空间曲线的参数化.docx

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空间曲线的参数化

第七讲曲线积分与曲面积分

一、空间曲线的参数化

若积分曲线的参数方程,则曲线积分的计算公式为

曲线积分计算的关键是如何将积分曲线参数化。

下面将给出积分曲线参数化的某些常用方法。

1.设积分曲线,从中消去某个自变量,例如，得到在

xoy平面的投影曲线，这些投影曲线常常是园或是椭圆，先将它们表示成参数方程然后将它们代入中，解出由此得到的参数方程：

。

例1将曲线，（其中）用参数方程表示。

解：

从的方程中消去y，得到xoz平面上的投影曲线,这是椭圆，它的参数方程为，将其代入的方程，得到,所以的参数方程为。

2.若的方程中含有园、椭圆或球的方程时，要充分利用园、椭圆或球的

所熟知的参数方程先将其参数化，再代入的另一方程，求出另一变量的参数表达式。

例2将曲线，（其中）用参数方程表示。

解：

在xoy平面的投影曲线为,这是一个圆，先将其参数化。

因为,所以它的参数方程为

，将其代入得

所以的参数方程为。

例3对例1加一个条件，求它的参数方程。

解：

是球面，引入球坐标，

由于得，故

二、曲线积分的计算

1.注意到曲线积分的被积函数是定义在积分曲线上的，因此它的自变量应满足积分曲线方程，所以首先可用积分曲线方程去化简被积函数。

2.对称性的应用（以第一类平面曲线积分为例）

（1）曲线关于x轴对称，是指,换句话说，若则它的对称点；

（2）曲线关于y轴对称，是指,换句话说，若则它的对称点；

（3）曲线关于原点对称，是指,换句话说，若则它的对称点；

（4）曲线关于直线对称（或直线对称），是指,

（或）,换句话说，互为对称点，互为对称点。

若曲线积分的被积函数在任意的对称点处的函数值互为相反数，则；在任意的对称点处函数值都相等，则

，其中是相应对称积分曲线的一半。

例1计算

（1）,其中;

（2）,其中,周长为a。

解：

（1）由于关于y轴对称，被积函数x在对称点处的函数值互为相反数，所以。

由于关于直线对称，函数在对称点处互为相反数,所以

即，从而有

由于的参数方程为，所以

.

（2）

.

其中关于x轴对称，且2xy在对称点处的值互为相反数，所以.

例2设，求弧长的曲线积分，其中为正方形的边界。

解：

如图,由于折线对关于直线对称，且在对称点上有,所以

；

原式。

例3计算，其中。

解：

（1）由于在上，所以

由例1的参数方程为,则

.所以。

3.格林公式的应用

（1）若积分曲线不是封闭，则可添加若干条直线（或曲线）使之构成封闭曲线，

再应用格林公式；

（2）若封闭曲线L所围成的区域D内有“奇点”,则在奇点外成立等式

的条件下，有成立，其中L

是围绕奇点的正向简单闭曲线，通常是园或椭圆等。

例1设记为它的正向边界曲线。

证明：

证：

由格林公式得

其中，是由于是关于直线对称，即

。

同理可证。

两积分相等可由格林公式得出。

例2计算，其中是以（1,0）为中心R（R>1）为半径的正向圆周。

解：

首先验证成立。

由于在为边界的闭区域内有不连续点（0,0），因此在

内部作正向闭曲线，其中充分小，所以

例3.已知关于坐标的曲线积分（常数），其中函数可导，且是围绕（0,0）的任一分段光滑正向闭曲线，求

（1）函数的表达式；

（2）A的值。

解：

（1）为了应用格林公式求出，先计算对于任一不包含原点的分段光滑的正向闭曲线C都有.（因为未知,所以原点有可能为被积函数的不连续点）如图：

由此可知对有成立，即

，解此微分方程得，由于所以C=1

所求的。

（2）取L1为正向圆周，则。

4．利用曲线积分来计算曲面的面积

（1）柱面被曲面截下部分的面积。

计算公式为，其中在xoy面上的投影曲线.

例1求柱面位于球面之内的侧面的面积。

解：

由于关于三个坐标面都对称，所以（S0是S位于第一卦限部分的面积）。

由对弧长的曲线积分的几何意义，知道

所以.

（2）由坐标面上的平面曲线绕某轴旋转一周而成的旋转曲面的面积。

例如yoz平面上的曲线绕y轴旋转一周而成的旋转曲面的面积.计算公式为

例2设，，求的表面位于内部分的的面积。

解：

如图：

的表面位于内部分的曲面可以看成是由AB绕z轴旋转一周而成的旋转的侧面，，所以

.

三、曲面积分的计算

1.第一类曲面积分的对称性

（1）曲面关于xoy平面对称，是指若则它关于xoy平面的对称点；

（2）曲面关于原点对称，是指则它的对称点；

（3）曲面关于平面对称，是指则它的对称点；

若被积函数的在对称点处的函数值互为相反数，则；在对称点处函数值相等，则，其中是相应对称积分曲面的一半。

例1求下列曲面积分

（1），其中；

（2），其中；

解：

（1）

由于关于平面对称,且函数在对称点处的值互为相反数,故

，所以。

（2）

，，

故.

2.第二类曲面积分的对称性及高斯公式

（1）设曲面关于xoy平面对称，若被积函数的在对称点处的函数值互为相反数，则；在对称点处函数值相等，则，其中是相应对称积分曲面的一半。

若x与y互换，的方程及侧不变，则

，

若x与z互换，的方程及侧不变，则

，

（2）当不是闭曲面时，适当添上一块外侧曲面,使得组成闭曲面（所围成的闭区域为），于是高斯公式为

（3）当是外侧闭曲面，是它所围的闭区域，在的内部有不连续点时，可以作位于内部的外侧闭曲面,将点包围起来，这个闭曲面常常是小球面、小椭球面，于是高斯公式为

当在上除点外处处有时，

例2,其中是上半椭球面的外侧。

解：

由于x与y互换，的方程及侧不变，且关于yoz平面对称，且被积函数在对称点处的值互为相反数，所以

其中是的部分，前侧，是在yoz平面上的投影）

（椭球的体积）=

（上半球体的体积）。

故原式.

例3.计算曲面积分

其中是球面的外侧。

解：

由于关于xoy平面对称,函数在对称点处的值相等，所以

。

当x与y互换时，的方程及侧不变，所以

其中是的的部分，且在对称点处的值互为相反数，所以有。

例4计算,其中是柱面及两平面所围立体表面的外侧。

解：

是外侧曲面，但原点在内部，都不连续，从而不能应用高斯公式。

关于xoy平面对称，在对称点处的值相等，所以.

于是

其中，，，由积分性质，有

由于关yoz平面对称，在对称点处的值互为相反，所以

其中是的部分，前侧，是的在yoz平面的投影。

例5求曲面积分，

其中是上半球的上侧。

解：

令，则成为上半球面上侧。

其中添加（下侧），使是外侧闭曲面。

应用高斯公式计算。

（）

例6计算,其中是曲面的外侧。

解：

由于在原点不连续，所以不能直接应用高斯公式。

为此作小球面，使之含在之中，并取外侧。

由于除原点外，都有成立，所以

。