人教版八年级数学上《公式法》拓展练习.docx
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人教版八年级数学上《公式法》拓展练习
《公式法》拓展练习
一、选择题（本大题共5小题，共25.0分）
1．（5分）若关于x的多项式x2+mx+1可分解成（x+n）2，则n等于（ ）
A．±1B．1C．﹣1D．2
2．（5分）代数式（a﹣3b）2﹣4（a﹣3b）c+4c2可以写成（ ）
A．（a﹣3b+3c）2B．（a﹣3b﹣2c）2C．（a+3b+2c）2D．（a+3b﹣2c）2
3．（5分）下列因式分解中，正确的是（ ）
A．x2y2﹣z2＝x2（y+z）（y﹣z）B．﹣x2y+4xy＝﹣xy（x+4）
C．9﹣12a+4a2＝﹣（3﹣2a）2D．（x+2）2﹣9＝（x+5）（x﹣1）
4．（5分）下列多项式中，能因式分解得到（x+y）（x﹣y）的是（ ）
A．x2+y2B．x2﹣y2C．﹣x2﹣y2D．﹣x2+y2
5．（5分）下列多项式中，能用公式法分解因式的是（ ）
A．a2﹣aB．a2+b2C．﹣a2+9b2D．a2+4ab﹣4b2
二、填空题（本大题共5小题，共25.0分）
6．（5分）因式分解：
m2﹣4n2＝ ．
7．（5分）因式分解：
x2﹣10x+25＝ ．
8．（5分）若x2+mx+16＝（x+4）2，则m的值为 ．
9．（5分）因式分解﹣9m2+4n2＝ ．
10．（5分）因式分解：
（a+b）2﹣64＝ ．
三、解答题（本大题共5小题，共50.0分）
11．（10分）下面是某同学对多项式（x2﹣4x+2）（x2﹣4x+6）+4进行因式分解的过程
解：
设x2﹣4x＝y，
原式＝（y+2）（y+6）+4 （第一步）
＝y2+8y+16 （第二步）
＝（y+4）2（第三步）
＝（x2﹣4x+4）2（第四步）
（1）该同学第二步到第三步运用了因式分解的 （填序号）．
A．提取公因式B．平方差公式
C．两数和的完全平方公式D．两数差的完全平方公式
（2）该同学在第四步将y用所设中的x的代数式代换，得到因式分解的最后结果．这个结果是否分解到最后？
．（填“是”或“否”）如果否，直接写出最后的结果 ．
（3）请你模仿以上方法尝试对多项式（x2﹣2x）（x2﹣2x+2）+1进行因式分解．
12．（10分）
（1）已知（a+b）2＝7，（a﹣b）2＝4，求a2+b2和ab的值．
（2）分解因式：
①x2﹣8xy+16y2
②（x+y+1）2﹣（x﹣y+1）2．
13．（10分）先阅读材料，再回答问题：
分解因式：
（a﹣b）2﹣2（a﹣b）+1
解：
设a﹣b＝M，则原式＝M2﹣2M+1＝（M﹣1）2
再将a﹣b＝M还原，得到：
原式＝（a﹣b﹣1）2
上述解题中用到的是“整体思想”，它是数学中常用的一种思想，请你用整体思想解决下列问题：
（1）分解因式：
（x+y）（x+y﹣4）+4
（2）若a为正整数，则（a﹣1）（a﹣2）（a﹣3）（a﹣4）+1为整数的平方，试说明理由．
14．（10分）
（1）已知x＝﹣5，y＝﹣，求x2•x2n•（yn）2（n为正整数）的值；
（2）观察下列各式：
32﹣12＝8×1，52﹣32＝8×2，72﹣52＝8×3，…，探索以上式子的规律，试写出第n个等式，并运用所学的数学知识说明你所写式子的正确性．
15．（10分）借助表格进行多项式乘多项式运算，可以方便合并同类项得出结果．下面尝试利用表格试一试．
例题：
（a+b）（a﹣b）
解填表
a
b
a
a2
ab
﹣b
﹣ab
﹣b2
则（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2．
根据所学完成下列问题．
（1）如表，填表计算（x+2）（x2﹣2x+4），（m+3）（m2﹣3m+9），直接写出结果．
x2
﹣2x
4
x
x3
﹣2x2
4x
+2
2x2
﹣4x
8
m2
﹣3m
9
m
m3
﹣3m2
9m
+3
3m2
﹣9m
27
结果为 ；结果为 ．
（2）根据以上获得的经验填表：
△
△3
○
○3
结果为△3+○3，根据以上探索，请用字母a、b来表示发现的公式为 ．
（3）用公式计算：
（2x+3y）（4x2﹣6xy+9y2）＝ ；
因式分解：
27m3﹣8n3＝ ．
《公式法》拓展练习
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共5小题，共25.0分）
1．（5分）若关于x的多项式x2+mx+1可分解成（x+n）2，则n等于（ ）
A．±1B．1C．﹣1D．2
【分析】多项式x2+mx+1可以因式分解成（x+n）2，说明多项式x2+mx+1是一个完全平方式，所以m＝±2．
【解答】解：
由于x2+mx+1＝（x+n）2，
所以x2+mx+1是一个完全平方式，
所以m＝±2×1×1＝±2，
故n＝±1．
故选：
A．
【点评】本题考查了公式法分解因式，若一个多项式可以分解成（x+n）2，则可以说明多项式是一个完全平方式．
2．（5分）代数式（a﹣3b）2﹣4（a﹣3b）c+4c2可以写成（ ）
A．（a﹣3b+3c）2B．（a﹣3b﹣2c）2C．（a+3b+2c）2D．（a+3b﹣2c）2
【分析】直接利用完全平方公式分解因式得出答案．
【解答】解：
（a﹣3b）2﹣4（a﹣3b）c+4c2
＝（a﹣3b﹣2c）2．
故选：
B．
【点评】此题主要考查了公式法分解因式，正确应用完全平方公式是解题关键．
3．（5分）下列因式分解中，正确的是（ ）
A．x2y2﹣z2＝x2（y+z）（y﹣z）B．﹣x2y+4xy＝﹣xy（x+4）
C．9﹣12a+4a2＝﹣（3﹣2a）2D．（x+2）2﹣9＝（x+5）（x﹣1）
【分析】直接利用平方差公式以及完全平方公式分解因式进而得出答案．
【解答】解：
A、x2y2﹣z2＝（xy+z）（xy﹣z），故此选项错误；
B、﹣x2y+4xy＝﹣xy（x﹣4），故此选项错误；
C、9﹣12a+4a2＝（3﹣2a）2，故此选项错误；
D、（x+2）2﹣9＝（x+2+3）（x+2﹣3）＝（x+5）（x﹣1），正确．
故选：
D．
【点评】此题主要考查了公式法分解因式，正确运用公式是解题关键．
4．（5分）下列多项式中，能因式分解得到（x+y）（x﹣y）的是（ ）
A．x2+y2B．x2﹣y2C．﹣x2﹣y2D．﹣x2+y2
【分析】直接利用平方差公式分解因式进而得出答案．
【解答】解：
A、x2+y2，无法分解因式，故此选项错误；
B、x2﹣y2＝（x+y）（x﹣y），正确；
C、﹣x2﹣y2，无法分解因式，故此选项错误；
D、﹣x2+y2＝﹣（x+y）（x﹣y），故此选项错误；
故选：
B．
【点评】此题主要考查了公式法分解因式，正确应用公式是解题关键．
5．（5分）下列多项式中，能用公式法分解因式的是（ ）
A．a2﹣aB．a2+b2C．﹣a2+9b2D．a2+4ab﹣4b2
【分析】直接利用公式法以及提取公因式法分解因式进而判断即可．
【解答】解：
A、a2﹣a＝a（a﹣1），故此选项错误；
B、a2+b2，无法分解因式，故此选项错误；
C、﹣a2+9b2＝（3b+a）（3b﹣a），故此选项正确；
D、a2+4ab﹣4b2，无法分解因式，故此选项错误；
故选：
C．
【点评】此题主要考查了公式法分解因式，正确应用公式是解题关键．
二、填空题（本大题共5小题，共25.0分）
6．（5分）因式分解：
m2﹣4n2＝ （m+2n）（m﹣2n） ．
【分析】先将所给多项式变形为m2﹣（2n）2，然后套用公式a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b），再进一步分解因式．
【解答】解：
m2﹣4n2，
＝m2﹣（2n）2，
＝（m+2n）（m﹣2n）．
【点评】主要考查利用平方差公式分解因式，熟记公式结构是解题的关键．
7．（5分）因式分解：
x2﹣10x+25＝ （x﹣5）2 ．
【分析】此题可直接用完全平方公式分解因式．完全平方公式：
a2±2ab+b2＝（a±b）2．
【解答】解：
x2﹣10x+25＝（x﹣5）2．
【点评】本题主要考查利用完全平方公式分解因式，熟记公式结构是解题的关键．
8．（5分）若x2+mx+16＝（x+4）2，则m的值为 8 ．
【分析】根据完全平方公式展开，即可得出答案．
【解答】解：
（x+4）2＝x2+8x+16，
∵x2+mx+16＝（x+4）2，
∴m＝8，
故答案为：
8．
【点评】本题考查了因式分解和完全平方公式，能根据完全平方公式展开是解此题的关键．
9．（5分）因式分解﹣9m2+4n2＝ （2n+3m）（2n﹣3m） ．
【分析】直接利用平方差公式分解因式得出答案．
【解答】解：
﹣9m2+4n2＝（2n+3m）（2n﹣3m）．
故答案为：
（2n+3m）（2n﹣3m）．
【点评】此题主要考查了公式法分解因式，正确应用平方差公式是解题关键．
10．（5分）因式分解：
（a+b）2﹣64＝ （a+b﹣8）（a+b+8） ．
【分析】直接利用平方差公式分解因式得出答案．
【解答】解：
（a+b）2﹣64＝（a+b﹣8）（a+b+8）．
故答案为：
（a+b﹣8）（a+b+8）．
【点评】此题主要考查了公式法分解因式，正确应用公式是解题关键．
三、解答题（本大题共5小题，共50.0分）
11．（10分）下面是某同学对多项式（x2﹣4x+2）（x2﹣4x+6）+4进行因式分解的过程
解：
设x2﹣4x＝y，
原式＝（y+2）（y+6）+4 （第一步）
＝y2+8y+16 （第二步）
＝（y+4）2（第三步）
＝（x2﹣4x+4）2（第四步）
（1）该同学第二步到第三步运用了因式分解的 C （填序号）．
A．提取公因式B．平方差公式
C．两数和的完全平方公式D．两数差的完全平方公式
（2）该同学在第四步将y用所设中的x的代数式代换，得到因式分解的最后结果．这个结果是否分解到最后？
否 ．（填“是”或“否”）如果否，直接写出最后的结果 （x﹣2）4 ．
（3）请你模仿以上方法尝试对多项式（x2﹣2x）（x2﹣2x+2）+1进行因式分解．
【分析】
（1）根据分解因式的过程直接得出答案；
（2）该同学因式分解的结果不彻底，进而再次分解因式得出即可；
（3）将（x2﹣2x）看作整体进而分解因式即可．
【解答】解：
（1）该同学第二步到第三步运用了因式分解的两数和的完全平方公式；
故选：
C；
（2）这个结果没有分解到最后，
原式＝（x2﹣4x+4）2＝（x﹣2）4；
故答案为：
否，（x﹣2）4；
（3）（x2﹣2x）（x2﹣2x+2）+1
＝（x2﹣2x）2+2（x2﹣2x）+1
＝（x2﹣2x+1）2
＝（x﹣1）4．
【点评】此题主要考查了公式法分解因式，熟练利用完全平方公式分解因式是解题关键，注意分解因式要彻底．
12．（10分）
（1）已知（a+b）2＝7，（a﹣b）2＝4，求a2+b2和ab的值．
（2）分解因式：
①x2﹣8xy+16y2
②（x+y+1）2﹣（x﹣y+1）2．
【分析】
（1）已知等式利用完全平方公式化简，相加减即可求出所求；
（2）①原式利用完全平方公式分解即可；②原式利用平方差公式分解即可．
【解答】解：
（1）∵（a+b）2＝a2+b2+2ab＝7①，（a﹣b）2＝a2+b2﹣2ab＝4②，
∴①+②得：
a2+b2＝5.5，①﹣②得：
ab＝；
（2）①原式＝（x﹣4y）2；
②原式＝（x+y+1+x﹣y+1）（x+y+1﹣x+y﹣1）＝4y（x+1）．
【点评】此题考查了因
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