集合强化训练省赛试题汇编备战全国高中数学联赛与各省市预赛解析版.docx

集合强化训练省赛试题汇编备战全国高中数学联赛与各省市预赛解析版.docx

《集合强化训练省赛试题汇编备战全国高中数学联赛与各省市预赛解析版.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《集合强化训练省赛试题汇编备战全国高中数学联赛与各省市预赛解析版.docx（11页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。

集合强化训练省赛试题汇编备战全国高中数学联赛与各省市预赛解析版

全国高中数学历届（2009-2019）联赛与各省市预赛试题汇编

专题19集合强化训练（省赛试题汇编）

1．【2018年山西预赛】集合M中，末尾数字为8的元素之和是________.

【答案】204626

【解析】

若将所有的这种数划去其尾数8，剩下的数就是0,1,2，…，201，共计划去202个8，因此所求的和值为.

2．【2018年湖南预赛】设集合，若，则实数m的取值范围为__________.

【答案】

【解析】

由知，，而

.

当时，，即，此时成立.

当时，，即，由，得

解得.又，故得.

综上，有.

故答案为：

3．【2018年福建预赛】将正偶数集合从小到大按第组有个数进行分组：

，…，则2018位于第______组．

【答案】27

【解析】

设2018在第组，由2018为第1009个正偶数，根据题意得，即．解得正整数．所以2018位于第27组．

4．【2016年上海预赛】设S={1，2，···,11}，对S的每个七元子集，将其中七个数从小到大排列，取出中间的数。

则所有取出的中间数的和等于__________。

【答案】1980

【解析】

S的七元子集共有个.对每一个七元子集

，唯一对应另一个七元子集

其中，

集合A与B的中间数分别为,它们的和为12.

因此,所有中间数的和等于.

5．【2016年新疆预赛】集合是由中的40个元素组成的子集，为集合中的所有元素之和，则的取值个数为______.

【答案】401

【解析】

注意到，的最小值为，

的最大值为.

设集合中的元素为使得不是集合中的元素的最小元素.

若，则，把替换为，得由40个元素组成的子集，其和为.

从而，的取值个数为.

6．【2016年新疆预赛】将集合中的数从小到大排列，则第60个数为______（用数字作答）.

【答案】2064

【解析】

易知，组合共有个.

注意到，.

因此，第60个数满足，即第60个数为.

7．【2016年四川预赛】对于任何集合S，用表示集合S中的元素个数，用n（S）表示集合S的子集个数.若A、B、C为三个有限集，且满足

（1）；

（2）.则的最大值为_______.

【答案】2015

【解析】

由条件知，即

则.

显然，.

若，则.

从而，，矛盾.

于是，.

构造：

，

，

符合条件.

从而的最大值为2015.

8．【2016年辽宁预赛】记[x]表示不超过实数x的最大整数.设集合______.

【答案】

【解析】

若x∈B,则[x]∈{-2,-1,0,1,2}代入集合A得.

经检验,只有A∩B={-1,3}

9．【2016年江苏预赛】已知集合．则实数a的取值范围是__________．

【答案】

【解析】

作图可知，若，则，且点到直线的距离不小于1，

即．故．

10．【2016年湖南预赛】当一个非空数集满足条件“若，则，且当时，”时，称为一个数域.以下四个关于数域的命题：

①0为任何数域的元素；

②若数域有非零元素，则；

③集合为数域；

④有理数集为数域.

其中，真命题的编号为______（写出所有真命题的编号）.

【答案】①②④.

【解析】

根据数域的定义判断，命题①、②、④均正确.

取，则，但，即命题③错误.

11．【2016年湖北预赛】从五个正整数a、b、c、d、e中任取四个求和，得到的和值构成集合{44，45，46，47}，则=_________.

【答案】57

【解析】

从五个正整数中任取四个求和，共有五种取法，应该得到五个和值．而集合{44，45，46，47}中只有四个元素，则一定有两个和值相等．故

又为整数，得

12．【2016年河南预赛】集合的元素和为奇数的非空子集的个数为_______。

【答案】

【解析】

令.

则所求值即为的展开式中的奇次项的系数和.

故元素和为奇数的非空子集的个数为.

13．【2016年福建预赛】已知集合若AB，则实数a的取值范围是________.

【答案】

【解析】

易知，A={x|1≤x≤2}.

当x∈A时，.

故a>.

从而，a的取值范围是（，+∞）.

14．【2016年新疆预赛】设集合.若的两个非空真子集满足,则称的一个划分.若对集合的任一划分,均有中或中存在两个数使得其和为平方数,则n至少为______.

【答案】15

【解析】

当时,取.

易知,中的任意两数之和均不为平方数.

从而,不符合题意.

因而,亦不合题意.

现考虑.

用反证法.假设中的任意两数之和均不为平方数.

不妨设，

由;

由.

但,与中任意两数之和均不为平方数的假定矛盾.

因此,符合题意.从而,n的最小值为15.

15．【2018年江西预赛】将前12个正整数构成的集合中的元素分成四个三元子集，使得每个三元子集中的三数都满足：

其中一数等于另外两数之和，试求不同的分法种数．

【答案】8

【解析】

设四个子集为，2，3，4，其中，2，3，4，

设，则，

所以，故，因此．

若，则由，得，

即有，

再由，

必须，共得两种情况：

；

以及，对应于两种分法：

；

．

若，则，于是，分别得．

对于，得到三种分法：

；

；

．

对于，也得三种分法：

；

；

．

因此本题的分组方案共八种．

16．【2016年浙江预赛】设集合。

用表示集合中所有元素的倒数之和。

证明：

。

【答案】见解析

【解析】

在位正整数中，各位上的数码不含数字2、0、1、6的共有个，其中首位数字为3、4、5、7、8、9（组成集合）的各有.从而，在所有的位数中，.则.

17．【2016年新疆预赛】设为一个含有个元素的集合，为集合的互不相同的个子集.证明：

在集合中存在一个元素，使得，…，仍为互不相同的集合，其中，.

【答案】见解析

【解析】

反证法.

假设命题不成立，则对任何，

，…，中必有两个集合相同.

构造图，其顶点标记为，…，，且连一条边（标记为）.若，将图中具有相同标号的边只保留一条（多余的去掉），则得到一个图，它含有个点，条边，且每条边的标号不同.

易见，图含有一个圈，记为

.

一方面，，再到，…，，最后回到增减的元素是互不相同的.另一方面，从出发增减元素后返回到却是相同的集合.矛盾.

18．【2016年湖北预赛】已知，且．求实数a的取值范围．

【答案】

【解析】

易知.

显然，a＞0且a≠1.

当0＜a＜1时，若，则0＜x＜1.

此时，恒有.

当a＞1时，对于满足0＜x＜1的任意x，一定有.此时，必有.

故.

又,于是，.

设.则等价于在区间上恒成立.

令，得

.

则在区间（0，）上单调递减，在区间（，+∞）上单调递增．

故的最小值为．

要使得≥0在区间（0，+∞）上恒成立，只需≥O．

又≥O

综上，.

19．【2016年福建预赛】若将集合A={1，2，…，n}任意划分为63个两两不相交的子集（它们非空且并集为A）A1，A2，…，A63，则总存在两个正整数x、y属于同一个子集A1（1≤i≤63），且x>y，31x≤32y.求满足条件的最小正整数n.

【答案】2016

【解析】

考虑模63的剩余类，即将集合A划分为如下63个两两不相交的子集：

Ai={a|a=63k+i，k∈N}（i=1，2，…，63）.

于是，对每个Ai（1≤i≤63）及任意的x、y∈Ai（x>y），均有x-y≥63.

则y≤x-63，x≤n32y-31≤32（x-63）-31x=x-32×63≤n-20

20．【2016年山东预赛】已知集合A、B均是由正整数组成的集合，且.集合A满足以下条件：

若a、b、m、n∈A，且a+b=m+n，则.定义.试确定的最小值.

【答案】200

【解析】

记，

，其中，.

于是，.

下面证明：

.

事实上，设存在.则存在，使得

，且

，

.①

而

，

则.

又由结论①，知，这是不可的能，否则，

，即中最多只有一个元素，矛盾.

从而，.

由容斥原理知

.

又令，

.

容易验证，若m≠n≠k，则

.

因此，.

综上，的最小值为200.

21．【2016年新疆预赛】设A是由n个正整数构成的集合,且A中所有元素之和小于.证明:

集合A至少有两个没有公共元素的非空子集,其元素之和相同.

【答案】见解析

【解析】

由集合A中含有n个元素,知集合A的非空子集的个数为.

设B为集合A的任一非空子集,且为集合B的元素之和.

由集合A中所有元素之和小于2-1,知

.

因此,由抽屉原理,知必然存在集合A的两个非空子集C、D,满足

若,则命题得证.

若,令

.

显然,,且.

最后,只需证明.

若,则,故.

由于,故,但此时,,与矛盾.因此,.

类似地,.

综上,集合A至少有两个没有公共元素的非空子集,其元素之和相同.