高等数学 向量代数与空间解析几何题.docx

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高等数学向量代数与空间解析几何题

第五章向量代数与空间解析几何

5.1.1向量的概念

例1在平行四边形中，设＝a，＝b。

试用a和b表示向量、、和，这里是平行四边形对角线的交点（图5－8）

解由于平行四边形的对角线互相平行，所以a＋b＝＝2

即－（a＋b）＝2

于是＝（a＋b）。

因为＝－，所以（a＋b）.图5－8

又因－a＋b＝＝2，所以＝（b－a）.由于＝－，＝（a－b）.

例2设液体流过平面S上面积为A的一个区域，液体在这区域上各点处的速度均为（常向量）v。

设n为垂直于S的单位向量（图5－11（a）），计算单位时间内经过这区域流向n所指向一侧的液体的质量P（液体得密度为）.

（a）（b）

图5－11

解该斜柱体的斜高|v|，斜高与地面垂线的夹角为v与n的夹角，所以这柱体的高为|v|cos,体积为A|v|cos=Av·n.

从而，单位时间内经过这区域流向n所指向一侧的液体的质量为

P=Av·n.

例3设的三条边分别是a、b、c（图5－15），试用向量运算证明正弦定理

证明注意到CB=CA+AB,故有

CBCA=（CA+AB）CA=CACA+ABCA

=ABCA

=AB（CB+BA）=ABCB图5－15

于是得到CBCA=ABCA=ABCB

从而|CBCA|=|ABCA|=|ABCB|

即absinC＝cbsinA＝casinB

所以

5.2点的坐标与向量的坐标

例1已知点A（4,1,7）、B（-3,5,0），在y轴上求一点M，使得|MA|=|MB|.

解因为点在y轴上，故设其坐标为，则由两点间的距离公式，有

解得，故所求点为

例2求证以三点为顶点的三角形是一个等腰三角形.

解因为

所以，即△为等腰三角形.

5.2.2向量运算的坐标表示

例3设有点，，求向量的坐标表示式。

解由于，而，，于是

即

例4已知两点A（4，0，5）和B（7，1，3），求与方向相同的单位向量e.

解因为

＝–＝（7，1，3）－（4，0，5）＝（3，1,–2），

所以＝，

于是e.

例5求解以向量为未知元的线性方程组其中a＝（2,1,2），b=（-1,1,-2）.

解解此方程组得x=2a–3b,y=3a–5b

以a，b代入，即得

x=2（2,1,2）–3（–1,1,–2）=（7,–1,10）

y=3（2,1,2）–5（–1,1,–2）=（11,–2,16）.

例6已知两点A和B以及实数，在直线AB上求点M，使.

解如图7－13所示.由于

＝–，＝–，

因此–（–），

从而（）.

以、的坐标（即点A、点B的坐标）代入图7－13

本例中的点M称为定比分点，特别地当时，得线段AB的中点为

.

例7已知两点和，计算向量的模、方向余弦和方向角.

解＝（1–2,3–2,0–）

=（–1,1,–）;

||=

=;

;

.

例8已知三点M（1,1,1）、A（2,2,1）和B（2,1,2）,求∠AMB.

解作向量，，则∠AMB为向量与的夹角.这时=（1,1,0），=（1,0,1），从而

•=11+10+01=1;

||=;

=.

从而

cos∠AMB=,

由此得∠AMB＝.

例9设立方体得一条对角线为OM，一条棱为OA，且|OA|=a，求在方向OM上的投影.

解如图5－21所示，记∠MOA＝，有

，

于是＝.图5－21

例10设a＝（2，1，－1），b＝（1，－1，2），计算ab.

解ab＝.

例11已知三角形ABC的顶点分别是A（1，2，3）、B（3，4，5）、和C（2，4，7），求三角形ABC的面积.

解由向量积对于，可知三角形ABC的面积

由于＝（2，2，2），＝（1，2，4），因此

于是

例12设刚体以等角速度绕轴旋转，计算刚体上一点M的线速度.

解刚体绕轴旋转时，我们可以用在轴上的一个向量表示角速度，它的大小等于角速度的大小，它的方向由右手规则定出：

即以右手握住轴，当右手的四个手指的转向与刚体的旋转方向一致时，大拇指的指向就是的方向（图5－22）.图5－22

设点M到旋转轴轴上任取一点O做向量r＝，并以表示与r的夹角，那么

a=|r|sin.

设线速度为v，那么由物理学上线速度与角速度的关系可知，v的大小为

|v|=|ω|a=|ω||r|sin;

v的方向垂直于通过点M的与轴的平面，即v垂直于ω与r；又v的指向是使ω、r、v符合右手规则，因此有v=ωr.

例13已知不在一平面上的四点：

A（）、B（）、C（）、

D（）.求四面体ABCD的体积.

解由立体几何知道，四面体的体积等于以向量、和为棱的平行六面体的体积的六分之一.因而

=

由于=,

=,

=

所以

=

上式中符号的选择必须和行列式的符号一致.

5.3空间的平面与直线

5.3.1平面

例1已知空间两点和，求经过点且与直线垂直的平面方程。

解显然就是平面的一个法向量

由点法式方程可得所求平面的方程为

即

例2求过三点（2，－1，4）、（－1，3，－2）和（0，2，3）的平面的方程。

解先找出这平面的法线向量n.由于向量n与向量、都垂直，而＝（－3，4，－6），＝（－2，3，－1），所以可取它们的向量积为n：

n＝＝＝14i＋9j－k,

根据平面的点法式方程

（1），得所求平面的方程为

14（x－2）＋9（y＋1）－（z－4）＝0，

即14x＋9y－z－15＝0.

例3设一平面与x，y，z轴的交点依次为P（a，0，0）、Q（0，b，0）、R（0，0，c）三点（图5－24），求这平面的方程（其中a≠0，b≠0，c≠0）.

解设所求的平面的方程为

Ax+By+Cz+D=0.

因P（a，0，0）、Q（0，b，0）、R（0，0，c）三点都在平面上，所以点P、Q、R的坐标都满足方程

（2）；即有

得.

以此代入

（2）并除以D（D≠0），便得所求的平面方程为图5－24

（5）

方程（5）叫做平面的截距式方程，而a、b、c依次叫做平面在x、y、z轴上的截距.

例4因平面通过z轴及点（1，2，－3）的平面方程。

解因平面通过z轴，故可设其方程为Ax＋By＝0

又因（1，2，－3）点在平面上，将其坐标代入方程，则有

A＋2B＝0，即A＝－2B

故所求平面方程为－2Bx＋By＝0，即2x－y＝0

例5设平面的方程为3x－2y＋z＋5＝0，求经过坐标原点且与平行的平面方程。

解显然所求平面与平面有相同的法向量n＝（3，－2，1），又所求平面经过原点，故它的方程为3x－2y＋z＝0

5.2.3空间直线

例6求经过两点和的直线方程。

解该直线的方向向量可取n=。

由点法式方程立即得到所求直线的方程

该方程称为直线的两点式方程。

例7用直线的对称式方程及参数式方程表示直线

（4）

解易得（1，0，－2）为直线上的一点。

直线的方向向量为两平面的法线向量的向量积，从而

s=4i–j-3k.

因此，所给直线的对称式方程为

令=t，

得所给直线的参数方程为

5.3.3点、平面、直线的位置关系

1．点到平面的距离

例8求两个平行平面，之间的距离。

解在平面上任取一点，则两平面间的距离d就是点M到的距离，于是

d=

2．点到直线的距离

例9求点到直线L：

的距离

解由直线方程知点在L上，且L的方向向量s=（1,-3,5）。

从而

代入（11），得点M到L的距离为

＝

3.两平面之间的夹角

例10一平面通过两点和且垂直于平面x+y+z=0，求它的方程.

解设所求平面的一个法线向量为n＝（A，B，C）.

因＝（－1，0，－2）在所求平面上，它必与n垂直，所以有

－A－2C=0（7）

又因所求的平面垂直于已知平面x+y+z=0，所以又有

A+B+C=0.（8）

由（7）、（8）得到

A=－2C，B＝C.

由点法式，平面方程为A（x－1）+B（y－1）+C（z－1）=0.将A=－2C，B＝C代入上式，并约去C（C≠0），便得

－2（x－1）+（y－1）+（z－1）=0或2x－y－z＝0.

这就是所求的平面方程.

4．两直线的夹角

例11求直线:

和：

的夹角.

解直线的方向向量s=（1,－4，1），的方向向量s=（2,－2,－1）.设直线和的夹角为，那么由公式（5）有

cos＝，故.

5.直线与平面的夹角

例12求过点（1，－2，4）且与平面2x－3y＋z－4＝0垂直的直线方程。

解因为直线垂直于平面，所以平面的法线向量即为直线的方向向量，从而所求直线的方程为

.

6．平面束

例13求直线在平面x+y+z=0上的投影直线的方程.

解过直线的平面束的方程为

即，（14）

其中为待定系数。

这平面与平面x+y+z=0垂直的条件是

，

即.

代入（14）式，得投影平面的方程为

即.

所以投影直线的方程为

7．杂例

例14求与两平面x－4z＝3和2x－y－5z＝1的交线平行且过点（－3，2，5）得直线方程

解因为所求直线与两平面的交线平行，所以其方向向量s一定同时垂直于两平面的法向量n、n，所以可以取

s=nn=－（4i+3j+k），

因此所求直线方程为

.

例15求直线与平面2x+y+z-6=0的交点.

解所给直线的参数方程为x=2+t，y=3+t，z=4+2t，

代入平面方程中，得2（2+t）+（3+t）+（4+2t）-6=0.

得t=-1,代入参数方程得交点为

x=1，y=2，z=2.

例16求过点（2，1，3）且与直线垂直相交的直线的方程.

过点（2，1，3）且垂直于已知直线的平面方程为

3（x-2）+2（y-1）-（z-3）=0（9）

已知直线的参数方程为x=-1+3t，y=1+2t，z=-t.（10）

将（10）代入（9）求得，从而求得直线与平面的交点为.

以点（2，1，3）为起点，点为终点的向量

这就是所求直线的方向向量，故所求直线的方程为

5.4曲面与曲线

5.4.1曲面、曲线的方程

例1建立球心在点、半径为R的球面的方程.

解设M（x，y，z）是球面上的任一点（图5-31），那么||=R.

由于||=，

所以

（2）

这就是球心在、半径为R的球面的方程。

如果球心在原点，这时，从而球面方程为.

例2设有点A（1，2，3）和B（2，-1，4），求线段AB的垂直平分面的方程.

解由题意知，所求的平面就是与A和B等距离的点的几何轨迹。

设M（x，y，z）为所求平面上的任一点，由于|AM|=|BM|，

所以=

等式两边平方，然后化简便得2x-6y+2z–7=