1、习题六微分方程习 题 六一求解下列微分方程. 解答 令 ,则原微分方程可变化为 解其对应的齐次方程 ,可得 令 为原方程的解,代入方程有 ,解得 ,所以 故原方程的解为 解答 原方程可变换为 解得 ,即 ,又 ,则 ,故 二求解下列微分方程. 解答 令 ,则 ,原方程可变换为 即 ,解得 ,将 代入可得 解答 设 ,将方程右端同除 后可变换为 解得 即 由 可得 ,故所求方程为 三求解下列微分方程. 解答 令 ,又 ,则原方程式可变换为 解其对应的齐次方程,可得 令 为原方程的解,代入方程有 解得 所以 解答 方程可变换为 其对应其次方程 可解为,积分可得 ,即 ,齐次方程的通解为 令 ,代入
2、原式中有 ,积分可解得 故原方程的通解为 解答 设 ,则 , 所以原式可变换为 由贝努利方程,设 ,则方程变换为 其对应的齐次方程的解为 , 令 ,代入原方程中可解得 所以 ,即 五求解下列微分方程 解答 原式可变换为 ,即 设 ,则原方程可变换为 其对应的齐次方程的通解为 令 为原方程的解,代入原式中有,可解得 故 解答 原式可变换为 由贝努利方程,设 ,则原式可变换为 其对应的齐次方程的通解为 令 为原方程的解,代入可得 解得 所以 六函数 在实轴上连续, 存在,且具有性质 ,试求出 .解答 在实轴上连续,设 ,则 可得 又 存在,则对任意 ,有 即 处处可微且满足 解得 又 故 八求解下
3、列方程 解答 原式可变换为 ,即 令 ,则又变换为 ,即 解此方程可得 又 ,则 ,所以 解答 令 ,则 , 则原式可变换为 解此方程可得 ,即 又 ,则 ,所以 九求解下列方程 解答 令 ,则原方程可变换为 即 ,积分可得 即 解得 解答 令 ,则原方程可变换为 解得 ,又 ,可得 所以 ,则 ,又 ,可得 故 解答 令 ,则原方程可变换为 令 ,则原方程又可变换为 解此方程可得 ,当 时, ,可得 则 ,又 ,可得 所以 十二求解下列微分方程. 解答 令 ,即 ,则原方程可变化为 即 相应特征方程为 齐次方程通解 特解 所以原式的通解为 解答 令 ,即 ,则原方程可变化为 即 相应特征方程
4、为 齐次方程通解 特解 所以原式通解为 五一质量为 的物体,在粘性液体中由静止自由下落,假如液体阻力与运动速度成正比,试求物体运动的规律. 解答 物体受到的重力为 ,阻力为 ,则 ,其中 , ,则方程式变为 令 ,则方程式变化为 解其对应的齐次方程,可得 令 为原方程的解,代入方程有 ,解得 ,所以 ,又 ,则 ,又 ,则 所以 十六有一盛满水的圆锥形漏斗,高 ,顶角 ,漏斗尖处有面积为 的小孔,求水流出时漏斗内水深的变化规律,并求出全部流出所需要的时间.解答 从时刻 到 小孔流出的水量为在此时间内,液面由 降至 ,水量减少为 由题意可知 ,则 ,且当 时, .所以方程为 当水全部流出时, ,
5、 .十七设经过原点的曲线族上任一点 处的切线交 轴于点 ,从 点向 轴作垂线,其垂足为 ,已知 与 轴所围成的三角形的面积与曲边三角形 的面积之比等于常数 , 试求该曲线族.解答 为曲线上一点,则切线 的方程为 , 坐标为 ,由题意可知 三角形 的面积为 曲边三角形 的面积为 又 ,则 ,对方程两边求导可得 化简可得 令 ,代入方程可得 解得 ,即 又 ,则解得 ,即 .十八有一房间容积为 ,开始时房间空气中含有二氧化碳 ,为了改善房间的空气质量,用一台风量为 /分的排风扇通入含 的二氧化碳的新鲜空气,同时以相同的风量将混合均匀的空气排出,求排出 分钟后,房间中二氧化碳含量的百分比?解答 设在 时刻, 的含量为 ,则在 时间内进入房间的 的含量为 ,排出房间的 的含量为 所以在 内 的改变量为 化简得 解得 又 则 ,即 所以当 时, ,即 的含量为 .
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