最优化计算方法课后习题答案高等教育出版社施光燕.docx

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最优化计算方法课后习题答案高等教育出版社施光燕

习题二

包括题目:

P36页5

（1）（4）

5（4）

习题三

包括题目：

P61页1

（1）

（2）；3；5;6；14；15

（1）

1

（1）

（2）的解如下

3题的解如下

5,6题

14题解如下

14。

设，求点在处的牛顿方向。

解：

已知，由题意得

∴

∴

∴

15

（1）解如下

15.用DFP方法求下列问题的极小点

（1）

解:

取，时，DFP法的第一步与最速下降法相同

，，

，

以下作第二次迭代

其中，

，

所以

令,利用，求得

所以，

以下作第三次迭代

，

，

所以

令，利用，求得

所以,因为，于是停止

即为最优解.

习题四

包括题目:

P95页3;4；8；9

（1）;12选做；13选做

3题解如下

3.考虑问题，其中

（1）画出此问题的可行域和等值线的图形；

（2）利用几何图形求出此问题的最优解及最优值;

（3）分别对点指出哪些约束是紧约束和松约束。

解：

（1）如图所示，此问题的可行域是以O点为圆心，1为半径的圆的上半部分；等值线是平行于直线x2=2x1的一系列平行线，范围在如图所示的两条虚线内。

（2）要求f的最小值，即求出这一系列平行线中与x2轴相交，所得截点纵坐标的最大值.显然当直线在虚线1的位置，能取得极值.如图求出切点，此点即为最优解，解得最优值

（3）对于区间集S可以简化为g1：

g2：

对于点，g1和g2均为该点处的紧约束；

对于点，g1和g2均为该点处的松约束；

对于点，g1为该点的松约束，g2为该点的紧约束；

对于点,g1为该点的紧约束，g2为该点的松约束。

4题解如下

4。

试写出下列问题的K—T条件，并利用所得到的表达式求出它们的最优解：

（1）

s.t.

（2）

s。

t.

（1）解：

非线性规划的K—T条件如下：

（1）

（2）

（3）

再加上约束条件（4）

为求出满足

（1）~（4）式的解,分情况考虑：

①若（4）式等号不成立，即，那么由

（2）式得,将代入

（1）式解得，,所得值不满足的条件，故舍去。

②若（4）式等号成立，由

（1）式可以解得，,代入（4）式有：

解得

因为，所以，那么，,满足以上所有条件。

综上所述,所求非线性规划有唯一的K—T点为：

（2）解：

非线性规划的K—T条件如下：

（1）

（2）

（3）

再加上约束条件（4）

为求出满足

（1）～（4）式的解，分情况考虑:

①若（4）式等号不成立，即，那么由

（2）式得，将代入

（1）式解得，，所得值满足以上所有约束。

②若（4）式等号成立，由

（1）式可以解得,，代入（4）式有：

解得

因为，所以所得值均舍去，该情况不成立。

综上所述，所求非线性规划有唯一的K—T点为:

8题解如下

8考虑问题

Minx12+x1x2+2x22—6x1—2x2—12x3

S.t。

X1+x2+x3=2

（1）

—x1+2x2≤3

（2）

X1,x2,x3≥0（3）

求出点（1,1,0）处的一个下降可行方向。

解：

首先检查在点（1，1,0）处哪些约束为有效约束。

检查易知

（1），X3≥0为有效约束。

设所求可行方向d=（d1，d2，d3）T。

根据可行方向d的定义，应存在a〉0，使对∀t∈（0，a）能有

X+td=（1+td1,1+td2,0+td3）T

也能满足所有有效约束：

（1+td1）+（1+td2）+（0+td3）=2

td3≥0

经整理即为

d1+d2+d3=0

d3≥0

满足上述不等式组的d=（d1,d2,d3）T均为可行方向。

现只求一个可行方向，所以任取d3=1，求解d1+d2=—d3

得d1+d2=—1，可任取d1=1，d2=-2得一可行方向

d=（1,—2，1）T

考虑下降性

由题可知：

将目标函数化为f（x）=1/2XTQX+bTX+C

从而▽f=QX+b即

▽f（1，1，0）=（-3，3，—12）

因为▽f（1，1,0）Td=—21〈0

表明d=（1,—2，1）T为原问题在x=（1，1，0）T处的一个下降可行方向

9题解如下

9用lemke算法解下列问题:

（1）min2x12+2x22—2x1x2-4x1-6x2

S。

t。

X1+x2≤2

X1+5x2≤5

X1，x2≥0

解:

，，，

于是

，，

与本题相应的线性互补问题为：

W—MZ=q

W≥0,Z≥0

WTZ=0

写成表格为

W1

1

W2

2

W3

3

W4

4

Z1

5

Z2

6

Z3

7

Z4

8

q

di0

1

0

0

0

0

0

1

1

2

0

1

0

0

0

0

1

5

5

0

0

1

0

-1

-1

—4

2

—4

0

0

0

1

-1

-5

2

-4

—6

由于右端有负数，所以加一人工变量W0，表格改为

W1

1

W2

2

W3

3

W4

4

Z1

5

Z2

6

Z3

7

Z4

8

W0

9

q

di0

1

0

0

0

0

0

1

1

—1

2

0

1

0

0

0

0

1

5

-1

5

0

0

1

0

-1

—1

-4

2

—1

-4

0

0

0

1

-1

-5

2

—4

-1

-6

选择与max{-qi｝=-q4=6相应的第4行第9列元素作主元进行旋转，得

JBi

W1

1

W2

2

W3

3

W4

4

Z1

5

Z2

6

Z3

7

Z4

8

W0

9

q

di0

1

1

0

0

-1

1

5

—1

5

0

8

2

0

1

0

—1

1

5

—1

9

0

11

3

0

0

1

-1

0

4

—6

6

0

2

9

0

0

0

—1

1

5

-2

4

1

6

由上表可看出仅w4，z4这一对变量全部不是基变量，因此从它们之中选一个进基，由于第一次碰到这一对变量，故选z4进基.在所选列中，有

Min｛8/5,11/9，2/6，6/4}=2/6

故选相应的第3行第8列元素作主元,再进行旋转,得

JBi

1

2

3

4

5

6

7

8

9

di0

1

1

0

-5/6

—1/6

1

10/6

4

0

0

38/6

2

0

1

—9/6

3/6

1

—1

8

0

0

8

8

0

0

1/6

-1/6

0

4/6

—1

1

0

2/6

9

0

0

-4/6

—2/6

1

14/6

2

0

1

28/6

由于W0仍在基变量中，故继续运算.由于这时仅有W3，Z3这一对变量全不在基中,故仍在它们之中选一变量进基，由于是第一次从这一对变量选取，故也选Z3进基,再由

Min｛38/6/4,8/8，28/6/2｝=8/8

故选第二行第7列元素作主元,进行旋转，得

JBi

1

2

3

4

5

6

7

8

9

di0

1

1

—1/2

—1/12

-5/12

1/2

13/6

0

0

0

7/3

7

0

1/8

-3/16

1/16

1/8

—1/8

1

0

0

1

8

0

1/8

—1/48

—5/48

1/8

13/24

0

1

0

4/3

9

0

-1/4

-7/24

-11/24

3/4

31/12

0

0

1

8/3

再继续，得

JBi

y1

1

y2

2

V1

3

V2

4

u1

5

u2

6

X1

7

X2

8

W0

9

di0

1

1

—9/31

49/62

-1/31

-4/31

0

0

0

—26/31

—208/93

7

0

7/62

—59/248

5/124

5/31

0

1

0

3/62

35/31

8

0

11/62

—147/744

—3/372

9/124

0

0

1

—13/62

24/31

6

0

-3/31

—25/62

-11/62

9/31

1

0

0

12/31

32/31

在上表中W0已被置换出基，即得到了相应线性互补问题的解，也就是所求二次规划的最优解：

y1=—208/93，x1=35/31，x2=24/31,u2=32/31，y2=v2=v2=u1=0，即x*=（35/31,24/31）T

12题解如下

12。

（1）外点法min

s。

t。

解：

定义惩罚函数

F（=

当

当

用解析法求解minF（），有

当

当

令,

得到TT

易见，当时,T

恰为所求费线性规划的最优解。

13题解如下

13.

（2）内点法

解:

定义障碍函数

用解析法求解令

解得（0，1）

当（0,1），确为最优解。

习题五

包括题目：

P108页5;10

5题解如下

5。

试求的有效解集

解：

用线性加权和法构造评价函数，令，；令，，且，或

则

原问题转化为求

对求导可得:

由式可解得:

即,

又已知,或

所以有效解集为或

10题解如下

10.用线性加权和法求解：

权系数取

解:

构造函数，令，，,;

原求解问题转化成求解

构造拉格朗日函数L求解,则如下

为拉格朗日乘子

对L函数求导得：

由式分别得：

代入式得：

将代入式,

∴可得：

∴有效解为,

把有效解代入，得，

目标值为:

习题六

包括题目:

P130页包括题目4；5；6；7

4,5题解如下

6，7题解如下

第六题答案

1.与v1点相邻接的顶点有v2、v3两点，l2=1，l3=2，取Min｛l2、l3}=1，于是连接v1、v2两点，令顶点集S=｛v1、v2}；图示如下：

2。

与S=｛v1、v2}相邻接的顶点有v3、v4、v5三点,l5=l2+d25=1+3=4，l4=l2+d24=1+3=4,

Min｛l2+d23、l3｝=1，取Min{l3、l4、l5｝=1,于是连接v1、v3两点，令顶点集S=｛v1、v2、v3}；图示如下:

3。

与S={v1、v2、v3}相邻接的点有v4、v5、v7三点，l5=l2+d25=1+3=4，l4=l2+d24=1+3=4，

l7=l3+d37=2+8=10，取Min｛l4、l5、l7}=4,于是连接v2、v4、v5三点，令顶点集S=｛v1、v2、v3、v4、v5｝；图示如下：

4。

与S=｛v1、v2、v3、v4、v5}相邻接的点有v6、v7两点，l6=Min｛l5+d56、l4+d46}=6,l7=min{l3+d37、l4+d47、l5+d57}=7,取min={l6、l7｝=6，于是连接v4