习题六微分方程.docx

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习题六微分方程

习题六

一．求解下列微分方程.

⑴

[解答]令，则原微分方程可变化为解其对应的齐次方程，可得

令为原方程的解，代入方程有，

解得，所以故原方程的解为

⑵

[解答]原方程可变换为

解得，即，

又，则，故

二．求解下列微分方程.

⑴

[解答]令，则，原方程可变换为

即，解得，将代入可得

⑵

[解答]设，将方程右端同除后可变换为

解得即

由可得，故所求方程为

三．求解下列微分方程.

⑴

[解答]令，又，则原方程式可变换为

解其对应的齐次方程，可得

令为原方程的解，代入方程有

解得

所以

⑵

[解答]方程可变换为

其对应其次方程可解为

，积分可得，

即，齐次方程的通解为

令，代入原式中有，积分可解得

故原方程的通解为

⑶

[解答]设，则，

所以原式可变换为

由贝努利方程，设，则方程变换为

其对应的齐次方程的解为，

令，代入原方程中可解得

所以，即

五．求解下列微分方程

⑴

[解答]原式可变换为，即

设，则原方程可变换为

其对应的齐次方程的通解为

令为原方程的解，代入原式中有

，可解得

故

⑵

[解答]原式可变换为

由贝努利方程，设，则原式可变换为

其对应的齐次方程的通解为

令为原方程的解，代入可得

解得

所以

六．函数在实轴上连续，存在，且具有性质，试求出.

[解答]在实轴上连续，设，则

可得

又存在，则对任意，有

即处处可微且满足

解得

又故

八．求解下列方程

⑴

[解答]原式可变换为，即

令，则又变换为，即

解此方程可得

又，则，所以

⑵

[解答]令，则，

则原式可变换为

解此方程可得，即

又，则，所以

九．求解下列方程

⑴

[解答]令，则原方程可变换为

即，积分可得

即

解得

⑵

[解答]令，则原方程可变换为

解得，又，可得

所以，则，又，可得

故

⑶

[解答]令，则原方程可变换为

令，则原方程又可变换为

解此方程可得，当时，，可得

则，又，可得所以

十二．求解下列微分方程.

⑴

[解答]令，即，则原方程可变化为

即

相应特征方程为

齐次方程通解

特解

所以原式的通解为

⑵

[解答]令，即，则原方程可变化为

即

相应特征方程为   齐次方程通解

特解

所以原式通解为

五．一质量为的物体，在粘性液体中由静止自由下落，假如液体阻力与运动速度成正比，试求物体运动的规律.

[解答]物体受到的重力为，阻力为，则，其中，，则方程式变为

令，则方程式变化为

解其对应的齐次方程，可得

令为原方程的解，代入方程有，

解得，所以，

又，则

，又，则

所以

十六．有一盛满水的圆锥形漏斗，高，顶角，漏斗尖处有面积为㎡的小孔，求水流出时漏斗内水深的变化规律，并求出全部流出所需要的时间.

[解答]从时刻到小孔流出的水量为

在此时间内，液面由降至，水量减少为

由题意可知，则，且当时，㎝.

所以方程为

当水全部流出时，，.

十七．设经过原点的曲线族上任一点处的切线交轴于点，从点向轴作垂线，其垂足为，已知与轴所围成的三角形的面积与曲边三角形的面积之比等于常数，试求该曲线族.

[解答]为曲线上一点，则切线的方程为，坐标为,由题意可知

三角形的面积为

曲边三角形的面积为

又，则，对方程两边求导可得

化简可得

令，代入方程可得

解得，即

又，则解得，即.

十八．有一房间容积为，开始时房间空气中含有二氧化碳，为了改善房间的空气质量，用一台风量为/分的排风扇通入含的二氧化碳的新鲜空气，同时以相同的风量将混合均匀的空气排出，求排出分钟后，房间中二氧化碳含量的百分比？

[解答]设在时刻，的含量为，则在时间内进入房间的的含量为

，排出房间的的含量为

所以在内的改变量为

化简得

解得又则，即

所以当时，，即的含量为.