初中数学利用二次函数解决面积最值问题练习含答案Word文档下载推荐.docx
《初中数学利用二次函数解决面积最值问题练习含答案Word文档下载推荐.docx》由会员分享,可在线阅读,更多相关《初中数学利用二次函数解决面积最值问题练习含答案Word文档下载推荐.docx(10页珍藏版)》请在冰豆网上搜索。
C.当C为AB的三等分点时,S最小
D.当C为AB的三等分点时,S最大
4.如图K-6-3,在矩形ABCD中,AB=2,点E在边AD上,∠ABE=45°
,BE=DE,连结BD,点P在线段DE上,过点P作PQ∥BD交BE于点Q,连结QD.设PD=x,△PQD的面积为y,则能表示y与x之间函数关系的图象大致是()
图K-6-3
图K-6-4
二、填空题
5.已知二次函数y=ax2+bx+c(a<
0)的图象如图K-6-5所示,当-5≤x≤0时,函数y的最大值是,最小值是.
图K-6-5
7.如图K-6-6,在△ABC中,∠B=90°
,AB=6cm,BC=12cm,动点P从点A开始沿
边AB向点B以1cm/s的速度移动(不与点B重合),动点Q从点B开始沿边BC向点C以2cm/s
的速度移动(不与点C重合).如果点P,Q分别从A,B同时出发,那么经过s,四边
形APQC的面积最小.链接学习手册例2归纳总结
图K-6-6
8.如图K-6-7①,点P从△ABC的顶点B出发,沿B→C→A匀速运动到点A,图②是点P运动时,线段BP的长度y随时间x变化的关系图象,其中M为曲线部分的最低点,则△ABC的面积是.
图K-6-7
三、解答题
9.某农场拟建一间矩形种牛饲养室,饲养室的一面靠现有墙(墙足够长),已知计划中的
建筑材料可建围墙的总长为50m.设饲养室长为x(m),占地面积为y(m2).
(1)如图K-6-8①,问饲养室长x为多少时,占地面积y最大?
(2)如图②,现要求在图中所示位置留2m宽的门,且仍使饲养室的占地面积最大.小敏说:
“只要饲养室长比
(1)中的长多2m就行了.”请你通过计算,判断小敏的说法是否正确
图K-6-8
10.如图K-6-9所示,在矩形ABCD中,AB=6cm,BC=8cm,点P从点A开始沿AB边向点B以1cm/s的速度移动,点Q从点B开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动.如果点P,Q分别从点A,B同时出发,设运动时间为ts(0<
t≤4),△PDQ的面积为Scm2,求S关于t的函数表达式,并求△PDQ面积的最小值.
图K-6-9
11.为了节省材料,某水产养殖户利用水库的岸堤(岸堤足够长)为一边,用总长为80m的围网在水库中围成了如图K-6-10所示的①②③三块矩形区域,而且这三块矩形区域的面积相等.设BC的长度为xm,矩形区域ABCD的面积为ym2.
(1)求y与x之间的函数表达式,并注明自变量x的取值范围;
(2)当x为何值时,y有最大值?
最大值是多少?
图K-6-11
图K-6-10
[课堂达标]
1.[解析]D∵y=x2+4x-7=(x+2)2-11,∴此抛物线的开口向上,顶点为最低点,
∴x=-2时,函数有最小值.
2.[解析]C设BC=xm,则AB=(16-x)m,矩形ABCD的面积为ym2,
22
根据题意,得y=(16-x)x=-x+16x=-(x-8)+64,当x=8时,ymax=64,则所围成矩形ABCD的最大面积是64m2.
故选C.
3.[解析]A设AC=x,则BC=1-x,
222
所以S=x2+(1-x)2=2x2-2x+1,
-21
所以当x=-2×
2=2时,S有最小值.
4.解析]C易得BE=DE=22,则EP=EQ=22-x,过点Q作QF⊥AD于点F,则QF=22(22-x)=2-22x,∴y=2PD·
QF=12x(2-22x)=-42x2+x=-42(x-2)2+22.
5.[答案]6-3
6.[答案]112.5
[解析]设一条直角边长为x,则另一条直角边长为30-x,
112
故S=2x(30-x)=-2(x-15)2+112.5.
故答案为112.5.
7.答案]3
[解析]设点P,Q同时出发后经过的时间为ts,四边形APQC的面积为Scm2,则
S=S△ABC-S△PBQ
11
=2×
12×
6-2(6-t)×
2t
2
=t2-6t+36
=(t-3)2+27.
∴当t=3时,S取得最小值.故填3.
8.[答案]12
[解析]观察图象,可以获得以下信息:
①点P在由B→C的过程中,BP的长度y随时间x变化的关系为正比例函数,表现在图象上应该是一段线段;
②点P在由C→A的过程中,BP的
长度y随时间x变化的关系为二次函数,表现在图象上应该是抛物线的一部分;
③当BP⊥AC
时,BP的长度最短,反映在图象上应为抛物线的最低点;
④当点P到达点A时,此时BP=5,
∴AB=AC=5,AC边上的高BP=4,此时,由勾股定理,得AP=CP=52-42=3,
1
∴AC=6,∴S△ABC=2×
4×
6=12.
50-x12625
9.解:
(1)根据题意,得y=x·
2=-2(x-25)+2,∴当x=25时,y最大,
即当饲养室长为25m时,占地面积y最大.
50-(x-2)12
(2)根据题意,得y=x·
2=-2(x-26)2+338,∴当x=26时,y最大,
即当饲养室长为26m时,占地面积y最大.
∵26-25=1≠2,∴小敏的说法不正确.
10.解:
由题意知AP=tcm,BQ=2tcm,
∴PB=(6-t)cm,QC=(8-2t)cm,
∴S=48-4t-t(6-t)-3(8-2t)=t2-4t+24=(t-2)2+20.
∵t=2在0<
t≤4范围内,
∴当t=2时,S取最小值,为20,即△PDQ面积的最小值为20cm2.
11.解:
(1)∵三块矩形区域的面积相等,
∴矩形AEFD的面积是矩形BCFE的面积的2倍,∴AE=2BE.设BE=a,则AE=2a,∴8a+2x=80,
∴a=-4x+10,2a=-2x+20,
∴y=(-2x+20)x+(-4x+10)x
32=-x+30x.
4
1∵a=-x+10>
0,∴x<
40,
32则y=-4x2+30x(0<
x<
40).
32323
(2)∵y=-4x2+30x=-4(x-20)2+300(0<
40),且二次项系数为-4<
0,
∴当x=20时,y有最大值,最大值为300.
[素养提升]
c=3,
解:
(1)将点A(0,3),B(-1,0),D(2,3)分别代入y=ax2+bx+c,得a-b+c=0,4a+2b+c=3,
a=-1,解得b=2,
c=3.
∴抛物线的函数表达式为y=-x2+2x+3.
(2)∵直线l将平行四边形ABCD分割为面积相等的两部分,
13∴直线l必过其对称中心12,2.
由点A,D的坐标知,抛物线的对称轴为直线x=1,∴E(3,0),
13
13k+m=,
设直线l的函数表达式为y=kx+m,代入2,2和(3,0),得22解得
3k+m=0.
39∴直线l的函数表达式为y=-x+.
55
39y=-x+,2由55可得xF=-.
25y=-x2+2x+3,
如图①,过点P作PH⊥x轴于点H,交l于点M,过点F作FN⊥PH于点N.
39
∵点P的纵坐标为yP=-t2+2t+3,点M的纵坐标为yM=-5t+5,
∴PM=yP-yM=-t2+2t+3+53t-95=-t2+153t+65,
5555
1713228917
10·
(t-10)+100×
10,
1332891717∴当t=10时,△PFE的面积最大,最大值的立方根为100×
10=10.
(3)如图②,过点P作PK⊥x轴于点K,过点A作AQ⊥PK于点Q,
则在Rt△PKE中,PE2=PK2+KE2=(-t2+2t+3)2+(3-t)2;
在Rt△AQP中,PA2=AQ2+PQ2=t2+(-t2+2t)2;
在Rt△AOE中,AE2=OA2+OE2=18.由图可知∠PEA≠90°
.
①若∠PAE=90°
,则PE2=PA2+AE2,
∴(-t2+2t+3)2+(3-t)2=t2+(-t2+2t)2+18,
即-t2+t=0,解得t=1或t=0(舍去).
②若∠APE=90°
,则AE2=PE2+PA2,
∴18=(-t2+2t+3)2+(3-t)2+t2+(-t2+2t)2,
即(t-3)(t2-t-1)=0,解得t=3(舍去)或t=1+5或t=1-5<-2(舍去).
225
综上可知,存在满足条件的点
P,t的值为1或
1+5
如图K-6-11①,抛物线y=ax*123+bx+c经过平行四边形ABCD的顶点A(0,3),B(-1,0),D(2,3),抛物线与x轴的另一交点为E.经过点E的直线l将平行四边形ABCD分割为面积相等的两部分,与抛物线交于另一点F.P为直线l上方抛物线上一动点,设点P的横坐标为t.
(1)求抛物线的函数表达式.
(2)当t为何值时,△PFE的面积最大?
并求最大值的立方根.
(3)是否存在点P使△PAE为直角三角形?
若存在,求出t的值;
若不存在,请说明理由.