第三节 简单的逻辑联结词全称量词与存在量词.docx
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第三节简单的逻辑联结词全称量词与存在量词
第三节 简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词
【最新考纲】 1.了解逻辑联结词“或”、“且”、“非”的含义.2.理解全称量词与存在量词的意义.3.能正确地对含有一个量词的命题进行否定．
1．简单的逻辑联结词
（1）命题中的“或”、“且”“非”叫做逻辑联结词．
（2）命题p∧q，p∨q，綈p的真假判断
p
q
p∧q
p∨q
綈p
真
真
真
真
假
真
假
假
真
假
假
真
假
真
真
假
假
假
假
真
2.全称量词与存在量词
（1）全称量词：
短语“所有的”、“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，用符号“∀”表示．
（2）全称命题：
含有全称量词的命题，叫做全称命题．
全称命题“对M中任意一个x，有p（x）成立”简记为∀x∈M，p（x）．
（3）存在量词：
短语“存在一个”、“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，用符号“∃”表示．
（4）特称命题：
含有存在量词的命题，叫做特称命题．特称命题“存在M中的一个元素x0，使p（x0）成立”，简记为∃x0∈M，p（x0）．
3．含有一个量词的命题的否定
命题
命题的否定
∀x∈M，p（x）
∃x0∈M，綈p（x0）
∃x0∈M，p（x0）
∀x∈M，綈p（x）
1．（质疑夯基）判断下列结论的正误．（正确的打“√”，错误的打“×”）
（1）命题“5＞6或5＞2”是假命题．（ ）
（2）命题p∧q为假命题，则命题p、q都是假命题．（ ）
（3）“长方形的对角线相等”是全称命题．（ ）
（4）命题“对顶角相等”的否定是“对顶角不相等”．（ ）
答案：
（1）×
（2）× （3）√ （4）×
2．（2015·湖北卷）命题“∃x0∈（0，＋∞），lnx0＝x0－1”的否定是（ ）
A．∀x∈（0，＋∞），lnx≠x－1
B．∀x∉（0，＋∞），lnx＝x－1
C．∃x0∈（0，＋∞），lnx0≠x0－1
D．∃x0∉（0，＋∞），lnx0＝x0－1
解析：
改变原命题中的三个地方即可得其否定，∃改为∀，x0改为x，否定结论，即lnx≠x－1.
答案：
A
3．在一次跳伞训练中，甲、乙两位学员各跳一次．设命题p是“甲降落在指定范围”，q是“乙降落在指定范围”，则命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为（ ）
A．（綈p）∨（綈q） B．p∨（綈q）
C．（綈p）∧（綈q）D．p∨q
解析：
依题意得綈p：
甲没有降落在指定范围，綈q：
乙没有降落在指定范围，因此“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为（綈p）∨（綈q）．
答案：
A
4．下列命题中假命题是（ ）
A．∀x∈R，2x－1＞0
B．∃x0∈R，－（x0－1）2≥0
C．∀x∈（1，＋∞），log2x＞0
D．∃x0∈R，cosx0＞x
＋2x0＋2
解析：
根据函数的性质可知A、C正确，对于B，当x0＝1时，－（x0－1）2≥0成立，故B正确，对于D，x
＋2x0＋2＝（x0＋1）2＋1≥1，故D错．
答案：
D
5．若命题“∀x∈R，ax2－ax－2≤0”是真命题，则实数a的取值范围是________．
解析：
当a＝0时，不等式显然成立；当a≠0时，
由题意知
得－8≤a＜0.
综上，－8≤a≤0.
答案：
[－8，0]
一种关系
逻辑联结词与集合的关系
“或、且、非”三个逻辑联结词，对应着集合运算中的“并、交、补”，因此，常常借助集合的“并、交、补”的意义来解答由“或、且、非”三个联结词构成的命题问题．
一种区别
正确区别命题的否定与否命题
“否命题”是对原命题“若p，则q”的条件和结论分别加以否定而得的命题，它既否定其条件，又否定其结论；“命题的否定”即“綈p”，只是否定命题p的结论．
命题的否定与原命题的真假总是对立的，即两者中有且只有一个为真．
两类否定
1．含有一个量词的命题的否定
（1）全称命题的否定是特称命题：
全称命题p：
∀x∈M，p（x），綈p：
∃x0∈M，綈p（x0）．
（2）特称命题的否定是全称命题：
特称命题p：
∃x0∈M，p（x0），綈p：
∀x∈M，綈p（x）．
2．由逻辑联结词构成的新命题的否定
（1）綈（p∧q）⇔（綈p）∨（綈q）；
（2）綈（p∨q）⇔（綈p）∧（綈p）．
一、选择题
1．设命题p：
函数y＝sin2x的最小正周期为
；命题q：
函数y＝cosx的图象关于直线x＝
对称．则下列判断正确的是（ ）
A．p为真 B．綈p为假
C．p∧q为假D．p∧q为真
解析：
p是假命题，q是假命题，因此只有C正确．
答案：
C
2．（2017·北京朝阳区高三一模）在索契冬奥会跳台滑雪空中技巧比赛赛前训练中，甲、乙两位队员各跳一次．设命题p是“甲落地站稳”，q是“乙落地站稳”，则命题“至少有一位队员落地没有站稳”可表示为（ ）
A．p∨qB．p∨（綈q）
C．（綈p）∧（綈q）D．（綈p）∨（綈q）
解析：
“至少有一位队员落地没有站稳”它的否定是“两位队员落地都站稳”，故为p∧q，而p∧q的否定是（綈p）∨（綈q）．
答案：
D
3．（2015·浙江卷）命题“∀n∈N*，f（n）∈N*且f（n）≤n”的否定形式是（ ）
A．∀n∈N*，f（n）∉N*且f（n）>n
B．∀n∈N*，f（n）∉N*或f（n）>n
C．∃n0∈N*，f（n0）∉N*且f（n0）>n0
D．∃n0∈N*，f（n0）∉N*或f（n0）>n0
解析：
写全称命题的否定时，要把量词∀改为∃，并且否定结论，注意把“且”改为“或”．
答案：
D
4．（2017·山西忻州四校第三次联考）已知命题p：
∃x∈R，2x＞3x；命题q：
∀x∈
，tanx＞sinx，则下列是真命题的是（ ）
A．（綈p）∧qB．（綈p）∨（綈q）
C．p∧（綈q）D．p∨（綈q）
解析：
当x＝－1时，2－1＞3－1，所以p为真命题；当x∈
时，tanx－sinx＝
＞0，所以q为真命题，所以p∨（綈q）是真命题．
答案：
D
5．下列命题中是假命题的是（ ）
A．∀x∈
，x＞sinx
B．∃x0∈R，sinx0＋cosx0＝2
C．∀x∈R，3x＞0
D．∃x0∈R，lgx0＝0
解析：
对于A，令f（x）＝x－sinx，则f′（x）＝1－cosx，当x∈
时，f′（x）＞0.从而f（x）在
上是增函数，则f（x）＞f（0）＝0，即x＞sinx，故A正确；对于B，由sinx＋cosx＝
sin（x＋
）≤
＜2知，不存在x0∈R，使得sinx0＋cosx0＝2，故B错误；对于C，易知3x＞0，故C正确；对于D，由lg1＝0知，D正确．
答案：
B
6．（2014·湖南卷）已知命题p：
若x＞y，则－x＜－y；命题q：
若x＞y，则x2＞y2.在命题①p∧q；②p∨q；③p∧（綈q）；④（綈p）∨q中真命题是（ ）
A．①③B．①④
C．②③D．②④
解析：
先判断命题p，q的真假，再根据真值表求解．
当x＞y时，－x＜－y，故命题p为真命题，从而綈p为假命题．
当x＞y时，x2＞y2不一定成立，故命题q为假命题，从而綈q为真命题．
由真值表知，①p∧q为假命题；②p∨q为真命题；③p∧（綈q）为真命题；④（綈p）∨q为假命题．
答案：
C
二、填空题
7．命题“∃x0∈
，tanx0＞sinx0”的否定是________．
答案：
∀x∈
，tanx≤sinx
8．已知命题p：
（a－2）2＋|b－3|≥0（a，b∈R），命题q：
x2－3x＋2＜0的解集是{x|1＜x＜2}，给出下列结论：
①命题“p∧q”是真命题；
②命题“p∧（綈q）”是假命题；
③命题“（綈p）∨q”是真命题；
④命题“（綈p）∨（綈q）”是假命题．
其中正确的是____________（填正确命题的序号）
解析：
命题p、q均为真命题，则綈p、綈q为假命题．从而结论①②③④均正确．
答案：
①②③④
9．若命题“∃x0∈R，2x
－3ax0＋9＜0”为假命题，则实数a的取值范围是________．
解析：
因为“∃x0∈R，2x
－3ax0＋9＜0”为假命题，则“∀x∈R，2x2－3ax＋9≥0”为真命题．因此Δ＝9a2－4×2×9≤0，故－2
≤a≤2
.
答案：
[－2
，2
]
三、解答题
10．写出下列命题的否定，并判断其真假．
（1）∀T＝2kπ，k∈Z，sin（x＋T）＝sinx；
（2）若直线l⊥平面α，则对任意l′⊂α，l⊥l′；
（3）若an＝－2n＋10，则∃n∈N*，使Sn＜0.
解：
（1）原命题的否定为：
∃T＝2kπ，k∈Z，sin（x＋T）≠sinx，假命题．
（2）原命题的否定为：
若直线l⊥平面α，则存在l′⊂α，l与l′不垂直，假命题．
（3）若an＝－2n＋10，则对∀n∈N*，Sn≥0，假命题．
11．已知命题p：
“∀x∈[1，2]，x2－a≥0”，命题q：
“∃x0∈R，使x
＋2ax0＋2－a＝0”，若命题“p且q”是真命题，试求实数a的取值范围．
解：
要使p成立，由x2－a≥0，得a≤x2，x∈[1，2]，所以a≤1.要使q成立，则有Δ＝4a2－4（2－a）≥0，即a2＋a－2≥0，解得a≥1或a≤－2.因为命题“p且q”是真命题，则p，q同时为真，即
，即a≤－2或a＝1.
故实数a的取值范围是{a|a≤－2或a＝1}．
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