专题 不等式选讲Word格式文档下载.docx

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a与|x|>

a的解法

不等式

a>

a＝0

a<

|x|<

a

{x|－a<

x<

a}

∅

|x|>

{x|x>

a，或x<

－a}

{x|x∈R，且x≠0}

R

（2）|ax＋b|≤c（c>

0）和|ax＋b|≥c（c>

0）型不等式的解法

①|ax＋b|≤c⇔－c≤ax＋b≤c；

②|ax＋b|≥c⇔ax＋b≥c或ax＋b≤－c.

（3）|x－a|＋|x－b|≥c（c>

0）和|x－a|＋|x－b|≤c（c>

法一：

利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想；

法二：

利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；

法三：

通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想．

二、不等式的证明

了解证明不等式的基本方法：

比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法，并能用它们证明一些简单不等式．

1．基本不等式

定理1：

设a，b∈R，则a2＋b2≥2ab.当且仅当a＝b时，等号成立．

定理2：

如果a、b为正数，则≥，当且仅当a＝b时，等号成立．

定理3：

如果a、b、c为正数，则≥，当且仅当a＝b＝c时，等号成立．

定理4：

（一般形式的算术—几何平均不等式）如果a1、a2、…、an为n个正数，则≥，当且仅当a1＝a2＝…＝an时，等号成立．

2．柯西不等式

（1）设a，b，c，d均为实数，则（a2＋b2）（c2＋d2）≥（ac＋bd）2，当且仅当ad＝bc时等号成立．

（2）若ai，bi（i∈N*）为实数，则（）（）≥（ibi）2，当且仅当＝＝…＝（当ai＝0时，约定bi＝0，i＝1,2，…，n）时等号成立．

（3）柯西不等式的向量形式：

设α，β为平面上的两个向量，则|α||β|≥|α·

β|，当且仅当α，β共线时等号成立．

3．不等式的证明方法

证明不等式常用的方法有比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法等．

1.解不等式|x－1|＋|x＋2|≥5.

【训练1】解不等式|x＋3|－|2x－1|＜＋1.

【训练2】解下列绝对值不等式．

（1）1<

|x－2|≤3；

（2）|x2－2x＋4|>

2x；

（3）|x＋3|－|x－2|≥3.

2.已知不等式|x＋1|－|x－3|＞a.分别求出下列情形中a的取值范围．

（1）不等式有解；

（2）不等式的解集为R；

（3）不等式的解集为∅.

【训练2】设函数f（x）＝|x－a|＋3x，其中a>

0.

（1）当a＝1时，求不等式f（x）≥3x＋2的解集；

（2）若不等式f（x）≤0的解集为{x|x≤－1}，求a的值．

3.已知函数f（x）＝|2x－1|＋|2x＋a|，g（x）＝x＋3.

（1）当a＝－2时，求不等式f（x）<

g（x）的解集；

（2）设a>

－1，且当x∈时，f（x）≤g（x），求a的取值范围．

【训练3】（2012·

新课标全国卷）已知函数f（x）＝|x＋a|＋|x－2|.

（1）当a＝－3时，求不等式f（x）≥3的解集；

（2）若f（x）≤|x－4|的解集包含[1,2]，求a的取值范围．

4.设不等式|x－2|＜a（a∈N*）的解集为A，且∈A，∉A.

（1）求a的值；

（2）求函数f（x）＝|x＋a|＋|x－2|的最小值．

麦迪娜

[最新考纲]

解　法一　如图，设数轴上与－2,1对应的点分别是A，B，则不等式的解就是数轴上到A、B两点的距离之和不小于5的点所对应的实数．显然，区间[－2,1]不是不等式的解集．把A向左移动一个单位到点A1，此时A1A＋A1B＝1＋4＝5.把点B向右移动一个单位到点B1，此时B1A＋B1B＝5，故原不等式的解集为（－∞，－3]∪[2，＋∞）．

法二　原不等式|x－1|＋|x＋2|≥5⇔

或

或解得x≥2或x≤－3，

∴原不等式的解集为（－∞，－3]∪[2，＋∞）．

法三　将原不等式转化为|x－1|＋|x＋2|－5≥0.

令f（x）＝|x－1|＋|x＋2|－5，则

f（x）＝作出函数的图象，如图所示．

由图象可知，当x∈（－∞，－3]∪[2，＋∞）时，y≥0，

规律方法形如|x－a|＋|x－b|≥c（或≤c）型的不等式主要有三种解法：

（1）分段讨论法：

利用绝对值号内式子对应方程的根，将数轴分为（－∞，a]，（a，b]，（b，＋∞）（此处设a＜b）三个部分，在每个部分上去掉绝对值号分别列出对应的不等式求解，然后取各个不等式解集的并集．

（2）几何法：

利用|x－a|＋|x－b|＞c（c＞0）的几何意义：

数轴上到点x1＝a和x2＝b的距离之和大于c的全体，|x－a|＋|x－b|≥|x－a－（x－b）|＝|a－b|.

（3）图象法：

作出函数y1＝|x－a|＋|x－b|和y2＝c的图象，结合图象求解．

解　①当x＜－3时，原不等式化为－（x＋3）－（1－2x）＜＋1，解得x＜10，∴x＜－3.

②当－3≤x＜时，原不等式化为（x＋3）－（1－2x）＜＋1，解得x＜－，∴－3≤x＜－.

③当x≥时，原不等式化为（x＋3）－（2x－1）＜＋1，解得x＞2，∴x＞2.

综上可知，原不等式的解集为.

【解析】　

（1）原不等式等价于

1<

x－2≤3或－3≤x－2<

－1，

解得3<

x≤5或－1≤x<

1.

所以原不等式的解集是{x|－1≤x<

1或3<

x≤5}．

（2）原不等式等价于①x2－2x＋4<

－2x

或②x2－2x＋4>

2x.解①得无解，解②得x≠2.

∴原不等式的解集为{x|x∈R且x≠2}．

（3）分别令x＋3＝0，x－2＝0得零点为－3,2.

∴原不等式等价于：

①⇒解集为∅；

解　法一　因为|x＋1|－|x－3|表示数轴上的点P（x）与两定点A（－1），B（3）距离的差，

即|x＋1|－|x－3|＝PA－PB.

由绝对值的几何意义知，

PA－PB的最大值为AB＝4，

最小值为－AB＝－4，

即－4≤|x＋1|－|x－3|≤4.

（1）若不等式有解，a只要比|x＋1|－|x－3|的最大值小即可，故a＜4.

（2）若不等式的解集为R，即不等式恒成立，

只要a比|x＋1|－|x－3|的最小值还小，即a＜－4.

（3）若不等式的解集为∅，a只要不小于|x＋1|－|x－3|的最大值即可，即a≥4.

法二　由|x＋1|－|x－3|≤|x＋1－（x－3）|＝4.

|x－3|－|x＋1|≤|（x－3）－（x＋1）|＝4.

可得－4≤|x＋1|－|x－3|≤4.

（1）若不等式有解，则a＜4；

（2）若不等式的解集为R，则a＜－4；

（3）若不等式解集为∅，则a≥4.

规律方法本题中

（1）是含参数的不等式存在性问题，只要求存在满足条件的x即可；

不等式的解集为R是指不等式的恒成立问题，而不等式的解集∅的对立面（如f（x）＞m的解集是空集，则f（x）≤m恒成立）也是不等式的恒成立问题，此两类问题都可转化为最值问题，即f（x）＜a恒成立⇔a＞f（x）max，f（x）＞a恒成立⇔a＜f（x）min.

解　

（1）当a＝1时，f（x）≥3x＋2可化为|x－1|≥2.

由此可得x≥3或x≤－1.

故不等式f（x）≥3x＋2的解集为{x|x≥3，或x≤－1}．

（2）由f（x）≤0得|x－a|＋3x≤0.

此不等式化为不等式组或

即或

因为a>

0，所以不等式组的解集为.

由题设可得－＝－1，故a＝2.

解　

（1）当a＝－2时，不等式f（x）＜g（x）化为|2x－1|＋|2x－2|－x－3＜0.

设函数y＝|2x－1|＋|2x－2|－x－3，

则y＝

其图象如图所示，由图象可知，当且仅当x∈（0,2）时，y＜0.

所以原不等式的解集是{x|0＜x＜2}．

（2）当x∈时，f（x）＝1＋a，

不等式f（x）≤g（x）化为1＋a≤x＋3，

所以x≥a－2对x∈都成立，

应有－≥a－2，则a≤，

从而实数a的取值范围是.

规律方法含有多个绝对值的不等式，可以分别令各绝对值里的式子为零，并求出相应的根．把这些根从小到大排序，以这些根为分界点，将实数分成若干小区间．按每个小区间来去掉绝对值符号，解不等式，最后取每个小区间上相应解的并集．

解　

（1）当a＝－3时，f（x）＝

当x≤2时，由f（x）≥3得－2x＋5≥3，解得x≤1；

当2<

3时，f（x）≥3无解；

当x≥3时，由f（x）≥3得

2x－5≥3，解得x≥4.

所以f（x）≥3的解集为{x|x≤1，或x≥4}．

（2）f（x）≤|x－4|⇔|x－4|－|x－2|≥|x＋a|.

当x∈[1,2]时，|x－4|－|x－2|≥|x＋a|⇔4－x－（2－x）≥|x＋a|⇔－2－a≤x≤2－a.

由条件得－2－a≤1且2－a≥2，

即－3≤a≤0.

故满足条件的a的取值范围是[－3,0].

[审题视点]　

（1）利用条件∈A，∉A，建立不等式，求a的值；

（2）利用绝对值三角不等式进行放缩求解．

解　

（1）∵∈A，∉A.

∴＜a，且≥a，因此＜a≤，

又a∈N*，从而a＝1.

（2）由

（1）知，f（x）＝|x＋1|＋|x－2|，

又|x＋1|＋|x－2|≥|（x＋1）－（x－2）|＝3，

当且仅当（x＋1）（x－2）≤0，即－1≤x≤2时等号成立．

故f（x）的最小值为3.