的许多例子都是从这一问题发展产生的
为了计算整数化（尽可能用整数进行计算），如第三讲例3和例8所用方法，把工作量多设份额.还是上题，10与15的最小公倍数是30.设全部工作量为30份.那么甲每天完成3份，乙每天完成2份.两人合作所需天数是
30÷（3+2）=6（天）
数计算，就方便些
∶2.或者说“工作量固定，工作效率与时间成反比例”.甲、乙工作效率的比是15∶10=3∶2.当知道了两者工作效率之比，从比例角度考虑问题，也
需时间是
因此，在下面例题的讲述中，不完全采用通常教科书中“把工作量设为整体1”的做法，而偏重于“整数化”或“从比例角度出发”，也许会使我们的解题思路更灵活一些
一、两个人的工程问题
标题上说的“两个人”，也可以是两个组、两个队等等的两个集体
例1一件工作，甲做9天可以完成，乙做6天可以完成.现在甲先做了3天，余下的工作由乙继续完成.乙需要做几天可以完成全部工作？
答：
乙需要做4天可完成全部工作
解二：
9与6的最小公倍数是18.设全部工作量是18份。
甲每天完成2份，乙每天完成3份.乙完成余下工作所需时间是
（18-2×3）÷3=4（天）
解三：
甲与乙的工作效率之比是
6∶9=2∶3
甲做了3天，相当于乙做了2天.乙完成余下工作所需时间是6-2=4（天）
例2一件工作，甲、乙两人合作30天可以完成，共同做了6天后，甲离开了，由乙继续做了40天才完成.如果这件工作由甲或乙单独完成各需要多少天？
解：
共做了6天后，
原来，甲做24天，乙做24天，
现在，甲做0天，乙做40=（24+16）天
这说明原来甲24天做的工作，可由乙做16天来代替.因此甲的工作效率
如果乙独做，所需时间是
如果甲独做，所需时间是
答：
甲或乙独做所需时间分别是75天和50天
例3某工程先由甲独做63天，再由乙单独做28天即可完成；如果由甲、乙两人合作，需48天完成.现在甲先单独做42天，然后再由乙来单独完成，那么乙还需要做多少天？
解：
先对比如下：
甲做63天，乙做28天；
甲做48天，乙做48天
就知道甲少做63-48=15（天），乙要多做48-28=20（天），由此得出甲的
甲先单独做42天，比63天少做了63-42=21（天），相当于乙要做
因此，乙还要做28+28=56（天）
答：
乙还需要做56天
例4一件工程，甲队单独做10天完成，乙队单独做30天完成.现在两队合作，其间甲队休息了2天，乙队休息了8天（不存在两队同一天休息）问开始到完工共用了多少天时间？
解一：
甲队单独做8天，乙队单独做2天，共完成工作量
余下的工作量是两队共同合作的，需要的天数是2+8+1=11（天）
答：
从开始到完工共用了11天
解二：
设全部工作量为30份.甲每天完成3份，乙每天完成1份.在甲队单独做8天，乙队单独做2天之后，还需两队合作
（30-3×8-1×2）÷（3+1）=1（天）
解三：
甲队做1天相当于乙队做3天
在甲队单独做8天后，还余下（甲队）10-8=2（天）工作量.相当于乙队要做2×3=6（天）乙队单独做2天后，还余下（乙队）6-2=4（天）工作量。
4=3+1， 其中3天可由甲队1天完成，因此两队只需再合作1天
例5一项工程，甲队单独做20天完成，乙队单独做30天完成.现在他们两队一起做，其间甲队休息了3天，乙队休息了若干天.从开始到完成共用了16天.问乙队休息了多少天？
解一：
如果16天两队都不休息，可以完成的工作量是
由于两队休息期间未做的工作量是
乙队休息期间未做的工作量是
乙队休息的天数是
答：
乙队休息了5天半
解二：
设全部工作量为60份.甲每天完成3份，乙每天完成2份
两队休息期间未做的工作量是
（3+2）×16-60=20（份）
因此乙休息天数是
（20-3×3）÷2=5．5（天）
解三：
甲队做2天，相当于乙队做3天
甲队休息3天，相当于乙队休息4．5天
如果甲队16天都不休息，只余下甲队4天工作量，相当于乙队6天工作量，乙休息天数是
16-6-4．5=5．5（天）
例6有甲、乙两项工作，张单独完成甲工作要10天，单独完成乙工作要15天；李单独完成甲工作要8天，单独完成乙工作要20天.如果每项工作都可以由两人合作，那么这两项工作都完成最少需要多少天？
解：
很明显，李做甲工作的工作效率高，张做乙工作的工作效率高.因此让李先做甲，张先做乙。
设乙的工作量为60份（15与20的最小公倍数），张每天完成4份，李每天完成3份。
8天，李就能完成甲工作.此时张还余下乙工作（60-4×8）份.由张、李合作需要
（60-4×8）÷（4+3）=4（天）
8+4=12（天）
答：
这两项工作都完成最少需要12天
例7一项工程，甲独做需10天，乙独做需15天，如果两人合作，他
要8天完成这项工程，两人合作天数尽可能少，那么两人要合作多少天？
解：
设这项工程的工作量为30份，甲每天完成3份，乙每天完成2份
两人合作，共完成
3×0.8+2×0.9=4.2（份）
因为两人合作天数要尽可能少，独做的应是工作效率较高的甲.因为要在8天内完成，所以两人合作的天数是
（30-3×8）÷（4.2-3）=5（天）
很明显，最后转化成“鸡兔同笼”型问题
例8甲、乙合作一件工作，由于配合得好，甲的工作效率比单独做时
如果这件工作始终由甲一人单独来做，需要多少小时？
解：
乙6小时单独工作完成的工作量是
乙每小时完成的工作量是
两人合作6小时，甲完成的工作量是
甲单独做时每小时完成的工作量
甲单独做这件工作需要的时间是
答：
甲单独完成这件工作需要33小时
这一节的多数例题都进行了“整数化”的处理.但是，“整数化”并不能使所有工程问题的计算简便.例8就是如此.例8也可以整数化，当求出乙每
有一点方便，但好处不大.不必多此一举
二、多人的工程问题
我们说的多人，至少有3个人，当然多人问题要比2人问题复杂一些，但是解题的基本思路还是差不多
例9一件工作，甲、乙两人合作36天完成，乙、丙两人合作45天完成，甲、丙两人合作要60天完成.问甲一人独做需要多少天完成？
解：
设这件工作的工作量是1
甲、乙、丙三人合作每天完成
减去乙、丙两人每天完成的工作量，甲每天完成
答：
甲一人独做需要90天完成
也可以整数化，设全部工作量为180份，甲、乙合作每天完成5份，乙、丙合作每天完成4份，甲、丙合作每天完成3份.请试一试，计算是否会方便些？
例10一件工作，甲独做要12天，乙独做要18天，丙独做要24天.这件工作由甲先做了若干天，然后由乙接着做，乙做的天数是甲做的天数的3倍，再由丙接着做，丙做的天数是乙做的天数的2倍，终于做完了这件工作.问总共用了多少天？
解：
甲做1天，乙就做3天，丙就做3×2=6（天）
说明甲做了2天，乙做了2×3=6（天），丙做2×6=12（天），三人一共做了2+6+12=20（天）
答：
完成这项工作用了20天
本题整数化会带来计算上的方便.12，18，24这三数有一个易求出的最小公倍数72.可设全部工作量为72.甲每天完成6，乙每天完成4，丙每天完成3.总共用了
例11一项工程，甲、乙、丙三人合作需要13天完成.如果丙休息2天，乙就要多做4天，或者由甲、乙两人合作1天.问这项工程由甲独做需要多少天？
解：
丙2天的工作量，相当乙4天的工作量.丙的工作效率是乙的工作效率的4÷2=2（倍），甲、乙合作1天，与乙做4天一样.也就是甲做1天，相当于乙做3天，甲的工作效率是乙的工作效率的3倍
他们共同做13天的工作量，由甲单独完成，甲需要
答：
甲独做需要26天
事实上，当我们算出甲、乙、丙三人工作效率之比是3∶2∶1，就知甲做1天，相当于乙、丙合作1天.三人合作需13天，其中乙、丙两人完成的工作量，可转化为甲再做13天来完成。
例12某项工作，甲组3人8天能完成工作，乙组4人7天也能完成工作.问甲组2人和乙组7人合作多少时间能完成这项工作？
解一：
设这项工作的工作量是1
甲组每人每天能完成
乙组每人每天能完成
甲组2人和乙组7人每天能完成
答：
合作3天能完成这项工作
解二：
甲组3人8天能完成，因此2人12天能完成；乙组4人7天能完成，因此7人4天能完成
现在已不需顾及人数，问题转化为：
甲组独做12天，乙组独做4天，问合作几天完成？
要充分利用给出数据的特殊性.解二是比例灵活运用的典型，如果你心算较好，很快就能得出答数
例13制作一批零件，甲车间要10天完成，如果甲车间与乙车间一起做只要6天就能完成.乙车间与丙车间一起做，需要8天才能完成.现在三个车间一起做，完成后发现甲车间比乙车间多制作零件2400个.问丙车间制作了多少个零件？
解一：
仍设总工作量为1
甲每天比乙多完成
因此这批零件的总数是
丙车间制作的零件数目是
答：
丙车间制作了4200个零件
解二：
10与6最小公倍数是30.设制作零件全部工作量为30份.甲每天完成3份，甲、乙一起每天完成5份，由此得出乙每天完成2份
乙、丙一起，8天完成.乙完成8×2=16（份），丙完成30-16=14（份），就知乙、丙工作效率之比是16∶14=8∶7
已知甲、乙工作效率之比是3∶2=12∶8综合一起，甲、乙、丙三人工作效率之比是12∶8∶7
当三个车间一起做时，丙制作的零件个数是2400÷（12-8）×7=4200（个）
例14搬运一个仓库的货物，甲需要10小时，乙需要12小时，丙需要15小时.有同样的仓库A和B，甲在A仓库、乙在B仓库同时开始搬运货物，丙开始帮助甲搬运，中途又转向帮助乙搬运.最后两个仓库货物同时搬完.问丙帮助甲、乙各多少时间？
解：
设搬运一个仓库的货物的工作量是1.现在相当于三人共同完成工作量2，所需时间是
答：
丙帮助甲搬运3小时，帮助乙搬运5小时
解本题的关键，是先算出三人共同搬运两个仓库的时间.本题计算当然也可以整数化，设搬运一个仓库全部工作量为60.甲每小时搬运6，乙每小时搬运5，丙每小时搬运4
三人共同搬完，需要
60×2÷（6+5+4）=8（小时）
甲需丙帮助搬运
（60-6×8）÷4=3（小时）
乙需丙帮助搬运
（60-5×8）÷4=5（小时）
行测数量关系：
十字相乘法实例分析一
十字相乘法用来解决一些比例问题特别方便。
但是，如果使用不对，就会犯错。
（一）原理介绍
通过一个例题来说明原理。
某班学生的平均成绩是80分，其中男生的平均成绩是75，女生的平均成绩是85。
求该班男生和女生的比例。
方法一：
搞笑（也是高效）的方法。
男生一人，女生一人，总分160分，平均分80分。
男生和女生的比例是1：
1。
方法二：
假设男生有A，女生有B。
（A*75+B85）/（A+B）=80
整理后A=B，因此男生和女生的比例是1：
1。
方法三：
男生：
75 5
80
女生：
85 5
男生：
女生=1：
1。
一个集合中的个体，只有2个不同的取值，部分个体取值为A，剩余部分取值为B。
平均值为C。
求取值为A的个体与取值为B的个体的比例。
假设A有X，B有（1-X）。
AX+B（1-X）=C
X=（C-B）/（A-B）
1-X=（A-C）/A-B
因此：
X：
（1-X）=（C-B）：
（A-C）
上面的计算过程可以抽象为：
A C-B
C
B A-C
这就是所谓的十字相乘法。
十字相乘法使用时要注意几点：
第一点：
用来解决两者之间的比例关系问题。
第二点：
得出的比例关系是基数的比例关系。
第三点：
总均值放中央，对角线上，大数减小数，结果放对角线上。
1．（2006年江苏省考）某体育训练中心，教练员中男占90％，运动员中男占80％，在教练员和运动员中男占82％，教练员与运动员人数之比是
A．2：
5 B．1：
3 C．1：
4 D．1：
5
答案：
C
分析：
男教练：
90% 2%
82%
男运动员：
80% 8%
男教练：
男运动员=2%：
8%=1：
4
2.（2006年江苏省考）某公司职员25人，每季度共发放劳保费用15000元，已知每个男职必每季度发580元，每个女职员比每个男职员每季度多发50元，该公司男女职员之比是多少
A．2∶1B．3∶2C.2∶3D．1∶2
答案：
B
分析：
职工平均工资15000/25=600
男职工工资：
580 30
600
女职工工资：
630 20
男职工：
女职工=30：
20=3：
2
3．（2005年国考）某城市现在有70万人口，如果5年后城镇人口增加4%，农村人口增加5.4%，则全市人口将增加4.8%。
现在城镇人口有（）万。
A30B31.2C40D41.6
答案A
分析：
城镇人口：
4% 0.6%
4.8%
农村人口：
5.4% 0.8%
城镇人口：
农村人口=0.6%；0.8%=3：
4
70*（3/7）=30
4.（2006年国考）某市居民生活用电每月标准用电价格为每度0.50元，若每月用电超过规定的标准用电，超标部分按照基本价格的80%收费。
某用户九月份用电84度，共交电费39.6元，则该市每月标准用电为（）度。
A60B65C70D75
5．（2007年国考） 某班男生比女生人数多80%，一次考试后，全班平均成级为75分，而女生的平均分比男生的平均分高20%，则此班女生的平均分是：
A．84分
B．85分
C．86分
D．87分
答案：
A
分析：
假设女生的平均成绩为X，男生的平均Y。
男生
升级会员 