二元一次方程与一次函数的关系.docx

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二元一次方程与一次函数的关系

5.6二元一次方程与一次函数

5.7用二元一次方程组确定一次函数表达式

自学目标:

1、理解二元一次方程与一次函数的关系；理解二元一次方程组的解与两条直线的交点坐标的关系；

2、能利用二元一次方程组确定一次函数的表达式

3、体会数形结合的思想方法。

考点分类精讲

考点1 二元一次方程组与两条直线的交点的关系

核心总结

知识．能力聚焦

1.二元一次方程与一次函数的关系：

任何一个二元一次方程都可化成一次函数关系式的形式。

以一个二元一次方程的解为坐标的点组成的图象与相应的一次函数的图象相同，是一条直线；即以二元一次方程的解为坐标的点一定在相应的一次函数的图象上，一次函数的图象的点的坐标一定是相应的二元一次方程的解。

2.确定两条直线交点的坐标，相当于求相应的二元一次方程组的解；解一个二元一次方程组相当于确定相应两条直线交点的坐标；

[点拨]  

1、二元一次方程与相应的一次函数表达的都是关于两个变量的关系，只是书写形式不一样而已；列表、描点、连线时用一次函数的表达式要比用二元一次方程来的直接一些；

2、求两条直线的交点坐标，就把两条直线的表达式联立方程组求解即可得到交点的横纵坐标。

3、两条直线的交点坐标同时满足两条直线的解析式。

真题诠释

14、（2013?

黔东南州）直线y=﹣2x+m与直线y=2x﹣1的交点在第四象限，则m的取值范围是（ ）

A．

m＞﹣1

B．

m＜1

C．

﹣1＜m＜1

D．

﹣1≤m≤1

[解析]

联立

，

解得

，

∵交点在第四象限，m+1>0,m-1<0

∴m＞﹣1，m＜1，

所以，m的取值范围是﹣1＜m＜1．

故选C．

[答案]C

思维．延伸拓展

例、

考点2  用二元一次方程组确定一次函数表达式

核心总结

知识．能力聚焦

1.用二元一次方程组确定一次函数表达式的方法：

用待定系数法。

即先设出函数表达式，再根据所给条件确定表达式中未知的系数，从而得到函数表达式。

2.用二元一次方程组确定一次函数表达式的步骤：

设出两个变量之间的一次函数表达式，y=kx+b,把已知的条件代入组成关于k、b二元一次方程组，解出方程组的解即可得一次函数的表达式。

[点拨]

1、不同的问题涉及到的变量不一定相同，因此在设一次函数表达式时，要看清楚题目中的两个变量的字母，不要都写成x、y

2、在一个题中出现了多个一次函数关系时，设表达式时k要分别写成k1、k2；b也要分别写成b1、b2

真题诠释

（2013?

常州）已知一次函数y=kx+b（k、b为常数且k≠0）的图象经过点A（0，﹣2）和点B（1，0），则k= ，b= ．

[解析]

∵一次函数y=kx+b（k、b为常数且k≠0）的图象经过点A（0，﹣2）和点B（1，0），

∴

，

解得

．

[答案]

2，﹣2．

思维．延伸拓展

七年级我们学过平行线的判定，是在几何图形中；上一章我们又学习了直线y=kx+b与y=kx的位置关系是平行的，因此我们可以用代数方法来判定两条直线是否平行。

例：

直线l经过点（1，5）、（－1，1），直线m经过点（1，0）、（2，2），你能判定直线l与m的位置关系吗？

[解析]两条直线都分别过两个已知点，故可用待定系数法分别求出解析式，看它们的k是否相等即可。

[答案]设直线l的解析式为y=kx+b，∵它的图象经过点（1，5）、（－1，1）

∴ k+b=5      k=2

-k+b=1 解得：

  b=3  所以直线l的解析式为y=2x+3

设直线m的解析式为y=k1x+b1，∵它的图象经过点（1，0）、（2，2）

∴ k1+b1=0      k1=2

2k1+b1=2 解得：

 b1=-2  所以直线m的解析式为y=2x-2

所以两条直线的k相等，所以l∥m

考点整合精训

（测试时间：

30分钟　满分：

50分） 　基础能力精训

一、选择题

1、[考点1]

[答案]  B

2、[考点1]

[解析]

[答案]B

3、[考点1]

[答案]C

4、[考点1]

[答案]C

5、[考点2]

6．[考点1]直线kx-3y=8，2x+5y=-4交点的纵坐标为0，则k的值为（）

A．4B．-4C．2D．-2

[解析]把y=0代入2x+5y=-4，得2x=-4，x=-2．

所以交点坐标为（-2，0）．

把x=-2，y=0代入kx-3y=8，得-2k=8，k=-4，故应选B．

[答案]B

二、填空题

7、[考点1]点（2，3）在一次函数y=2x-1的________；x=2，y=3是方程2x-y=1的_______．

[解析]当x=2时，y=2x-1=2×2-1=3，∴（2，3）在一次函数y=2x-1的图像上．

即x=2，y=3是方程2x-y=1的解．

[答案]图像上解

8、[考点1]

9、[考点1]

10、[考点1]已知关于x，y的二元一次方程3ax+2by=0和5ax-3by=19化成的两个一次函数的图像的交点坐标为（1，-1），则a=_______，b=________．

11、[考点1]

12、[考点1]

三、解答题

13、[考点1]若直线y=ax+7经过一次函数y=4-3x和y=2x-1图象的交点，求a的值．

[解析]求图象的交点，把相应的解析式联立方程组求解即可得交点坐标；图象过某个点，则这个点的坐标符合解析式。

14、[考点1]

（1）在同一直角坐标系中作出一次函数y=x+2，y=x-3的图像．

（2）两者的图像有何关系?

（3）你能找出一组数适合方程x-y=2，x-y=3吗?

_________________，这说明方程组________．

所以第一个空填“不能”，第二个空填“无解”。

14、[考点1]

15、[考点2]

（测试时间：

30分钟　满分：

50分） 　中考能力精训

二、选择题

1、[考点1]一次函数y=kx+b（k≠0）自变量x的取值每增加一个单位，函数值y就相应地减少5个单位，则k的值为（  ） A 5  B －5  C 0.5   D －0.5

[解析]一次函数y=kx+b（k≠0）自变量x的取值每增加一个单位，则kx

就增加k，所以k=-5

[答案]B

2、[考点1]（2011广西百色，6，4分）两条直线y=k1x+b1和y=k2x+b2相交于点A（﹣2，3），则方程组

的解是（ ）

A．

    B．

   C．

    D．

[解析]∵两条直线y=kix+b1和y=k2x+b2相交于点A（﹣2，3），

∴

就是方程组

的解．

∴方程组的

解为：

．

[答案]B

3、[考点2]

4、[考点1]（2011山东淄博9，4分）下列各个选项中的网格都是边长为1的小正方形，利用函数的图象解方程5x﹣1=2x+5，其中正确的是（ ）

A.

    B.

C.

    D.

[解析]∵直线y=2x+5中y随x的增大而增大，直线y=5x﹣1中y随x的增大而增大，∴故选项C、D错误；解5x﹣1=2x+5得x=2所以选项B错误；

故选A．

[答案]A

5、[考点2]（2013?

十堰）张师傅驾车从甲地到乙地，两地相距500千米，汽车出发前油箱有油25升，途中加油若干升，加油前、后汽车都以100千米/小时的速度匀速行驶，已知油箱中剩余油量y（升）与行驶时间t（小时）之间的关系如图所示．以下说法错误的是（ ）

A．

加油前油箱中剩余油量y（升）与行驶时间t（小时）的函数关系是y=﹣8t+25

B．

途中加油21升

C．

汽车加油后还可行驶4小时

D．

汽车到达乙地时油箱中还余油6升

[解析]

A、设加油前油箱中剩余油量y（升）与行驶时间t（小时）的函数关系式为y=kt+b．将（0，25），（2，9）代入，

得

，解得

，

所以y=﹣8t+25，正确，故本选项不符合题意；

B、由图象可知，途中加油：

30﹣9=21（升），正确，故本选项不符合题意；

C、由图可知汽车每小时用油（25﹣9）÷2=8（升），

所以汽车加油后还可行驶：

30÷8=3

＜4（小时），错误，故本选项符合题意；

D、∵汽车从甲地到达乙地，所需时间为：

500÷100=5（小时），

∴5小时耗油量为：

8×5=40（升），

又∵汽车出发前油箱有油25升，途中加油21升，XKb1.Com

∴汽车到达乙地时油箱中还余油：

25+21﹣40=6（升），正确，故本选项不符合题意．故选C．

[答案]C

二、填空题

6、[考点2]（13年山东青岛、12）如图，一个正比例函数图像与一次函数

的图像相交于点P，则这个正比例函数的表达式是____________

[解析]交点P的纵坐标为y＝2，代入一次函数解析式：

2

＝－x＋1，所以，x＝－1

即P（－1,2），代入正比例函数，y＝kx，得k－2，所以，y＝－2x

[答案]y＝－2x

7、[考点1]已知一次函数y=-x+2的图象过点P（a，b）和Q（c，d），则（a+b）（c+d）的值为_______

[解析]由题意得x=a,y=b和x=c,y=d是关于二元一次方程y=-x+2的两个解，即b=-a+2,d=-c+2,所以得a+b=2,c+d=2，整体代入（a+b）（c+d）中得4

[答案]4

8、[考点1]方程组 

无解，由此一次函数y=2-x与y=

-x的图象位置关系为（ ）

[解析]方程组没有解，即两函数的图象无交点，因此两函数的图象平行。

[答案]平行。

三、解答题

9、[考点2]

[解析]由图象可知y与x成一次函数关系，而图中还已知图象过两已知点，因此用待定系数法即可求解。

[答案]

10、[考点2]（2013?

内江）某地区为了进一步缓解交通拥堵问题，决定修建一条长为6千米的公路．如果平均每天的修建费y（万元）与修建天数x（天）之间在30≤x≤120，具有一次函数的关系，如下表所示．

X

50

60

90

120

y

40

38

32

26

（1）求y关于x的函数解析式；

（2）后来在修建的过程中计划发生改变，政府决定多修2千米，因此在没有增减建设力量的情况下，修完这条路比计划晚了15天，求原计划每天的修建费．

[解析]

（1）设y与x之间的函数关系式为y=kx+b，运用待定系数法就可以求出y与x之间的函数关系式；

（2）设原计划要m天完成，则增加2km后用了（m+15）天，根据每天修建的工作量不变建立方程求出其解，就可以求出计划的时间，然后代入

（1）的解析式就可以求出结论．

[答案]

解：

（1）设y与x之间的函数关系式为y=kx+b，由题意，得

，

解得：

，

∴y与x之间的函数关系式为：

y=﹣x+50（30≤x≤120）；

（2）设原计划要m天完成，则增加2km后用了（m+15）天，由题意，得

，

解得：

m