第2课时组合的应用Word格式.docx

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∴不同的排法共有＝20（种）.

答案　D

3.某中学要从4名男生和3名女生中选4人参加公益活动，若男生甲和女生乙不能同时参加，则不同的选派方案共有（　　）

A.25种B.35种C.820种D.840种

解析　分3类完成：

男生甲参加，女生乙不参加，有种选法；

男生甲不参加，女生乙参加，有种选法；

两人都不参加，有种选法.所以共有2＋＝25（种）不同的选派方案.

答案　A

4.正六边形顶点和中心共7个点，可组成个三角形.

解析　不共线的三个点可组成一个三角形，7个点中共线的是：

正六边形过中心的3条对角线，即共有3种情况，故组成三角形的个数为－3＝32.

答案　32

类型一　分组、分配问题

【例1】6本不同的书，按下列要求各有多少种不同的选法：

（1）分给甲、乙、丙三人，每人两本；

（2）分为三份，每份两本；

（3）分为三份，一份一本，一份两本，一份三本；

（4）分给甲、乙、丙三人，一人一本，一人两本，一人三本；

（5）分给甲、乙、丙三人，每人至少一本.

解　

（1）先从6本书中选2本给甲，有种选法；

再从其余的4本中选2本给乙，有种选法；

最后从余下的2本书中选2本给丙，有种选法；

所以分给甲、乙、丙三人，每人2本，共有＝90种.

（2）分给甲、乙、丙三人，每人两本有种方法，这个过程可以分两步完成：

第一步分为三份，每份两本，设有x种方法；

第二步再将这三份分给甲、乙、丙三名同学有种方法.根据分步乘法计数原理可得：

＝，所以x＝＝15.因此分为三份，每份两本一共有15种方法.

（3）这是“不均匀分组”问题，一共有＝60种方法.

（4）在（3）的基础上再进行全排列，所以一共有＝360种方法.

（5）可以分为三类情况：

①“2、2、2型”即

（1）中的分配情况，有＝90种方法；

②“1、2、3型”即（4）中的分配情况，有＝360种方法；

③“1、1、4型”，有＝90种方法.所以一共有90＋360＋90＝540种方法.

规律方法　“分组”与“分配”问题的解法

（1）本题中的每一个小题都提出了一种类型的问题，搞清楚类型的归属对解题大有裨益.分清是分组问题还是分配问题是很关键的.

（2）分组问题属于“组合”问题，常见的分组问题有三种：

①完全均匀分组，每组的元素个数均相等；

②部分均匀分组，应注意不要重复，有n组均匀，最后必须除以n！

；

③完全非均匀分组，这种分组不考虑重复现象.

（3）分配问题属于“排列”问题，分配问题可以按要求逐个分配，也可以分组后再分配.

【训练1】有4个不同的球，4个不同的盒子，把球全部放入盒内，

（1）共有多少种放法？

（2）恰有1个盒不放球，有多少种放法？

（3）恰有1个盒内放2个球，有多少种放法？

（4）恰有2个盒内不放球，有多少种放法？

解　

（1）一个球一个球地放到盒子里去，每个球都可有4种独立的放法，由分步乘法计数原理知，放法共有44＝256（种）.

（2）为保证“恰有1个盒子不放球”，先从4个盒子中任意拿去1个，即将4个球分成2、1、1的三组，有种分法；

然后再从3个盒子中选1个放2个球，其余2个球，2个盒子，全排列即可.由分步乘法计数原理知，共有放法·

·

＝144（种）.

（3）“恰有1个盒内放2个球”，即另外的3个盒子放剩下的2个球，而每个盒子至多放1个球，即另外3个盒子中恰有1个空盒.因此，“恰有1个盒子放2个球”与“恰有1个盒子不放球”是一回事，故也有144种放法.

（4）先从4个盒子中任意拿走2个，有种拿法，问题转化为：

“4个球，2个盒子，每盒必放球，有几种放法？

”，从放球数目看，可分为（3，1），（2，2）两类：

第1类，可从4个球中先选3个，然后放入指定的一个盒子中即可，有·

种放法；

第2类，有种放法.因此共有·

＋＝14（种）.由分步乘法计数原理得“恰有2个盒子不放球”的放法有×

14＝84（种）.

类型二　与几何图形有关的组合问题

【例2】

（1）四面体的一个顶点为A，从其他顶点和各棱中点中取3个点，使它们和点A在同一平面上，有多少种不同的取法？

（2）四面体的顶点和各棱中点共10个点，在其中取4个不共面的点，有多少种不同的取法.

解　

（1）（直接法）如图，含顶点A的四面体的3个面上，除点A外都有5个点，从中取出3点必与点A共面共有3种取法；

含顶点A的三条棱上各有三个点，它们与所对的棱的中点共面，共有3种取法.根据分类加法计数原理，与顶点A共面的三点的取法有3＋3＝33（种）.

（2）（间接法）如图，从10个点中取4个点的取法有种，除去4点共面的取法种数可以得到结果.从四面体同一个面上的6个点取出的4点必定共面.有4＝60（种），四面体的每一棱上3点与相对棱中点共面，共有6种共面情况，从6条棱的中点中取4个点时有3种共面情形（对棱中点连线两两相交且互相平分），故4点不共面的取法为：

－（60＋6＋3）＝141（种）.

规律方法　解决与几何图形有关的问题时，要善于利用几何图形的性质和特征，充分挖掘图形的隐含条件，转化为有限制条件的组合问题.

【训练2】平面内有12个点，其中有4个点共线，此外再无任何3点共线，以这些点为顶点，可得多少个不同的三角形？

解　法一　我们把从共线的4个点中取点的多少作为分类的标准.

第1类：

共线的4个点中有2个点作为三角形的顶点，共有·

＝48（个）不同的三角形；

第2类：

共线的4个点中有1个点作为三角形的顶点，共有·

＝112（个）不同的三角形；

第3类：

共线的4个点中没有点作为三角形的顶点，共有＝56（个）不同的三角形.

由分类加法计数原理，不同的三角形共有48＋112＋56＝216（个）.

法二　间接法：

－＝220－4＝216（个）.

类型三　排列、组合的综合应用（互动探究）

【例3】有5个男生和3个女生，从中选出5人担任5门不同学科的课代表，求分别符合下列条件的选法数：

（1）有女生但人数必须少于男生；

（2）某女生一定担任语文课代表；

（3）某男生必须包括在内，但不担任数学课代表；

（4）某女生一定要担任语文课代表，某男生必须担任课代表，但不担任数学课代表.

[思路探究]

探究点一　

（1）中选法包含几种情况？

解决这类问题的一般思路是什么？

提示　有两种情况：

2女3男与1女4男，一般思路：

“先选后排”也就是把符合题意的元素都选出来，再对元素或位置进行排列.

探究点二　对

（2）、（3）、（4）中“在”与“不在”问题的解题原则是什么？

提示　按“优先原则”，即优先排特殊元素或优先满足特殊位子.

解　

（1）先选后排，先取可以是2女3男，也可以是1女4男，先取有＋种，后排有种，

共（＋）·

＝5400种.

（2）除去该女生后，先取后排，有·

＝840种.

（3）先选后排，但先安排该男生，有·

＝3360种.

（4）先从除去该男生、该女生的6人中选3人有种，再安排该男生有种，其中3人全排有种，共·

＝360（种）.

规律方法　解决有关排列与组合的综合应用问题尤其应注意两点：

（1）审清题意，区分哪是排列，哪是组合；

（2）往往综合问题会有多个限制条件，应认真分析确定分类还是分步.

【训练3】有五张卡片，它们的正、反面分别写着0与1，2与3，4与5，6与7，8与9.将其中任意三张并排放在一起组成三位数，共可组成多少个不同的三位数？

解　法一　从0和1这个特殊情况考虑，可分三类：

取0不取1，可先从另四张卡片中选一张作百位，有种方法；

0可在后两位，有种方法；

最后需从剩下的三张中任取一张，有种方法；

又除含0的那张外，其他两张都有正面或反面两种可能，故此时可得不同的三位数有×

×

22个.

取1不取0，同上分析可得不同的三位数×

22×

个.

0和1都不取，有不同的三位数×

23×

综上所述，不同的三位数共有×

22＋×

＋×

＝432（个）.

法二　任取三张卡片可以组成不同的三位数×

个，其中0在百位的有×

个，这是不合题意的，故不同的三位数共有×

－×

[课堂小结]

1.应用组合知识解决实际问题的四个过程

2.注意结合知识背景理解“有序”“无序”，是排列问题还是组合问题，问法的细微变化就可能导致问题性质的变化，解题时要注意审题.

1.凸十边形的对角线的条数为（　　）

A.10B.35C.45D.90

解析　－10＝35，所以选B.

答案　B

2.用数字1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中奇数的个数为（　　）

A.24B.48C.60D.72

解析　由题可知，五位数要为奇数，则个位数只能是1，3，5；

分为两步：

先从1，3，5三个数中选一个作为个位数有，再将剩下的4个数字排列得到，则满足条件的五位数有·

＝72.选D.

3.某学校开设A类选修课3门，B类选修课4门，一位同学从中共选3门，若要求两类课程中各至少选一门，则不同的选法共有种（用数字作答）.

解析　分两类，A类选修课2门，B类选修课1门，或者A类选修课1门，B类选修课2门，因此，共有·

＋·

＝30（种）选法.

答案　30

4.男运动员6名，女运动员4名，其中男女队长各1名.选派5人外出比赛.在下列情形中各有多少种选派方法？

（1）男运动员3名，女运动员2名；

（2）至少有1名女运动员；

（3）既要有队长，又要有女运动员.

解　

（1）第一步：

选3名男运动员，有种选法.

第二步：

选2名女运动员，有种选法.故共有·

＝120（种）选法.

（2）法一　至少有1名女运动员包括以下几种情况：

1女4男，2女3男，3女2男，4女1男.

由分类加法计数原理可得总选法数为＋＋＋＝246（种）.

法二　“至少有1名女运动员”的反面为“全是男运动员”，可用间接法求解.

从10人中任选5人有种选法，其中全是男运动员的选法有种.

所以“至少有1名女运动员”的选法为－＝246（种）.

（3）当有女队长时，其他人任意选，共有种选法.不选女队长时，必选男队长，共有种选法，其中不含女运动员的选法有种，所以不选女队长时的选法共有－种选法.所以既有队长又有女运动员的选法共有＋－＝191（种）.

基础过关

1.某班级要从4名男生、2名女生中选派4人参加某次社区服务，如果要求至少有1名女生，那么不同的选派方案种数为（　　）

A.14B.24C.28D.48

解析　6人中选4人的方案有＝15（种），没有女生的方案只有一种，所以满足要求的方案总数有14种.

2.现有16张不同的卡片，其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各4张，从中任取3张，要求这3张卡片不能是同一种颜色，且红色卡片至多1张，不同取法的种数为（　　）

A.232B.252C.472D.484

解析　含1张红色卡片，有＝264（种）不同取法；

不含红色卡片有－3＝208（种）取法，共有264＋208＝472（种）取法.

答案　C

3.现安排甲、乙、丙、丁、戊5名同学参加上海世博会志愿者服务活动，每人从事翻译、导游、礼仪、司机四项工作之一，每项工作至少有一人参加.甲、乙不会开车但能从事其他三项工作，丙、丁、戊都能胜任四项工作，则不同安排方案的种数是（　　）

A.152B.126C.90D.54

解析　分类讨论：

若有2人从事司机工作，则方案有×

＝18（种）；

若有1人从事司机工作，则方案有×

＝108（种），所以共有18＋108＝126（种），故B正确.

4.在50件产品中有4件是次品，从中任意抽出5件，至少有3件是次品的抽法共有种.

解析　分两类，有4件次品的抽法为种；

有3件次品的抽法有种，所以共有＋＝4186（种）不同的抽法.

答案　4186

5.某运动队有5对老搭档运动员，现抽派4个运动员参加比赛，则这4人都不是老搭档的抽派方法数为.

解析　先抽取4对老搭档运动员，再从每对老搭档运动员中各抽1人，故有＝80（种）.

答案　80

6.空间有10个点，其中有5个点共面（除此之外再无4点共面），以每4个点为顶点作一个四面体，问一共可作多少个四面体？

解　不考虑任何限制，10个点可得个四面体.由于有5个点共面，这5个点中的任意4个点都不能构成四面体，共有种情形.∴构成四面体的个数为－＝210－5＝205.

7.某车间有11名工人，其中5名男工是钳工，4名女工是车工，另外2名老师傅能当钳工又能当车工.现在从这11名工人中选派4名钳工和4名车工修理一台机床，有多少种不同的选派方法？

解　设A，B表示2名老师傅，下面对A，B的选派情况进行分类：

（1）A，B都没选上的方法有＝5（种）；

（2）A，B都选上且都当钳工的方法有＝10（种）；

（3）A，B都选上且都当车工的方法有＝30（种）；

（4）A，B都选上且一人当钳工，一人当车工的方法有＝80（种）；

（5）A，B有一人选上且当钳工的方法有＝20（种）；

（6）A，B有一人选上且当车工的方法有＝40（种）.

故共有5＋10＋30＋80＋20＋40＝185（种）选派方法.

8.在一次数学竞赛中，某学校有12人通过了初试，学校要从中选出5人去参加市级培训，在下列条件下，有多少种不同的选法？

（1）任意选5人；

（2）甲、乙、丙三人必须参加；

（3）甲、乙、丙三人不能参加；

（4）甲、乙、丙三人只能有1人参加；

（5）甲、乙、丙三人至少1人参加.

解　

（1）＝792（种）不同的选法.

（2）甲、乙、丙三人必须参加，只需从另外的9人中选2人，共有＝36（种）不同的选法.

（3）甲、乙、丙三人不能参加，只需从另外的9人中选5人，共有＝126（种）不同的选法.

（4）甲、乙、丙三人只能有1人参加，分两步，先从甲、乙、丙中选1人，有＝3（种）选法，再从另外的9人中选4人有种选法，共有＝378（种）不同的选法.

（5）法一　（直接法）可分为三类：

第一类：

甲、乙、丙中有1人参加，共有种；

第二类：

甲、乙、丙中有2人参加，共有种；

第三类：

甲、乙、丙3人均参加，共有种.

共有＋＋＝666（种）不同的选法.

法二　（间接法）12人中任意选5人共有种，甲、乙、丙三人都不参加的有种，

所以，共有－＝666（种）不同的选法.

能力提升

9.编号为1，2，3，4，5，6，7的七盏路灯，晚上用时只亮三盏灯，且任意两盏亮灯不相邻，则不同的开灯方案有（　　）

A.60种B.20种C.10种D.8种

解析　四盏熄灭的灯产生的5个空档中放入3盏亮灯，即＝10.

10.已知圆上9个点，每两点连一线段，所有线段在圆内的交点有（　　）

A.36个B.72个C.63个D.126个

解析　此题可化归为：

圆上9个点可组成多少个四边形，每个四边形的对角线的交点即为所求，所以，交点有＝126（个）.

11.从3名骨科、4名脑外科和5名内科医生中选派5人组成一个抗震救灾医疗小组，则骨科、脑外科和内科医生都至少有1人的选派方法种数是（用数字作答）.

解析　分三类：

①选1名骨科医生，则有（＋＋）＝360（种）；

②选2名骨科医生，则有（＋）＝210（种）；

③选3名骨科医生，则有＝20（种），

∴骨科、脑外科和内科医生都至少有1人的选派方法种数是360＋210＋20＝590.

答案　590

12.北京《财富》全球论坛开幕期间，某高校有12名志愿者参加接待工作.若每天排三班，每班4人，每人每天最多值一班，则开幕式当天不同的排班种数为（用组合数或排列数表示）.

解析　这是分组问题.先从12个人中选4人排早班，再从剩下的8人中选4人排中班，然后剩下的4人都排晚班.

答案　

13.从6名短跑运动员中选4人参加4×

100米接力赛，如果甲不能跑第一棒，乙不能跑第四棒，问共有多少种参赛方法？

解　把所选取的运动员的情况分为三类.

甲、乙两人均不参赛，有＝24（种）；

甲、乙两人有且只有1人参赛，共有（－）＝144（种）；

甲、乙两人都参赛，有（－2＋）＝84（种）.

由分类加法计数原理知，所有的参赛方法共有24＋144＋84＝252（种）.

探究创新

14.现有5位同学准备一起做一项游戏，他们的身高各不相同.现在要从他们5个人当中选出若干人组成A，B两个小组，每个小组都至少有1人，并且要求B组中最矮的那个同学的身高要比A组中最高的那个同学还要高，则不同的选法共有多少种？

解　给5位同学按身高的不同由矮到高分别编号为1，2，3，4，5，组成集合M＝{1，2，3，4，5}.

①若小组A中最高者为1，则能使B中最矮者高于A中最高者的小组B是{2，3，4，5}的非空子集，这样的子集有＋＋＋＝24－1＝15（个），所以不同的选法有15（种）；

②若A中最高者为2，则这样的小组A有2个：

{2}，{1，2}，能使B中最矮者高于A中最高者的小组B是{3，4，5}的非空子集，这样的子集（小组B）有23－1＝7（个），所以不同的选法有2×

7＝14（种）；

③若A中最高者为3，则这样的小组A有4个：

{3}，{1，3}，{2，3}，{1，2，3}，能使B中最矮者高于A中最高者的小组B是{4，5}的非空子集，这样的子集（小组B）有22－1＝3（个），所以不同的选法有4×

3＝12（种）；

④若A中最高者为4，则这样的小组A有8个：

{4}，{1，4}，{2，4}，{3，4}，{1，2，4}，{1，3，4}，{2，3，4}，{1，2，3，4}，能使B中最矮者高于A中最高者的小组B中有{5}1个，所以不同的选法有8种.

综上，所有不同的选法有15＋14＋12＋8＝49（种）.