最新高三数学复课教案.docx
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最新高三数学复课教案
高三数学复课教案
第六章平面向量与复数
第一节 向量及其线性运算（57-58课时）
一知识预备
1．向量的有关概念及表示方法
（1）向量：
既有大小，又有方向的量统称为向量．
（2）有向线段：
具有方向和长度的线段叫作有向线段．
（3）向量的表示：
向量可以用有向线段来表示，也可以用黑体小写字母来表示，书写用a―→，b―→，c―→…来表示．
（4）向量的长度（模）：
向量a的大小即向量a的长度（或模）．
（5）零向量：
长度为零的向量称为零向量，记作0或0―→.
（6）单位向量：
与向量a同方向，且长度为单位1的向量，叫作a方向上的单位向量，记作a0.与向量AB―→同向的单位向量为
.
（7）相等向量：
长度相等且方向相同的向量，叫作相等向量．
（8）相反向量：
长度相等且方向相反的向量，叫作相反向量．
（9）共线（平行）向量：
如果表示两个向量的有向线段所在的直线平行或重合，则称这两个向量平行或共线．规定零向量与任一向量平行．
2．向量的线性运算
（1）向量求和的三角形法则：
已知非零向量a，b，在平面内任取一点A，作AB―→＝a，BC―→＝b，再作向量AC―→，则向量AC―→叫作a与b的和，记作a＋b，即a＋b＝AB―→＋BC―→＝AC―→，这种求两个向量和的方法叫作向量求和的三角形法则．
（2）向量加法的平行四边形法则：
作AB―→＝a，AD―→＝b，再作AD―→的平行向量BC―→＝b，连接DC.因为AD∥BC，且AD＝BC，所以四边形ABCD为平行四边形，向量AC―→叫作向量a与b的和，表示为AC―→＝a＋b，这种作两个向量和的方法叫作向量加法的平行四边形法则．
（3）向量加法的几何意义：
从法则可以看出，如图所示．
（4）向量减法：
定义a－b＝a＋（－b），即减去一个向量相当于加上这个向量的相反向量．
3．向量共线的判定定理和性质定理
二典例精讲
【例1】【例2】【例3】【例4】判断下列各命题的真假：
①向量AB―→的长度与向量BA―→的长度相等；
②向量a与b平行，则a与b的方向相同或相反；
③两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同；
④两个有公共终点的向量，一定是共线向量；
⑤有向线段就是向量，向量就是有向线段．
其中假命题的个数为（ ）
（A）2（B）3
（C）4（D）5
变式探究11：
平面向量a，b共线的充要条件是（ ）
（A）a，b方向相同
（B）a，b两向量中至少有一个为零向量
（C）存在λ∈R，b＝λa
（D）存在不全为零的实数λ1、λ2，λ1a＋λ2b＝0
【例2】（2010年高考四川卷）设点M是线段BC的中点，点A在直线BC外，BC―→2＝16，|AB―→＋AC―→|＝|AB―→－AC―→|，则|AM―→|等于（ ）
（A）8（B）4
（C）2（D）1
三选讲精练（处理习题）
第二节 平面向量基本定理及坐标运算（59-60课时）
一知识预备
1．平面向量基本定理
如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a，存在唯一一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.
我们把不共线的向量e1，e2叫作表示这一平面内所有向量的一组基底．
2．平面向量的坐标表示
在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i、j作为基底，对于平面内的任意向量a，有且只有一对实数x，y，使得a＝xi＋yj，则实数对（x，y）叫作向量a的坐标，记作a＝（x，y），其中x，y分别叫作a在x轴、y轴上的坐标，a＝（x，y）叫作向量a的坐标表示，相等的向量其坐标相同，坐标相同的向量是相等向量．
3．平面向量的坐标运算
（1）向量坐标的求法：
已知点A（x1，y1），B（x2，y2），则AB―→＝（x2－x1，y2－y1）．
（2）向量的加法、减法、数乘运算：
已知a＝（x1，y1），b＝（x2，y2），则a＋b＝（x1＋x2，y1＋y2），a－b＝（x1－x2，y1－y2），λa＝（λx1，λy1）．
（3）向量共线的坐标表示：
设a＝（x1，y1），b＝（x2，y2），则a∥b（b≠0）的充要条件是x1y2－x2y1＝0.
二典例精讲
【例1】如图所示，在△OAB中，OC―→＝
OA―→，OD―→＝
OB―→，AD与BC交于点M，设OA―→＝a，OB―→＝b，以a，b为一组基底表示OM―→.
（1）本题先利用平面向量基本定理设出未知向量，然后利用共线向量的条件列出方程组，通过待定系数法从而确定参数的值．
（2）由平面向量基本定理知：
平面内的任一非零向量都可用两个不共线的向量唯一表示，根据向量的加法和减法法则即可解题．
【例2】（2010年高考江苏卷）在平面直角坐标系xOy中，已知点A（－1，－2），B（2,3），C（－2，－1）．
（1）求以线段AB、AC为邻边的平行四边形的两条对角线的长；
（2）设实数t满足（AB―→－tOC―→）·OC―→＝0，求t的值．
（2009年高考广东卷）若平面向量a，b满足|a＋b|＝1，a＋b平行于x轴，b＝（2，－1），则a＝______________.
（2010年安徽省六校联考）已知P是△ABC内任一点，且满足AP―→＝xAB―→＋yAC―→（x，y∈R），则y－2x的取值范围是________．
【例4】若▱ABCD三个顶点的坐标分别为A（－2,1），B（3,4），C（－1，3），则第四个顶点D的坐标为（ ）
（A）（2,2）（B）（－6,0）
（C）（4,6）（D）（－4,6）
三选讲精练（处理习题）
第三节 平面向量的数量积及平面向量的应用（61-62课时）
一知识预备
1．平面向量的数量积
（1）向量的夹角
①已知两个非零向量a和b，作OA―→＝a，OB―→＝b，则∠AOB＝θ（0°≤θ≤180°），叫作向量a与b的夹角．
②向量夹角θ的范围是0≤θ≤π，a与b同向时，夹角θ＝0；a与b反向时，夹角θ＝π.
③如果向量a与b的夹角是
，则a与b垂直，记作a⊥b.
规定：
零向量与任一向量垂直．
（2）一向量在另一向量方向上的射影
如图，OA―→＝a，OB―→＝b，过点B作BB1⊥OA于B1，则OB1＝|b|cosθ.
|b|cosθ叫作向量b在a方向上的射影（也叫投影）．当θ为锐角时，它是正值（图（a））；当θ为钝角时，它是负值（图（b））；当θ＝90°时，它是0（图（c））；当θ＝0°时它等于|b|；当θ＝180°时它等于－|b|.
（3）数量积的定义
已知两个向量a和b，它们的夹角为θ，我们把|a||b|cosθ叫作a与b的数量积（或内积），记作a·b.
质疑探究2：
当a·b＝|a||b|或a·b＝－|a||b|时，a与b有何位置关系？
提示：
a∥b
（4）向量数量积的性质
设a，b都是非零向量，θ是a与b的夹角，则
①a⊥b⇔a·b＝0；
②当a与b同向时，a·b＝|a||b|；
当a与b反向时，a·b＝－|a||b|；
特别地，a·a＝|a|2或|a|＝
.
③cosθ＝
（|a||b|≠0）；
④|a·b|≤|a||b|（当且仅当a∥b时等号成立）．
二典例精讲
【例1】（2010年高考辽宁卷）平面上O，A，B三点不共线，设OA―→＝a，OB―→＝b，则△OAB的面积等于（ ）
（A）
（B）
（C）
（D）
【例2】
（1）（2010年高考江西卷）已知向量a，b满足|a|＝1，|b|＝2，a与b的夹角为60°，则|a－b|＝________.
（2）a，b为平面向量，已知a＝（4,3），2a＋b＝（3,18），则a，b夹角的余弦值等于（ ）
（A）
（B）－
（C）
（D）－
【例3】（2009年高考江苏卷）设向量a＝（4cosα，sinα），b＝（sinβ，4cosβ），c＝（cosβ，－4sinβ）．
（1）若a与b－2c垂直，求tan（α＋β）的值；
（2）求|b＋c|的最大值；
（3）若tanα·tanβ＝16，求证：
a∥b.
【例4】（2010年湘潭模拟）如图，半圆的直径AB＝6，O为圆心，C为半圆上不同于A、B的任意一点，若P为半径OC上的动点，则（PA―→＋PB―→）·PC―→的最小值是________．
三选讲精练（处理习题）
第四节 复数的概念及运算（63-64课时）
一知识预备
1．复数的有关概念
（1）复数的概念
形如a＋bi（a，b∈R）的数叫作复数，其中a，b分别是它的实部和虚部．若b＝0，则a＋bi为实数，若b≠0，则a＋bi为虚数，若a＝0且b≠0，则a＋bi为纯虚数．
（2）复数相等
a＋bi＝c＋di⇔a＝c且b＝d（a，b，c，d∈R）．
（3）共轭复数
a＋bi与c＋di共轭⇔a＝c且b＝－d（a，b，c，d∈R）．
（4）复平面
建立直角坐标系来表示复数的平面，叫作复平面．x轴叫作实轴，y轴叫作虚轴．实轴上的点都表示实数；除原点外，虚轴上的点都表示纯虚数；各象限内的点都表示虚数．
（5）复数的模
向量OZ―→的模r叫做复数z＝a＋bi的模，记作|z|或|a＋bi|，即|z|＝|a＋bi|＝
.
2．复数的几何意义
（1）复数z＝a＋bi
复平面内的点Z（a，b）（a，b∈R）
（2）复数z＝a＋bi
向量OZ―→（a，b∈R）．
3．复数的运算
（1）复数的加、减、乘、除运算法则
设z1＝a＋bi，z2＝c＋di（a，b，c，d∈R），则
①加法：
z1＋z2＝（a＋bi）＋（c＋di）＝（a＋c）＋（b＋d）i；
②减法：
z1－z2＝（a＋bi）－（c＋di）＝（a－c）＋（b－d）i；
③乘法：
z1·z2＝（a＋bi）·（c＋di）＝（ac－bd）＋（bc＋ad）i；
④除法：
＝
＝
＝
＋
i（c＋di≠0）．
（2）复数加法的运算定律
复数的加法满足交换律、结合律，即对任何z1、z2、z3∈C，有z1＋z2＝z2＋z1，（z1＋z2）＋z3＝z1＋（z2＋z3）．
二典例精讲
【例1】已知复数z＝m2（1＋i）－m（3＋i）－6i，则当m为何实数时，复数z满足：
（1）是实数；
（2）是虚数；（3）是纯虚数；（4）等于零；（5）对应的点在第三象限．
【例2】关于x的方程x2－（tanθ＋i）x－（2＋i）＝0有实数根，求锐角θ和实数根
【例3】计算：
（1）
；
（2）
＋（
）2010.
复数的四则运算类似于多项式的四则运算，此时含有虚数单位i的看作一类同类项，不含i的看作另一类同类项，分别合并即可，但要注意把i的幂写成最简形式，化简的依据是i的周期性，即i4n＋4＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i（n∈N），复数的代数形式运算，基本思路是直接用法则运算，但有时如果能用上一些常见的结论，如（1±i）2＝±2i，
＝i，－b＋ai＝i（a＋bi），可更有效地简化运算，提高运算速度．
【例4】如图，平行四边形OABC，顶点O，A，C分别对应复数0,3＋2i，－2＋4i，试求：
（1）AO―→所表示的复数，BC―→所表示的复数．
（2）对角线CA―→所表示的复数．
（3）求B点对应的复数．
三选讲精练（处理习题）
第六章章末总结（65-66课时）
平面向量与复数是高中数学的重要内容，是高考重要的考查对象，其中复数试题一般是一个选择题，难度较小，主要考查复数的相等（如2010年高考山东卷，文2），复数的几何意义（如2010年高考陕西卷，理2）以及复数的代数运算（如2010年高考安徽卷，理1）．
平面向量试题一般为1道选择题或填空题，难度中等偏下，主要考查平面向量的基本概念（如2010年高考安徽卷，文3），平面向量还常与三角函数、解析几何等知识结合，在知识交汇点处命题，以解答题形式呈现．
1．（2010年高考山东卷，文2）已知
＝b＋i（a，b∈R），其中i为虚数单位，则a＋b等于（ ）
A．－1B．1
C．2D．3
2．（2010年高考陕西卷，理2）复数z＝
在复平面上对应的点位于（ ）
（A）第一象限（B）第二象限
（C）第三象限（D）第四象限
3．（2010年高考安徽卷，理1）i是虚数单位，
等于（ ）
（A）
－
i（B）
＋
i
（C）
＋
i（D）
－
i
4．（2010年高考安徽卷，文3）设向量a＝（1,0），b＝（
，
），则下列结论中正确的是（ ）
（A）|a|＝|b|（B）a·b＝
（C）a∥b（D）a－b与b垂直
第七章数列
第一节 数列的概念及表示法（67-68课时）
一知识预备
1．数列的概念
一般地，按一定次序排列的一列数叫作数列，数列中的每一个数叫作这个数列的项，数列中的每一项都和它的序号有关．排在第一位的数称为这个数列的第1项（通常也称首项）．往后各项依次叫作这个数列的第2项，…，第n项，….数列的一般形式可以写成a1，a2，a3，…，an，…，其中an是数列的第n项，我们把上面的数列简记为数列{an}．
2．数列的分类
（1）根据数列的项数可以将数列分为两类
有穷数列——项数有限的数列；
无穷数列——项数无限的数列．
（2）按照数列的每一项随序号变化的情况分类
递增数列——从第2项起，每一项都大于它前面的一项的数列，即an＋1＞an；
递减数列——从第2项起，每一项都小于它前面的一项的数列，即an＋1＜an；
常数列——各项相等的数列．
3．数列与函数的关系
（1）数列的函数特性
从函数观点看，数列可以看作以正整数集N＋（或它的有限子集{1,2，…，n}）为定义域的函数an＝f（n），当自变量按照从小到大的顺序依次取值时，所对应的一列函数值．反过来，对于函数y＝f（x），如果f（i）（i＝1,2,3，…）有意义，那么我们可以得到一个数列f
（1），f
（2），f（3），…，f（n），….
（2）数列的图像
数列的图像是相应的曲线（或直线）上横坐标为正整数的一群孤立的点．
（3）数列的单调性、周期性
数列作为一类特殊的函数，也具有函数的某些性质，这对研究数列问题特别重要，数列的性质主要有单调性、周期性．
单调性的判断：
①据定义判断：
an＋1＞an⇔{an}单调递增；an＋1＜an⇔{an}单调递减；②据函数图像判断；③转化为函数运用求导法判断．
周期性的判断：
通过对a1、a2、a3…的逐步计算，观察发现重复现象．
4．数列的通项公式
如果数列{an}的第n项an与n之间的函数关系可以用一个式子an＝f（n）来表示，那么这个式子就叫作这个数列的通项公式．通项公式可以看成数列的函数解析式．
5．数列的递推公式
如果已知数列{an}的首项（或前几项），且任一项an与它的前一项an－1（或前几项）间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫作这个数列的递推公式．
6．数列的表示方法
（1）列表法
经常省略序号，将数列中的项一一列举出来写成a1，a2，a3，…，an，…的形式，所以也称为列举法．
（2）解析法
用一个公式表示一个数列的方法．
（3）图像法
数列图像是相应的曲线（或直线）上横坐标为正整数的一群孤立的点．
二典例精讲
【例1】写出下面数列的一个通项公式，使它的前几项依次是下列各数：
（1）－4,9，－14,19，…
（2）
，－
，
，－
，…
（3）0.9,0.99,0.999,0.9999，…
（4）
，3，
，
，3
，…
（5）1,2,1,2，…
【例2】根据下列条件，确定数列{an}的通项公式．
（1）a1＝1，nan＋1＝（n＋1）an；
（2）a1＝2，an＋1＝2an＋3·2n＋1.
【例3】已知数列{an}的前n项和Sn＝－n2＋24n（n∈N＋）．
求{an}的通项公式
【例4】已知an＝
（n∈N＋），问数列{an}中有没有最大项？
如果有，求出这个最大项的值；若没有，说明理由．
三选讲精练（处理习题）
第二节 等差数列（69-70课时）
一知识预备
1．等差数列的定义
一般地，如果一个数列从第2项起每一项与前一项的差是同一个常数，那么我们就称这样的数列为等差数列，称这个常数为等差数列的公差，通常用字母d表示，定义的表达式为an－an－1＝d（n∈N＋，n≥2）或an＋1－an＝d（n∈N＋）．
2．等差数列的通项公式
如果等差数列{an}的首项为a1，公差为d，那么它的通项公式是an＝a1＋（n－1）d.
质疑探究：
公差为d的等差数列{an}中的第m项am与第n项an有何关系？
提示：
an＝am＋（n－m）d
3．等差中项
如果a，A，b成等4．等差数列的常用性质
（1）若{an}为等差数列，公差为d，则d＞0时，{an}为递增数列；d＜0时，{an}为递减数列，d＝0时，{an}为常数列．
（2）若{an}为等差数列，且m＋n＝p＋k（m，n，p，k∈N＋），则an＋am＝ap＋ak；特别地，若m＋n＝2p（m，n，p∈N＋），则an＋am＝2ap.
（3）若{an}为等差数列，公差为d，则{a2n}是等差数列，公差为2d.
（4）若{an}、{kn}（kn∈N＋）均为等差数列，公差分别为d、d′，则{akn}也是等差数列，公差为dd′.
（5）若{an}、{bn}均为等差数列，公差分别为d、d′，则{pan＋qbn}也是等差数列，公差为pd＋qd′.（p，q为常数）
5.等差数列的前n项和公式
设等差数列{an}的公差为d，其前n项和Sn＝
或Sn＝na1＋
d.差数列，那么A叫作a与b的等差中项．
6．与等差数列前n项和有关的性质
（1）设Sn是公差为d的等差数列{an}的前n项和，那么Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…是等差数列，公差是m2d.
（2）项数为2n的等差数列{an}，有S2n＝n（a1＋a2n）＝…＝n（an＋an＋1）（an与an＋1为中间两项），S偶－S奇＝nd，
＝
.
项数为2n－1的等差数列{an}，有S2n－1＝（2n－1）an，S偶＝（n－1）an，S奇＝nan，S奇－S偶＝an，
＝
.
（3）若{an}为等差数列，则{
}也为等差数列，其首项与{an}的首项相同，公差是{an}公差的
倍
（4）设Sn，Tn分别是两个等差数列{an}、{bn}的前n项和，则
＝
.
二典例精讲
【例1】已知等差数列{an}的前三项分别为a,4,3a，前k项和Sk＝2550，求通项公式an及k的值．
等差数列中五个量：
a1、d、an、n、Sn，知道三个可求其余两个，一般设出未知的两个基本量，利用通项公式和前n项和公式列方程组来解，即“知三求二”，然后从基本量出发，各取所需，是解等差数列问题的重要方法．
【例2】若{an}是等差数列，首项a1＞0，a2011＋a2012＞0，a2011·a2012＜0，则使前n项和Sn＞0成立的最大自然数n是（ ）
（A）2020（B）2011（C）4022（D）4023
【例3】已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足Sn－Sn－1＋2Sn·Sn－1＝0（n≥2），a1＝
.
（1）求证：
{
}是等差数列；
（2）求an的表达式．
【例4】（2010年高考浙江卷）设a1，d为实数，首项为a1，公差为d的等差数列{an}的前n项和为Sn，满足S5S6＋15＝0，则d的取值范围是____________________．
三选讲精练（处理习题）
第三节 等比数列（71-72课时）
一知识预备
1．等比数列的定义
一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列叫作等比数列．这个常数叫作等比数列的公比，通常用字母q（q≠0）表示．
2．等比数列的通项公式
设等比数列{an}的首项为a1，公比为q，则它的通项an＝a1qn－1（a1≠0，q≠0）．
质疑探究1：
公比为q的等比数列的第n项an与第m项am之间有何关系？
提示：
an＝amqn－m.
3．等比中项
如果在a与b中插入一个数G，使得a，G，b成等比数列，那么有
＝
，即G2＝ab或G＝±
，我们称G为a、b的等比中项．
质疑探究2：
（1）任何两个实数都有等比中项吗？
4．等比数列的性质
（1）若{an}为等比数列，公比为q（q≠0），则
a1
a1>0
a1<0
q的
范围
0q＝1
q>1
0q＝1
q>1
{an}的
单调性
递减
数列
正常
数列
递增
数列
递增
数列
负常
数列
递减
数列
q<0时，{an}是摆动数列（它所有奇数项同号，所有的偶数项也同号，但是奇数项与偶数项异号）．
（2）若{an}为等比数列，且m＋n＝p＋k（m，n，k，p∈N＋），则am·an＝ap·ak；特别地，若m＋n＝2p（m，n，p∈N＋），则am·an＝a
.
（3）若{an}为等比数列，公比为q，则{a2n}是等比数列，公比为q2；当an>0时，{lgan}是公差为lgq的等差数列．
（4）若{an}为等比数列，{kn}（kn∈N＋）为等差数列，公比、公差分别为q、d，则{akn}也是等比数列，公比为qd.
（5）若{an}、{bn}（项数相同）是等比数列，则{λan}、{|an|}、{
}、{a
}、{an·bn}，{
}，（λ，α为非零常数）仍是等比数列．
5．等比数列的前n项和公式
设等比数列{an}的公比为q，其前n项和为Sn，
当q＝1时，Sn＝na1；
当q≠1时，Sn＝
或Sn＝
.
二典例精讲
【例1】
（1）已知{an}为等比数列，a3＝2，a2＋a4＝
，求{an}的通项公式；
（2）设等比数列{an}的公比为q（q>0），它的前n项和为40，前2n项和为3280，且前n项中数值最大项为27，求数列的第2n项．
【例2】
（1）在等比数列{an}中，a1＋a2＝324，a3＋a4＝36，求a5＋a6的值；
（2）在等比数列{an}中，已知a3·a4·a5＝8，求a2·a3·a4·a5·a6的值．
【例3】数列{an}的前n项和记为Sn，已知a1＝1，an＋1＝
Sn（n∈N＋）．证明：
（1）数列{
}是等比数列；
（2）Sn＋1＝4an.
【例4】三个互不相等的实数成等差数列，如果适当排列这三个数，又可成为等比数列，已知这三个数的和为12，求这三个数．
三选讲精练（处理习题）
第四节 数列求和（73-74课时）
一知识预备
1．公式法
（1）直接利用等差、等比数列的求和公式求和．
（2）一些常见数列的前n项和
①1＋2＋3＋…＋n＝
；
②1＋3＋5＋…＋（2n－1）＝n2；
③2＋4＋6＋…＋2n＝n（n＋1）；
④12＋22＋32＋…＋n2＝
.
2．倒序相加法
将一个数列倒过来排序（反序），当它与原数列相加时，若有公因式可提，并且剩余项的和易于求得，则这样的数列可用倒序相加法求和．
3．错位相减法
如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积所构成，则此时可把其前n项和的表示式两边同时乘以公比，然后两式相减，从而解得．
4．分组求和法
将数列的通项适当拆开，若可分为几个等差、等比或可求和的数列，则先分别求和，然后再合并，从而得解．
5．裂项相消法
把数列的通项分成两项或
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