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注册结构工程师基础考试结构力学教程

一级注册结构工程师基础考试结构力学教程

第一节平面体系的几何组成分析

按照机械运动及几何学的观点，对平面结构或体系的组成情况进行分析，称为平面体系的几何组成分析。

一、名词定义

（一）刚片和刚片系

不会产生变形的刚性平面体称为刚片。

在体系的几何组成分析中，不考虑杆件微小的应变，这种不计应变的平面杆件就是刚片，由刚片组成的体系称为刚片系。

（二）几何可变体系和几何不变体系

当不考虑材料的应变时，体系中各杆的相对位置或体系的形状可以改变的体系称为几何可变体系。

否则，体系就称为几何不变体系。

一般的实际结构，都必须是几何不变体系。

（三）自由度、约束和对象

物体运动时的独立几何参数数目称为自由度。

例如一个点在平面内的自由度为2，一个刚片在平面内的自由度为3。

减少体系独立运动参数的装置称为约束，被约束的物体称为对象。

使体系减少一个独立运动参数的装置称为一个约束。

例如一根链杆相当于一个约束；一个连接两个刚片的单铰相当于二个约束；一个连接n个刚片的复铰相当于n—1个单铰；一个连接二个刚片的单刚性节点相当于三个约束；一个连接n个刚片的复刚性节点相当于n—1个单刚性节点。

一个平面体系的自由度w可按下式确定

W＝3n—2H—R

其中n为体系中的刚片总数，H、R分别为体系中的单铰总数和支杆总数。

例如图1－1所示体系的自由度分别为1和0。

自由度大于零的体系一定是几何可变的。

自由度等于零及小于零的体系，可能是几何不变的也可能是几何可变的，要根据体系中的约束布置情况确定。

（a）（b）

图1－1

（四）必要约束和多余约束

如果在体系中增加一个约束，体系减少一个独立的运动参数，则此约束称为必要约束。

如果在体系中增加一个约束，体系的独立运动参数并不减少，则此约束称为多余约束。

平面内一个无铰的刚性闭合杆（或称单闭合杆）具有三个多余约束。

（五）等效代替

1．等效刚片

几何组成分析时，一个内部几何不变的平面体系，可用一个相应的刚片来代替，此刚片称为等效刚片。

2．等效链杆

几何组成分析时，一根两端为铰的非直线形杆件，可用一根相应的两端为铰的直线形链杆来代替，此直线形链杆称为等效链杆。

3．虚铰

连接两个刚片的两根链杆的交叉点或其延长线的交点称为虚铰（如图1－2）。

两根链杆对两个刚片运动的约束效果与相应的虚铰是等效的。

（a）（b）

图1－2

二、平面体系的几何组成分析

（一）平面几何不变体系的基本组成规则及瞬变体系、常变体系

判定体系是否满足几何不变的充分条件是几何不变体系的基本组成规则。

1．两刚片连接规则

两个刚片用不相交于一点或不互相平行的三根链杆连接成的体系，是内部几何不变且无多余约束的体系。

2．三刚片连接规则

三个刚片用三个不在一条直线上的单铰（虚铰或实铰）两两相连而成的体系，是内部几何不变且无多余约束的体系。

两刚片、三刚片连接规则实际上是可以相互变换沟通的。

3．两元片和一元片规则

由上述两刚片、三刚片连接规则可得如下的两元片和一元片规则。

由两根不在同一直线上的链杆连接一个新节点的装置称为两元片；由三根不相交于一点的链杆连接一个刚片的装置称为一元片。

在一个体系上增加或去除两元片、一元片，不影响原体系的几何不变性或可变性。

4．瞬变体系和常变体系

只能作微小运动的体系称为瞬变体系。

例如图1－3所示的体系均为瞬变体系。

能作非常微小运动的体系称为常变体系。

如一个实铰连接两个刚片的体系及用三根等长且都平行的链杆连接两个刚片的体系都是常变体系。

（a）（b）（c）

图1－3

（二）几何组成分析例题

[例1－1]分析图1－4（a）所示体系的几何组成。

（a）（b）

图1－4

[解]体系的自由度W＝3×3-2×2-5＝0。

根据两元片规则，将地基延伸至固定铰A、C处，并将地基作为刚片I，将杆件BEFG作为刚片Ⅱ（图1－4（b）），刚片I和Ⅱ由支座链杆B、等效链杆AE、CG相连接，这三根链杆不相交于一点，体系是几何不变的，且无多余约束。

[例1－2]分析图1－5（a）所示体系的几何组成。

（a）（b）

图1－5

[解]体系的自由度W=3×10—2×12—6＝0。

将地基并连同杆件ACG、BFJ作为刚片I、杆件DH、EI作为刚片Ⅱ、Ⅲ（图1－5（b）），则刚片I、Ⅱ、Ⅲ由三个虚铰（IⅡ）、（IⅢ）、（ⅡⅢ）两两相连，其中虚铰（ⅡⅢ）由一组平行链杆形成，而虚铰（IⅡ）、（IⅢ）的连接线平行于形成虚铰（ⅡⅢ）的两根平行链杆，可视为三虚铰在同一直线上，体系为瞬变体系。

[例1－3]分析图1－6（a）所示体系的几何组成。

[解]体系的自由度W＝3×8—2×10-4=0。

根据两元片规则，将地基延伸至固定铰A处，并将地基作为刚片I，将CEF作为等效刚片Ⅱ，DB杆作为刚片Ⅲ，这三个刚片由三个虚铰（IⅡ）、（IⅢ）、（ⅡⅢ）两两相连，如图1－6（b）所示。

因形成无穷远处的两个虚铰（IⅢ）、（ⅡⅢ）的两组平行链杆不相互平行，故体系是无多余约束的几何不变体。

（a）（b）

图1－6

[例1－4]分析图1－7（a）所示体系的几何组成。

（a）（b）

图1－7

[解]体系的自由度W＝3×9—2×12—3＝0。

根据一元片规则，去除图1－7（a）所示体系的一元片，得图1－7（b）所示体系。

再将杆件AB、CE、DF分别作为刚片I、Ⅱ、ⅡⅢ，这三个刚片由三组平行链杆形成的三个无穷远处的虚铰（IⅡ）、（IⅢ）、（ⅡⅢ）两两相连，根据三刚片连接规则，体系为无多余约束的几何可变体系（无穷远处的三个点在一广义直线上）。

第二节静定结构受力分析和特性

一、静定结构的定义

静定结构是没有多余约束的几何不变体系。

在任意荷载作用下，其全部支座反力和内力都可由静力平衡条件确定，即满足静力平衡条件的静定结构的反力和内力的解答是唯一的。

但必须指出，静定结构任意截面上的应力和应变却不能仅由静力平衡条件确定，还需要附加其他条件和假设才能求解。

二、计算静定结构反力和内力的基本方法

在静定结构的受力分析中不涉及结构材料的性质，将整个结构或结构中的任一杆件都作为刚体看待。

静定结构受力分析的基本方法有以下三种。

（一）数解法

将受力结构的整体及结构中的某个或某些隔离体作为计算对象，根据静力平衡条件建立力系的平衡方程，再由平衡方程求解结构的支座反力和内力。

（二）图解法

静力平衡条件也可用力系图解法中的闭合力多边形和闭合索多边形来代替。

其中闭合力多边形相当于静力投影平衡方程，闭合索多边形相当于力矩平衡方程。

据此即可用图解法确定静定结构的支座反力和内力。

（三）基于刚体系虚位移原理的方法

受力处于平衡的刚体系，要求该力系在满足刚体系约束条件的微小的虚位移上所做的虚功总和等于零。

据此，如欲求静定结构上某约束力（反力或内力）时，可去除相应的约束，使所得的机构沿该约束力方向产生微小的虚位移，然后由虚位移原理即可求出该约束力。

三、直杆弯矩图的叠加法

绘制线弹性结构中直杆段的弯矩图，采用直杆弯矩图的叠加法。

直杆弯矩图的叠加法可叙述为：

任一直杆，如果已知两端的弯矩，则杆件的弯矩图等于在两端弯矩坐标的连线上再叠加将该杆作为简支梁在荷载作用下的弯矩图，如图2－1所示。

作弯矩图时，弯矩值坐标绘在杆件受拉一边，弯矩图中不要标明正、负号。

（a）（b）

图2－1

四、直杆内力图的特征

在直杆中，根据荷载集度q，弯矩M、剪力V之间的微分关系dV／dx＝q，dM／dx＝V、d2M／dx2＝q，可推出荷载与内力图的一些对应关系，这些对应关系构成了弯矩图与剪力图的形状特征（表2—1）。

表2—1

梁上情况

无外力区段

均布力q作用区段

集中力P作用处

集小力偶M。

作用处

铰处

剪力图

水平线

斜直线

为零处

有突变（突变值＝P）

如变号

无变化

弯矩图

一般为斜直线

抛物线（凸出方向同q指向）

有极值

有尖角（尖角指向同P指向）

有极值

有突变（突变值—M。

）

为零

注意到截面上轴力与剪力是互相垂直的，只要根据剪力图的特征，并结合杆件上的荷载情况，就可得到轴力图的特征。

熟悉掌握内力图的特征，便于绘制和校核内力图。

五、静定多跨梁

（一）静定多跨梁的组成

由中间铰将若干根单跨梁相连，并用若干支座与地基连接而成的静定梁，称为静定多跨梁。

图2—2（a）、图2—3（a）所示为静定多跨梁的两种基本形式，也可由这两种基本形式组成混合形式。

图2—2（a）中的AB杆与基础组成的几何不变体能单独承受荷载，称为基本部分。

而其余的CD、EF部分，则必须依靠基本部分才能保持为几何不变，称为附属部分。

图11—2-2（b）为表示这种基本部分与附属部分关系的层叠图。

图2－2

图2—3（a）所示的梁，在竖向荷载作用下，AB、EF部分为基本部分，CD则为附属部分，其层叠图如图2—3（b）所示。

图2－3

静定多跨梁的支座反力数等于三个整体静力平衡方程数与连接杆件的单铰数之和。

（二）静定多跨梁的计算

因为作用在基本部分上的荷载对附属部分的内力不产生影响，而作用在附属部分上的荷载，对支撑它的基本部分要产生内力，因此，静定多跨梁的内力计算，一般可按以下步骤计算。

1．区分基本部分和附属部分，绘出层叠图。

2．根据层叠图，从最上层的附属部分开始，依次计算各单跨梁的支座反力井绘制内力图。

在计算中要将附属部分的反力传至支撑它的基本部分。

3．对反力和内力图进行校核。

支座反力一般可根据静定多跨梁的整体平衡条件校核。

弯矩图、剪力图一般可根据表2－1中M图与y图的形状特征进行校核，也可以从梁中截取任一隔离体由平衡条件校核。

[例2－1]求作图2－4（a）所示静定多跨梁的弯矩图和剪力图。

图2－4

[解]层叠图如图2－4（b）所示。

各附属部分、基本部分的计算过程如图2－4（c）所示。

弯矩图和剪力图分别如图2－4（d）所示。

其中剪力图的正、负号规定与材料力学中的规定相同。

容易看出，当跨度和荷载均相同时，静定多跨梁的弯矩比简支梁的弯矩小，并且只要调整静定多跨梁中间铰的位置，就可使梁的各截面弯矩值的相对比值发生变化，这是静定多跨梁的优点。

但由于中间铰的存在，构造就复杂一些。

六、静定平面刚架

部分结点或全部结点是刚性连接的结构称为刚架。

各杆轴线、支座及荷载均在同一平面内的静定刚架称为静定平面刚架。

静定平面刚架的内力计算，通常是先求出支座反力及铰接处的约束力，再由截面法求出各杆端截面的内力，然后根据荷载情况及内力图的特征，逐杆绘制内力图。

[例2－2]绘制图2－5（a）所示刚架的弯矩、剪力、轴力图。

图2－5

[解]

（1）计算支座反力

根据刚架的整体平衡条件，由

ΣX＝0，得HA＝4qa；

ΣMA＝0，得VB＝2qa；

ΣY＝0，得VA＝2qa。

（2）计算各杆端截面的弯矩、剪力、轴力。

由截面法可得各杆端截面的内力值为：

AC杆：

MAC＝0，MCA＝16qa2（左侧受拉）；VAC＝4qa，VCA＝—12qa；NAC＝2qa，

NCA＝2qa（轴力以拉力为正）。

BE杆：

MBD＝0，MDB＝18qa2（右侧受拉）；VBD＝—1.2qa，VDB＝8.4qa；NBD＝—1.6qa，NDB＝—8.8qa。

CD杆：

MCD=16qa2（上侧受拉），MDC=24qa2（上侧受拉）；VCD＝—2qa，VDC＝—2qa；