[答案] D
[解析] f′（x）＝x2－2（4m－1）x＋15m2－2m－7，
由题意得x2－2（4m－1）x＋15m2－2m－7≥0恒成立，∴Δ＝4（4m－1）2－4（15m2－2m－7）
＝64m2－32m＋4－60m2＋8m＋28
＝4（m2－6m＋8）≤0，
∴2≤m≤4，故选D.
9．（2015·浙江文，5）函数f（x）＝cosx（－π≤x≤π且x≠0）的图像可能为（ ）
A． B．
C． D.
[答案] D
[解析] 因为f（－x）＝（－x＋）cosx＝－（x－）·cosx＝－f（x），故函数是奇函数，所以排除A，B；取x＝π，则f（π）＝（π－）cosπ＝－（π－）<0，故选D.
10．（2014·江西文，9）过双曲线C：
－＝1的右顶点作x轴的垂线，与C的一条渐近线相交于A.若以C的右焦点为圆心、半径为4的圆经过A、O两点（O为坐标原点），则双曲线C的方程为（ ）
A.－＝1B．－＝1
C.－＝1D．－＝1
[答案] A
[解析] 如图设双曲线的右焦点F，右顶点B，设渐近线OA方程为y＝x，
由题意知，以F为圆心，4为半径的圆过点O，A，
∴|FA|＝|FO|＝r＝4.
∵AB⊥x轴，A为AB与渐近线y＝x的交点，
∴可求得A点坐标为A（a，b）．
∴在Rt△ABO中，|OA|2＝＝＝c＝|OF|＝4，
∴△OAF为等边三角形且边长为4，B为OF的中点，从而解得|OB|＝a＝2，|AB|＝b＝2，
∴双曲线的方程为－＝1，故选A.
二、填空题（本大题共5个小题，每小题5分，共25分，将正确答案填在题中横线上）
11．（2014·深圳高级中学月考）给出如下四个命题：
①若“p或q”为假命题，则p，q均为假命题；
②命题“若x≥2且y≥3，则x＋y≥5”的否命题为“若x<2且y<3，则x＋y<5”；
③在△ABC中，“A>45°”是“sinA>”的充要条件；
④命题“若x＝y，则sinx＝siny”的逆否命题为真命题．
其中正确命题的个数是________．
[答案] 2
[解析] ①若“p或q”为假命题，则p，q均为假命题，所以①正确．②同时否定条件和结论得原命题的否命题是：
“若x<2或y<3，则x＋y<5”，所以②错误．③在△ABC中，当A＝150°时，sinA<，所以③错误．④因为命题“若x＝y，则sinx＝siny”是真命题，所以它的逆否命题也是真命题，所以④正确．则正确命题的个数为2.
12．（2014·福建安溪一中、养正中学联考）曲线y＝x（3lnx＋1）在点（1,1）处的切线方程为________．
[答案] 4x－y－3＝0
[解析] y′|x＝1＝（3lnx＋4）|x＝1＝4，∴切线方程为y－1＝4（x－1），即4x－y－3＝0.
13．（2014·福建省闽侯二中、永泰二中、连江侨中、长乐二中联考）已知函数f（x）＝x3－ax2－3x在区间[1，＋∞）上是增函数，则实数a的取值范围是________．
[答案] （－∞，0]
[解析] ∵f（x）＝x3－ax2－3x，∴f′（x）＝3x2－2ax－3，
又因为f（x）＝x3－ax2－3x在区间[1，＋∞）上是增函数，
f′（x）＝3x2－2ax－3≥0在区间[1，＋∞）上恒成立，
∴解得a≤0，
故答案为（－∞，0]．
14．已知椭圆＋＝1内有两点A（1,3），B（3,0），P为椭圆上一点，则|PA|＋|PB|的最大值为________．
[答案] 15
[解析] 在椭圆中，由a＝5，b＝4得c＝3，故焦点坐标为（－3,0）和（3,0），则点B是右焦点，记另一焦点为C（－3,0），则由椭圆定义得|PB|＋|PC|＝10，从而|PA|＋|PB|＝10＋|PA|－|PC|，又||PA|－|PC||≤|AC|＝5，故当点P，A，C共线时，|PA|＋|PB|取得最大值，最大值为15.
15．对正整数n，设曲线y＝xn（1－x）在x＝2处的切线与y轴交点的纵坐标为an，则数列的前n项和是________．
[答案] 2n＋1－2
[解析] ∵y＝xn（1－x），∴y′＝（xn）′（1－x）＋（1－x）′·xn＝n·xn－1（1－x）－xn.
f′
（2）＝－n·2n－1－2n＝（－n－2）·2n－1.
在点x＝2处点的纵坐标为y＝－2n.
∴切线方程为y＋2n＝（－n－2）·2n－1（x－2）．
令x＝0得，y＝（n＋1）·2n，
∴an＝（n＋1）·2n，
∴数列的前n项和为＝2n＋1－2.
三、解答题（本大题共6小题，共75分，前4题每题12分，20题13分，21题14分）
16．
（1）设集合A＝{x|－2－a0}．命题p：
1∈A；命题q：
2∈A.若p∨q为真命题，p∧q为假命题，求a的取值范围；
（2）已知p：
4x＋m<0，q：
x2－x－2>0，且p是q的充分条件，求实数m的取值范围．
[解析]
（1）若命题p为真，则－2－a<11；若命题q为真，则－2－a<22.因为p∨q为真，p∧q为假，所以p，q一真一假．当p真q假时，1所以a的取值范围是（1,2]．
（2）由x2－x－2>0，得x>2或x<－1，令A＝{x|x>2或x<－1}；由4x＋m<0，得x<－，令B＝{x|x<－}．
因为p是q的充分条件，所以B⊆A，于是－≤－1，得m≥4，所以实数m的取值范围是[4，＋∞）．
17．已知双曲线过点P（－3，4），它的渐近线方程为y＝±x.
（1）求双曲线的标准方程；
（2）设F1和F2为该双曲线的左、右焦点，点P在此双曲线上，且|PF1|·|PF2|＝41，求∠F1PF2的余弦值．
[答案]
（1）－＝1
（2）
[解析]
（1）由渐近线方程知双曲线中心在原点，且渐近线上横坐标为－3的点P′的纵坐标的绝对值为4.
∵4>4，∴双曲线的焦点在x轴上，
设方程为－＝1.
∵双曲线过点P（－3，4），
∴－＝1 ①
又∵＝ ②，
由①②，得a2＝9，b2＝16，
∴所求的双曲线方程为－＝1.
（2）设|PF1|＝d1，|PF2|＝d2，
则d1·d2＝41.又由双曲线的几何性质知|d1－d2|＝2a＝6.
由余弦定理得
cos∠F1PF2＝
＝＝.
18．（2014·成都质量检测）已知函数f（x）＝－x2＋2x－aex.
（1）若a＝1，求f（x）在x＝1处的切线方程；
（2）若f（x）在R上是增函数，求实数a的取值范围．
[答案]
（1）y＝（1－e）x＋
（2）（－∞，－]
[解析]
（1）当a＝1时，f（x）＝－x2＋2x－ex，
则f
（1）＝－×12＋2×1－e＝－e，
f′（x）＝－x＋2－ex，f′
（1）＝－1＋2－e＝1－e，
故曲线y＝f（x）在x＝1处的切线方程为y－（－e）＝（1－e）（x－1），即y＝（1－e）x＋.
（2）∵f（x）在R上是增函数，∴f′（x）≥0在R上恒成立，
∵f（x）＝－x2＋2x－aex，f′（x）＝－x＋2－aex，
于是有不等式－x＋2－aex≥0在R上恒成立，
即a≤在R上恒成立，
令g（x）＝，则g′（x）＝，
令g′（x）＝0，解得x＝3，列表如下：
x
（－∞，3）
3
（3，＋∞）
g′（x）
－
0
＋
g（x）
减
极小值－
增
故函数g（x）在x＝3处取得极小值，亦即最小值，
即g（x）min＝－，所以a≤－，
即实数a的取值范围是（－∞，－]．
19．（2013·海淀区高二期中）已知函数f（x）＝x3－2ax2＋bx，其中a、b∈R，且曲线y＝f（x）在点（0，f（0））处的切线斜率为3.
（1）求b的值；
（2）若函数f（x）在x＝1处取得极大值，求a的值．
[答案]
（1）3
（2）1
[解析]
（1）f′（x）＝a2x2－4ax＋b，
由题意f′（0）＝b＝3.
（2）∵函数f（x）在x＝1处取得极大值，
∴f′
（1）＝a2－4a＋3＝0，解得a＝1或a＝3.
①当a＝1时，f′（x）＝x2－4x＋3＝（x－1）（x－3），
x、f′（x）、f（x）的变化情况如下表：
x
（－∞，1）
1
（1,3）
3
（3，＋∞）
f′（x）
＋
0
－
0
＋
f（x）
极大值
极小值
由上表知，函数f（x）在x＝1处取得极大值，符合题意．
②当a＝3时，f′（x）＝9x2－12x＋3＝3（3x－1）（x－1），
x、f′（x）、f（x）的变化情况如下表：
x
（－∞，）
（，1）
1
（1，＋∞）
f′（x）
＋
0
－
0
＋
f（x）
极大值
极小值
由上表知，函数f（x）在x＝1处取得极小值，不符合题意．
综上所述，若函数f（x）在x＝1处取得极大值，a的值为1.
20．若直线l：
y＝x－过双曲线－＝1（a>0，b>0）的一个焦点，且与双曲线的一条渐近线平行．
（1）求双曲线的方程；
（2）若过点B（0，b）且与x轴不平行的直线与双曲线相交于不同的两点M，N，MN的垂直平分线为m，求直线m在y轴上截距的取值范围．
[解析]
（1）由y＝x－得c＝2，＝，结合a2＋b2＝c2，
解得a＝，b＝1.
故双曲线的方程为－y2＝1.
（2）由
（1）知B（0,1），依题意可设过点B的直线方程为y＝kx＋1（k≠0），M（x1，y1），N（x2，y2）．
由得（1－3k2）x2－6kx－6＝0，所以x1＋x2＝，
Δ＝36k2＋24（1－3k2）＝12（2－3k2）>0⇒0设MN的中点为Q（x0，y0），则x0＝＝，y0＝kx0＋1＝.故直线m的方程为y－＝－（x－），即y＝－x＋.
所以直线m在y轴上的截距为，
由0所以∈（－∞，－4）∪（4，＋∞）．
即直线m在y轴上的截距的取值范围为（－∞，－4）∪（4，＋∞）．
21．（2013·福州文博中学高二期末）设f（x）＝lnx，g（x）＝f（x）＋f′（x）．
（1）求g（x）的单调区间和最小值；
（2）讨论g（x）与g（）的大小关系；
（3）求a的取值范围，使得g（a）－g（x）<对任意x>0成立．
[答案]
（1）减区间（0,1） 增区间（1，＋∞） 最小值1
（2）0g（） x>1时，g（x）[解析]
（1）由题设知g（x）＝lnx＋，
∴g′（x）＝，令g′（x）＝0，得x＝1.
当x∈（0,1）时，g′（x）<0，故（0,1）是g（x）的单调递减区间．
当x∈（1，＋∞）时，g′（x）>0，故（1，＋∞）是g（x）的单调递增区间，
因此，x＝1是g（x）的唯一极值点，且为极小值点，从而是最小值点，所以最小值为g
（1）＝1.
（2）g（）＝－lnx＋x，
设h（x）＝g（x）－g（）＝2lnx－x＋，则
h′（x）＝－.
当x＝1时，h
（1）＝0，即g（x）＝g（）．
当x∈（0,1）∪（1，＋∞）时，h′（x）<0，h′
（1）＝0，
因此，h（x）在（0，＋∞）内单调递减．
当0h
（1）＝0，即g（x）>g（），
当x>1时，h（x）（1）＝0，即g（x）（3）由
（1）知g（x）的最小值为1，所以g（a）－g（x）<对任意x>0成立⇔g（a）－1<，
即lna<1，从而得0
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