第2课时组合的应用Word格式.docx

1、不同的排法共有20（种）.答案D3.某中学要从4名男生和3名女生中选4人参加公益活动，若男生甲和女生乙不能同时参加，则不同的选派方案共有（）A.25种 B.35种 C.820种 D.840种解析分3类完成：男生甲参加，女生乙不参加，有种选法；男生甲不参加，女生乙参加，有种选法；两人都不参加，有种选法.所以共有225（种）不同的选派方案.答案A4.正六边形顶点和中心共7个点，可组成个三角形.解析不共线的三个点可组成一个三角形，7个点中共线的是：正六边形过中心的3条对角线，即共有3种情况，故组成三角形的个数为332.答案32类型一分组、分配问题【例1】 6本不同的书，按下列要求各有多少种不同的选法

2、：（1）分给甲、乙、丙三人，每人两本；（2）分为三份，每份两本；（3）分为三份，一份一本，一份两本，一份三本；（4）分给甲、乙、丙三人，一人一本，一人两本，一人三本；（5）分给甲、乙、丙三人，每人至少一本.解（1）先从6本书中选2本给甲，有种选法；再从其余的4本中选2本给乙，有种选法；最后从余下的2本书中选2本给丙，有种选法；所以分给甲、乙、丙三人，每人2本，共有90种.（2）分给甲、乙、丙三人，每人两本有种方法，这个过程可以分两步完成：第一步分为三份，每份两本，设有x种方法；第二步再将这三份分给甲、乙、丙三名同学有种方法.根据分步乘法计数原理可得：，所以x15.因此分为三份，每份两本一共有1

3、5种方法.（3）这是“不均匀分组”问题，一共有60种方法.（4）在（3）的基础上再进行全排列，所以一共有360种方法.（5）可以分为三类情况：“2、2、2型”即（1）中的分配情况，有90种方法；“1、2、3型”即（4）中的分配情况，有360种方法；“1、1、4型”，有90种方法.所以一共有9036090540种方法.规律方法“分组”与“分配”问题的解法（1）本题中的每一个小题都提出了一种类型的问题，搞清楚类型的归属对解题大有裨益.分清是分组问题还是分配问题是很关键的.（2）分组问题属于“组合”问题，常见的分组问题有三种：完全均匀分组，每组的元素个数均相等；部分均匀分组，应注意不要重复，有n组均

4、匀，最后必须除以n！；完全非均匀分组，这种分组不考虑重复现象.（3）分配问题属于“排列”问题，分配问题可以按要求逐个分配，也可以分组后再分配.【训练1】 有4个不同的球，4个不同的盒子，把球全部放入盒内，（1）共有多少种放法？（2）恰有1个盒不放球，有多少种放法？（3）恰有1个盒内放2个球，有多少种放法？（4）恰有2个盒内不放球，有多少种放法？解（1）一个球一个球地放到盒子里去，每个球都可有4种独立的放法，由分步乘法计数原理知，放法共有44256（种）.（2）为保证“恰有1个盒子不放球”，先从4个盒子中任意拿去1个，即将4个球分成2、1、1的三组，有种分法；然后再从3个盒子中选1个放2个球，其

5、余2个球，2个盒子，全排列即可.由分步乘法计数原理知，共有放法144（种）.（3）“恰有1个盒内放2个球”，即另外的3个盒子放剩下的2个球，而每个盒子至多放1个球，即另外3个盒子中恰有1个空盒.因此，“恰有1个盒子放2个球”与“恰有1个盒子不放球”是一回事，故也有144种放法.（4）先从4个盒子中任意拿走2个，有种拿法，问题转化为：“4个球，2个盒子，每盒必放球，有几种放法？”，从放球数目看，可分为（3，1），（2，2）两类：第1类，可从4个球中先选3个，然后放入指定的一个盒子中即可，有种放法；第2类，有种放法.因此共有14（种）.由分步乘法计数原理得“恰有2个盒子不放球”的放法有1484（种

6、）.类型二与几何图形有关的组合问题【例2】 （1）四面体的一个顶点为A，从其他顶点和各棱中点中取3个点，使它们和点A在同一平面上，有多少种不同的取法？（2）四面体的顶点和各棱中点共10个点，在其中取4个不共面的点，有多少种不同的取法.解（1）（直接法）如图，含顶点A的四面体的3个面上，除点A外都有5个点，从中取出3点必与点A共面共有3种取法；含顶点A的三条棱上各有三个点，它们与所对的棱的中点共面，共有3种取法.根据分类加法计数原理，与顶点A共面的三点的取法有3333（种）.（2）（间接法）如图，从10个点中取4个点的取法有种，除去4点共面的取法种数可以得到结果.从四面体同一个面上的6个点取出的

7、4点必定共面.有460（种），四面体的每一棱上3点与相对棱中点共面，共有6种共面情况，从6条棱的中点中取4个点时有3种共面情形（对棱中点连线两两相交且互相平分），故4点不共面的取法为：（6063）141（种）.规律方法解决与几何图形有关的问题时，要善于利用几何图形的性质和特征，充分挖掘图形的隐含条件，转化为有限制条件的组合问题.【训练2】 平面内有12个点，其中有4个点共线，此外再无任何3点共线，以这些点为顶点，可得多少个不同的三角形？解法一我们把从共线的4个点中取点的多少作为分类的标准.第1类：共线的4个点中有2个点作为三角形的顶点，共有48（个）不同的三角形；第2类：共线的4个点中有1个点

8、作为三角形的顶点，共有112（个）不同的三角形；第3类：共线的4个点中没有点作为三角形的顶点，共有56（个）不同的三角形.由分类加法计数原理，不同的三角形共有4811256216（个）.法二间接法：2204216（个）.类型三排列、组合的综合应用（互动探究）【例3】 有5个男生和3个女生，从中选出5人担任5门不同学科的课代表，求分别符合下列条件的选法数：（1）有女生但人数必须少于男生；（2）某女生一定担任语文课代表；（3）某男生必须包括在内，但不担任数学课代表；（4）某女生一定要担任语文课代表，某男生必须担任课代表，但不担任数学课代表.思路探究探究点一（1）中选法包含几种情况？解决这类问题的一

9、般思路是什么？提示有两种情况：2女3男与1女4男，一般思路：“先选后排”也就是把符合题意的元素都选出来，再对元素或位置进行排列.探究点二对（2）、（3）、（4）中“在”与“不在”问题的解题原则是什么？提示按“优先原则”，即优先排特殊元素或优先满足特殊位子.解（1）先选后排，先取可以是2女3男，也可以是1女4男，先取有种，后排有种，共（）5 400种.（2）除去该女生后，先取后排，有840种.（3）先选后排，但先安排该男生，有3 360种.（4）先从除去该男生、该女生的6人中选3人有种，再安排该男生有种，其中3人全排有种，共360（种）.规律方法解决有关排列与组合的综合应用问题尤其应注意两点：（

10、1）审清题意，区分哪是排列，哪是组合；（2）往往综合问题会有多个限制条件，应认真分析确定分类还是分步.【训练3】 有五张卡片，它们的正、反面分别写着0与1，2与3，4与5，6与7，8与9.将其中任意三张并排放在一起组成三位数，共可组成多少个不同的三位数？解法一从0和1这个特殊情况考虑，可分三类：取0不取1，可先从另四张卡片中选一张作百位，有种方法；0可在后两位，有种方法；最后需从剩下的三张中任取一张，有种方法；又除含0的那张外，其他两张都有正面或反面两种可能，故此时可得不同的三位数有22个.取1不取0，同上分析可得不同的三位数22个.0和1都不取，有不同的三位数23综上所述，不同的三位数共有2

11、2432（个）.法二任取三张卡片可以组成不同的三位数个，其中0在百位的有个，这是不合题意的，故不同的三位数共有课堂小结1.应用组合知识解决实际问题的四个过程2.注意结合知识背景理解“有序”“无序”，是排列问题还是组合问题，问法的细微变化就可能导致问题性质的变化，解题时要注意审题.1.凸十边形的对角线的条数为（）A.10 B.35 C.45 D.90解析1035，所以选B.答案B2.用数字1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中奇数的个数为（）A.24 B.48 C.60 D.72解析由题可知，五位数要为奇数，则个位数只能是1，3，5；分为两步：先从1，3，5三个数中选一个作为个位数有，

12、再将剩下的4个数字排列得到，则满足条件的五位数有72.选D.3.某学校开设A类选修课3门，B类选修课4门，一位同学从中共选3门，若要求两类课程中各至少选一门，则不同的选法共有种（用数字作答）.解析分两类，A类选修课2门，B类选修课1门，或者A类选修课1门，B类选修课2门，因此，共有30（种）选法.答案304.男运动员6名，女运动员4名，其中男女队长各1名.选派5人外出比赛.在下列情形中各有多少种选派方法？（1）男运动员3名，女运动员2名；（2）至少有1名女运动员；（3）既要有队长，又要有女运动员.解（1）第一步：选3名男运动员，有种选法.第二步：选2名女运动员，有种选法.故共有120（种）选法

13、.（2）法一至少有1名女运动员包括以下几种情况：1女4男，2女3男，3女2男，4女1男.由分类加法计数原理可得总选法数为246（种）.法二“至少有1名女运动员”的反面为“全是男运动员”，可用间接法求解.从10人中任选5人有种选法，其中全是男运动员的选法有种.所以“至少有1名女运动员”的选法为246（种）.（3）当有女队长时，其他人任意选，共有种选法.不选女队长时，必选男队长，共有种选法，其中不含女运动员的选法有种，所以不选女队长时的选法共有种选法.所以既有队长又有女运动员的选法共有191（种）. 基 础 过 关1.某班级要从4名男生、2名女生中选派4人参加某次社区服务，如果要求至少有1名女生，

14、那么不同的选派方案种数为（）A.14 B.24 C.28 D.48解析6人中选4人的方案有15（种），没有女生的方案只有一种，所以满足要求的方案总数有14种.2.现有16张不同的卡片，其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各4张，从中任取3张，要求这3张卡片不能是同一种颜色，且红色卡片至多1张，不同取法的种数为（）A.232 B.252 C.472 D.484解析含1张红色卡片，有264（种）不同取法；不含红色卡片有3208（种）取法，共有264208472（种）取法.答案C3.现安排甲、乙、丙、丁、戊5名同学参加上海世博会志愿者服务活动，每人从事翻译、导游、礼仪、司机四项工作之一，每项工作至少有一人

15、参加.甲、乙不会开车但能从事其他三项工作，丙、丁、戊都能胜任四项工作，则不同安排方案的种数是（）A.152 B.126 C.90 D.54解析分类讨论：若有2人从事司机工作，则方案有18（种）；若有1人从事司机工作，则方案有108（种），所以共有18108126（种），故B正确.4.在50件产品中有4件是次品，从中任意抽出5件，至少有3件是次品的抽法共有种.解析分两类，有4件次品的抽法为种；有3件次品的抽法有种，所以共有4 186（种）不同的抽法.答案4 1865.某运动队有5对老搭档运动员，现抽派4个运动员参加比赛，则这4人都不是老搭档的抽派方法数为.解析先抽取4对老搭档运动员，再从每对老搭

16、档运动员中各抽1人，故有80（种）.答案806.空间有10个点，其中有5个点共面（除此之外再无4点共面），以每4个点为顶点作一个四面体，问一共可作多少个四面体？解不考虑任何限制，10个点可得个四面体.由于有5个点共面，这5个点中的任意4个点都不能构成四面体，共有种情形.构成四面体的个数为2105205.7.某车间有11名工人，其中5名男工是钳工，4名女工是车工，另外2名老师傅能当钳工又能当车工.现在从这11名工人中选派4名钳工和4名车工修理一台机床，有多少种不同的选派方法？解设A，B表示2名老师傅，下面对A，B的选派情况进行分类：（1）A，B都没选上的方法有5（种）；（2）A，B都选上且都当钳

17、工的方法有10（种）；（3）A，B都选上且都当车工的方法有30（种）；（4）A，B都选上且一人当钳工，一人当车工的方法有80（种）；（5）A，B有一人选上且当钳工的方法有20（种）；（6）A，B有一人选上且当车工的方法有40（种）.故共有51030802040185（种）选派方法.8.在一次数学竞赛中，某学校有12人通过了初试，学校要从中选出5人去参加市级培训，在下列条件下，有多少种不同的选法？（1）任意选5人；（2）甲、乙、丙三人必须参加；（3）甲、乙、丙三人不能参加；（4）甲、乙、丙三人只能有1人参加；（5）甲、乙、丙三人至少1人参加.解（1）792（种）不同的选法.（2）甲、乙、丙三人必

18、须参加，只需从另外的9人中选2人，共有36（种）不同的选法.（3）甲、乙、丙三人不能参加，只需从另外的9人中选5人，共有126（种）不同的选法.（4）甲、乙、丙三人只能有1人参加，分两步，先从甲、乙、丙中选1人，有3（种）选法，再从另外的9人中选4人有种选法，共有378（种）不同的选法.（5）法一（直接法）可分为三类：第一类：甲、乙、丙中有1人参加，共有种；第二类：甲、乙、丙中有2人参加，共有种；第三类：甲、乙、丙3人均参加，共有种.共有666（种）不同的选法.法二（间接法）12人中任意选5人共有种，甲、乙、丙三人都不参加的有种，所以，共有666（种）不同的选法.能 力 提 升9.编号为1，2

19、，3，4，5，6，7的七盏路灯，晚上用时只亮三盏灯，且任意两盏亮灯不相邻，则不同的开灯方案有（）A.60种 B.20种 C.10种 D.8种解析四盏熄灭的灯产生的5个空档中放入3盏亮灯，即10.10.已知圆上9个点，每两点连一线段，所有线段在圆内的交点有（）A.36个 B.72个 C.63个 D.126个解析此题可化归为：圆上9个点可组成多少个四边形，每个四边形的对角线的交点即为所求，所以，交点有126（个）.11.从3名骨科、4名脑外科和5名内科医生中选派5人组成一个抗震救灾医疗小组，则骨科、脑外科和内科医生都至少有1人的选派方法种数是（用数字作答）.解析分三类：选1名骨科医生，则有（）36

20、0（种）；选2名骨科医生，则有（）210（种）；选3名骨科医生，则有20（种），骨科、脑外科和内科医生都至少有1人的选派方法种数是36021020590.答案59012.北京财富全球论坛开幕期间，某高校有12名志愿者参加接待工作.若每天排三班，每班4人，每人每天最多值一班，则开幕式当天不同的排班种数为（用组合数或排列数表示）.解析这是分组问题.先从12个人中选4人排早班，再从剩下的8人中选4人排中班，然后剩下的4人都排晚班.答案13.从6名短跑运动员中选4人参加4100米接力赛，如果甲不能跑第一棒，乙不能跑第四棒，问共有多少种参赛方法？解把所选取的运动员的情况分为三类.甲、乙两人均不参赛，有2

21、4（种）；甲、乙两人有且只有1人参赛，共有（）144（种）；甲、乙两人都参赛，有（2）84（种）.由分类加法计数原理知，所有的参赛方法共有2414484252（种）.探 究 创 新14.现有5位同学准备一起做一项游戏，他们的身高各不相同.现在要从他们5个人当中选出若干人组成A，B两个小组，每个小组都至少有1人，并且要求B组中最矮的那个同学的身高要比A组中最高的那个同学还要高，则不同的选法共有多少种？解给5位同学按身高的不同由矮到高分别编号为1，2，3，4，5，组成集合M1，2，3，4，5.若小组A中最高者为1，则能使B中最矮者高于A中最高者的小组B是2，3，4，5的非空子集，这样的子集有241

22、15（个），所以不同的选法有15（种）；若A中最高者为2，则这样的小组A有2个：2，1，2，能使B中最矮者高于A中最高者的小组B是3，4，5的非空子集，这样的子集（小组B）有2317（个），所以不同的选法有2714（种）；若A中最高者为3，则这样的小组A有4个：3，1，3，2，3，1，2，3，能使B中最矮者高于A中最高者的小组B是4，5的非空子集，这样的子集（小组B）有2213（个），所以不同的选法有4312（种）；若A中最高者为4，则这样的小组A有8个：4，1，4，2，4，3，4，1，2，4，1，3，4，2，3，4，1，2，3，4，能使B中最矮者高于A中最高者的小组B中有51个，所以不同的选法有8种.综上，所有不同的选法有151412849（种）.