例1有变形就一定会引起应力吗.docx

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例1有变形就一定会引起应力吗

拉压变形

【例1】有变形就一定会引起应力吗？

解：

有些学生误认为有变行就必有应力。

例如图a所示一端固定，一端自由的静定杆件，当整个杆件发生均匀的温度改变时，构件将发生伸长或缩短变形，但是由于杆件可以自由伸缩，

不受任何限制，所以，这种因温度改变所引起的变形并不会在杆中引起任何应力。

若将杆件B端也固定，当温度改变时，杆件不能自由伸缩，这样杆件内就会引起应力。

（a）（b）

又如图b所示的轴向拉杆，在力作用下发生变形，其纵向伸长，横向缩短。

横向虽有变形，但在横向截面（即与轴线平行的纵截面）上并不产生相应的任何应力。

因此，虽然在某一方向上有变形，但在这一方向上并不一定有对应的应力。

所以，不能笼统地说“有变行必有应力”。

【例2】构件受力后，由于塑性屈服引起塑性变形而导致其丧失正常工作能力。

试问这种情况是属于强度、刚度、还是稳定性问题？

解：

构件受力后因塑性屈服引起塑性变形，是构件破坏的一种形式。

因此，属于强度问题。

刚度问题中的变形，一般是指弹性变形。

稳定性问题中的原有平衡形态，是指与所受外力相应的变形形式下的平衡形态。

【例3】根据可变形固体的均匀性假设，从物体内任一点处任意方向取出的体积单元，其力学性能均相同。

因此，均匀性假设实际上包含了各向同性假设，试问上述说法是否正确？

解：

不正确。

均匀性假设是指从物体内取出的任一体积单元的力学性能与物体的力学性能相同，而并不涉及沿各个方向的力学性能是否相同。

各项同性假设是指物体沿各个方向的力学性能相同，两者是有区别的。

【例4】钢杆与橡皮棒在同样轴向拉力P作用下，若橡皮棒的应变比钢大，由胡克定律可知：

橡皮棒横截面上的应力σ比钢大。

这种结论是否一定正确？

为什么？

钢杆与橡皮棒横截面上的应力是否可能相等？

条件是什么？

解答：

（1）在二杆均处于弹性阶段的前提下，由于橡皮棒的应变大于钢杆的应变并不一定能根据胡克定律得出前者应力大于后者的结论。

原因是不同的材料有不同的弹性模量，不能只根据应变大小来比较应力大小。

具体说，因

σ钢=E钢ε钢σ橡=E橡ε橡

但事实上E橡＜E钢，故仅由ε橡＞ε钢无法确定σ钢和σ橡孰大孰小。

（2）由σ=N/A可知，只要钢杆与橡皮棒横截面积相等在同样的轴向拉力P作用下，则其横截面上的应力σ就一定相等。

【例5】三角形构架ABC用于支承重物，如图a所示。

构架中杆AB为钢杆，两端用销钉连接，构件BC为工字钢梁，在B处销接而在C处用四个螺栓连接。

试问杆AB和构件BC将分别产生哪些变形？

（a）

解：

1.建立力学模型

首先，可以认为重量W位于构架ABC平面内，因此可作为平面力系问题来处理。

其次，销钉B、C将传递一个通过销钉中心的力。

假如在销钉周面上存在摩擦力，则在该平面内还将传递一个摩擦力矩，其值等于摩擦力（fFN）乘以销钉半径。

对于一个典型的摩擦因数1/3，最大的摩擦力矩应为销钉所传递的力承销钉半径的1/3，在本例的几何条件下显然可忽略不计。

因此，销钉B、C可理想化为光滑销钉，而不计摩擦力矩的影响。

最后，C处的螺栓连接，其约束既不像光滑销钉可自由转动，也不像固定端那样毫无转动的可能，而是介于两者之间，并与螺栓的紧固程度有关。

为此，理想化为两种极端情况进行分析比较：

一是将处理想化为光滑销钉，于是将力学模型如图b所示；另一是将处理想化为固定端，其力学模型如图c所示。

2.构件的变形形式

对于图b所示的力学模型，杆AB和BC均为二力杆，可见杆AB将产生轴向拉伸，而杆BC将产生轴向压缩；对于图c所示的力学模型，杆AB仍为二力杆，将引起轴向拉伸。

构件BC在C处固定端将有反力FCx、FCy和反力偶矩MC（其值按超静定法求解），将引起轴向压缩和弯曲的组合变形。

（b）（c）

【例6】图示耳叉受轴向载荷P的作用，试较核耳叉的拉伸强度。

已知：

P=14kN，

=20Mpa。

解：

耳叉的轴力为

N=P=14kN

分别校核耳叉上的耳片和螺杆的强度，即

＜

＜

耳叉符合强度要求。

【例7】A3钢钢板的厚度t=12mm，宽度b=100mm，铆钉孔的直径d=17mm，设轴向力P=100KN，每个孔上承受的力为

，安全系数取ns=2，试校核其强度。

解：

（1）作板的轴力图，可能的危险截面为1-1及2-2。

（2）确定许用应力

由教材查表1-2得A3钢

=216~235Mpa

故

=108~118Mpa

（3）校核板的饿强度

1-1截面：

＜

2-2截面：

＜

故板的强度足够。

【例8】杆BD重W=200N,用铜丝AB,CD吊起,其F点用钢丝FH悬重物H,如图a所示.已知钢，铜的弹性模量及许用应力分别为

=208Gpa，

=120Gpa，［

］=150Mpa，［

］=60Mpa，AB横截面面积为20mm2，CD、FH的横截面面积均为10mm2，试确定重物H的许可重量［Q］及它为最大许可重量时的下垂量。

（a）

解：

（一）解题分析：

H的许可重量决定于AB、CD及FH的拉伸强度,并由其中某根的拉伸强度所决定。

H的下垂量则由AB、CD的拉伸导致的F点下垂及FH的伸长所决定。

（二）解题思路：

先根据强度条件确定AB、CD及FH的内力与H的重量Q的关系，由许可内力及内力与载荷Q的关系确定许可重量［Q］，为确定H的下垂量，先计算杆AB、CD、FH的伸长，由杆AB、CD的伸长，根据几何关系确定下垂，再由F点的下垂及FH的伸长求出H的下垂量。

（三）解题步骤：

1.确定H的许可重量［Q］

1）确定H的重量与杆AB、CD、FH内力的关系

由图b，

，

，

由图c，

，

（b）

，

2）确定许可重量［Q］（c）

由FH的强度条件

≤［

］

Q≤［

］AFH＝150×10＝1500N

由AB的强度条件

≤［

］

Q≤

由CD的强度条件

≤［

］（d）

Q≤

故Q的最大许可值为［Q］＝1470N。

2.确定H点的下垂量yH

1）计算AB、CD、FH的伸长

2）计算F点的下垂量yF，由图d可知

3）计算H点的下垂量yH

（四）注意点

1.求结构许可荷载的问题中，常见的错误是用最小的许可内力去求许可荷载，例如本例中，由

≤［NCD］

得出，并以之为最终结果。

其错误在于忽视了不同杆的内力与结构荷载间具有由平衡条件确定的不同关系，因而最小内力对应的不一定是最小的荷载，而许可荷载却应该是各杆许可内力所对应的荷载中的最小一个，否则，某些杆件的强度将无法保证。

2.本例中还容易忽视的是F点的下垂。

此外，还不应忽视计算公式中各量的对应关系，例如为钢，为铜，计算中应分别用各自的许用应力及弹性模量。

【例9】图示结构中AC为钢性梁，BD为斜撑杆，载荷P可沿梁AC水平移动。

为使斜撑杆重量为最轻，则斜撑杆与梁之间的夹角

应取何值？

解：

（1）载荷P移动到距A端为x的位置时，计算BD杆所受之力

∴

显然，当

时，NBD为最大，其最大值为

（2）确定

角

欲使BD杆重量最轻，则BD杆体积为最小。

设斜撑杆的许用应力为

，则截面面积为

体积

显然，当

时，V最小

∴2

=

则

【例11】图a为一变截面圆钢杆ABCD。

已知P1=20kN，P2=35kN，P3=35kN，L1=L3=300mm，L2=400mm，d1=12mm，d2=16mm，d3=24mm。

试求：

1）Ⅰ-Ⅰ,Ⅱ-Ⅱ及Ⅲ-Ⅲ截面上的轴力,并作AD杆的轴力图；

2）杆的最大正应力

max；

3）B截面的轴向位移uB及AD杆的伸长△LAD。

（a）

解:

1.求轴力及画轴力图用截面法分别在Ⅰ-Ⅰ，Ⅱ-Ⅱ及Ⅲ-Ⅲ截面处将杆截开，保留右边的部分，截面处都加正方向的轴力N1-1，N2-2及N3-3。

图b分别表示三个留下部分的受力图，由轴向静力平衡条件，分别可求得

（b）（c）

N1－1=P1=20KN

N2－2=P1－P2=－15KN

N3－3=P1－P2－P3=－50KN

其中”－”号的轴力表示压力。

显然N1－1、N2－2、N3－3分别代表了1、2、3段杆内任意截面上的轴力,因此其轴力图如图c所示.

2.求最大正应力

max

AB段：

AB=

=

=

=176.8×106pa=176.8Mpa

CD段：

CD=

=

=

=－110.5×106pa=110.5Mpa

可见最大正应力发生在AB段,即

max=176.8×106pa=176.8Mpa

3.求B截面的轴向位移及AD杆的伸长△LAD。

AB段:

BC段:

CD段:

∴uB=（－1.42－1.58）×

=－3.0×

m=－0.3mm（负号表示向左）

∴△LAD=△LAB+△LBC+△LCD=－0.47×

。

（负号表示缩短）